高斯数学思维训练第04讲 枚举法一韩涛初稿.docx
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高斯数学思维训练第04讲枚举法一韩涛初稿
第4讲枚举法一典型问题
◇兴趣篇◇◇
1.冬冬在一张纸上画了一些图形，如图所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的。
请你数一数，纸上一共有多少条线段？
（最外面的大长方形是纸的边框，不算在内）
【分析】24条
2.要沿着如图所示的道路从
点走到
点，并且每段路最多只能经过一次，一共有多少种不同的走法？
【分析】由于每条路段最多只能经过一次，所以应该不走回头路，共有：
3.小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游。
要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺序？
【分析】用a、b、c代表三个景点，共有：
abc、acb、bac、bca、cab、cba共计6种
4.小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方中选2个去旅游，小王有多少种不同的选择方式？
如果小王想去其中的3个地方，又有多少种选择方式？
【分析】根据题意，选两个地方有：
青岛、三亚；青岛、桂林；青岛、杭州；三亚、桂林；三亚、杭州；桂林、杭州共计6种选择方式；
如果要去其中的三个地方，共有青岛、三亚、桂林；青岛、三亚、杭州；青岛、桂林、杭州；三亚、桂林、杭州等4种方法。
5.小烧饼每个5角钱，大烧饼每个2元钱。
冬冬一共有6元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有多少种不同的买法？
【分析】令买了小烧饼
个，大烧饼
个。
所以有：
，由于y可取0、1、2、3有4种取法。
所以一共有4种不同的买法；
6.在一次知识抢答比赛中，小悦和东东两个人一共答对了10道题，并且每人都有答对的题目。
如果每道题1分，那么小悦和冬冬分别可能是多少分？
请把所有的可能填写到下面的表格里？
小悦的总分
冬冬的总分
【分析】
共计9种；
7.两个海盗分20枚金币。
请问：
（1）如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有多少种不同的分法？
（2）如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有多少种不同的分法？
【分析】
（1）共有11种；
（2）共有13种：
8.有15个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？
这两堆球的个数可能相差几个？
【分析】
分别相差13、11、9、7、5、3、1共有6个；
9.张奶奶去超市买了12盒光明牛奶，发现这些牛奶需要装在2个相同的袋子里，并且每个袋子最多只能装10盒。
张奶奶一共有几种不同的装法？
【分析】
共有5种方法。
10.小悦、冬冬、阿奇三个人一共有7本课外书，每个人至少有一本。
小悦、冬冬、阿奇分别有基本课外书？
请写出全部可能的情况。
【分析】如下表所示，共有15种可能。
小悦课外书数量
1
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
4
4
5
冬冬课外书数量
1
2
3
4
5
1
2
3
4
1
2
3
1
2
1
阿奇课外书数量
5
4
3
2
1
4
3
2
1
3
2
1
2
1
1
◇◇拓展篇◇◇
1.如图，小悦画了一个小房子，如果每画一笔都不能拐弯，那么她最少画了几笔？
【分析】通过枚举可知，共有：
31笔
2.小悦把8块绿豆糕摆成如图所示的图形，让冬冬挑两块挨在一起的绿豆糕。
请问：
冬冬一共有多少种不同的挑法？
【分析】单独看3个连在一起的小方块有2种；
单独看连在一起的5个小方块有4种；
两个连在一起还有1种；
所以共有：
7种
3.小悦、冬冬、阿奇三个人去看电影，他们买了三张座位相邻的票。
他们三人的座位顺序一共有多少种不同的安排方法？
【分析】小悦有3种选择；冬冬剩下两种；阿奇只能选最后的，共有：
3×2×1=6种
4.小李摆摊卖货，小木偶每个卖1元，大木偶每个卖2元，他今天一共卖出了5个木偶。
小李今天一共可能卖了多少钱？
【分析】
大木偶数
5
4
3
2
1
0
小木偶数
0
1
2
3
4
5
钱数
10
9
8
7
6
5
5.
（1）老师给小悦14个相同的练习本。
如果小悦把这些本子全部分给冬冬和阿奇，有多少种不同的分法？
（2）老师给小悦14个相同的练习本，如果小悦只需要把这些本子分成2堆，又有多少种不同的分法？
【分析】
（1）有序分拆，共有：
所以共有16种；
（2）根据题意，共有：
8种；
6.盘子里一共有20颗花生，小悦和冬冬一起吃。
每人一口吃2颗，两个人一起把花生吃完（每人至少吃一口）。
他们分别可能吃了多少颗花生？
【分析】有序枚举知共有：
7.如图，有7个按键，上面分别写着：
1、2、3、4、5、6、7这7个数字。
请问：
（1）从中选出2个按键，使它们上面数字的差等于2，一共有多少种选法？
（2）从中选出2个按键，使它们上面数字的和大于9，一共有多少种选法？
【分析】
（1）
共5种；
数字和大于9的有：
共计6种；
8.小王有5个相同的飞机模型，他要把它们放在一个3层的货架上，每层至少要放1个。
小王一共有多少种不同的放法？
过了几天，他又要把18个相同的汽车模型放到另一个3层货架上，每层至少要放5个，这时有多少种不同的放法？
【分析】
（1）相当于从4个空里选择2个空来插板，共有：
（种）
（2）可先先从每个货架上拿下4个，共拿下12个，则还有：
（种）
9.
（1）小明买回了一袋糖豆，他数了一下，一共有10个。
现在他要把这些糖豆分成3堆，一共有多少种不同的分法？
（2）如果小明有两袋糖豆，每袋10个。
要把这两袋糖豆分成3堆，每堆至少要有5个，一共有多少种不同的分法？
【分析】
（1）由于没有顺序，则有8种：
（2）没有顺序共有5种：
10.
、
、
、
、
这五个人一起回答一道题目，结果只有两个人答对了。
所有可能的回答情况一共有多少种？
【分析】共有：
（种）。
11.
（1）有2个相同的白球和1个红球。
如果把这3个小球排成一排，有多少种不同的排法？
（2）有2个相同的白球和3个相同的红球。
把这5个小球排成一排，有多少种不同的排法？
【分析】
（1）3个位置选择一个纺织红球，其余两位位置纺织白球，有3种方法；
（2）由于红球位置固定了，白球位置就固定了，所以共有
12.班主任要从甲、乙、丙、丁、戊这五个小朋友里面选出四个人参加乒乓球赛，有多少种不同的选法？
如果已经选出了甲、乙、丙、丁，现在要把他们分成两组，进行双打比赛，有多少种不同的分法？
【分析】
（1）从5个人里选择4个人有5种；（相当于从5个人里去掉一个人）；
（2）甲、乙、丙、丁分成2堆共有3种方法：
甲乙与丙丁；甲丙与乙丁；甲丁与乙丙；
◇◇超越篇◇◇
1.小明参加了一次小测验，每个小题2分，每个大题5分，两种题目各有3道。
小明的得分一共有多少种不同的可能？
【分析】
（1）当小明小题全错时，大题可以对0、1、2、3道；得分分别为：
0、5、10、15；
（2）当小明对1道小题，大题可以对0、1、2、3道；得分分别为：
2、7、12、17；
（3）当小明对2道小题，大题可以对0、1、2、3道；得分分别为：
4、9、14、19；
（4）当小明对3道小题时，大题可以对0、1、2、3道；得分分别为：
6、11、15、21；
所以得分情况共有16种；
2.几个小朋友在屋子里玩石头剪子布。
冬冬在门外问他们一共有几个人。
其中一个小朋友说：
“不能直接告诉你人数，不过我们现在一共伸出来22根手指，并且有3个人出石头。
”请问：
屋子里可能有几个人在玩游戏？
（出石头的不伸手指，出剪子的伸2根，出布的伸5根）
【分析】3人出石头，不影响手指，则设出剪子的有x人，出布的有：
y人。
则有：
。
观察可知，y必为偶数，则y=0，此时x=11；y=2，此时x=6；y=4时，此时x=1。
所以共有：
8人、11人或者14人。
3.一次小测验一共4道题。
最初每位同学都有4分的基础分，然后每答对一道题加3分，每答错一道题扣1分，不答不扣分。
同学们的得分可能是多少？
【分析】得分可能是：
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，13，16，有14种情况
4.现在有1分、2分、5分的硬币各5枚，要用这些硬币凑出2角钱，一共有多少种不同的凑法？
【分析】设1分、2分、5分的分别有x、y、z枚。
则有：
当z=0时，则有：
，此时无解；
当
时，此时有：
，有一组解：
当z=2时，此时有：
，有三组解：
当z=3时，此时有：
，有三组解：
当z=4时，此时
，有一组解：
所以共有8组解。
5.如图，妈妈在5张卡片上分别写了1、1、1、2、2这5个数字，让小明从里面挑出3张来组成一个三位数。
小明可能组成多少个不同的三位数？
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