∴AP<
。
（2）①答：
BE=2AP。
证明：
如图6-2（e），过点B作BH∥AE交DE于点H，连接CH、AH。
∴∠1=∠BAC=60°。
∵ＤＢ＝ＡＣ，AB=CE，
∴AD=AE。
∴△AED是等边三角形。
∴∠D=∠1=∠2=∠AED=60°。
∴△BDH是等边三角形。
∴BD=DH=BH=AC。
∴四边形ABHC是平行四边形。
∵点P是BC的中点，
∴AH与BC互相平分于点P，即A、P、H共线，AH=2AP
∵AD=ED，∠D=∠D，DH=DB，
∴△ADH≌△EDB。
∴BE=AH=2AP。
②证明：
分两种情况：
Ⅰ）当AB=AC时，如图6-2（f），
∴AB=AC=BD=CE，
∴
。
Ⅱ）当AB≠AC时，
证法一：
如图6-2（g），过点D作DG∥BC，且DG=BC，连接CG、EG,则四边形BDGC为平行四边形。
∴DB=GC=AC，∠BAC=∠1，BC=DG。
∵AB=CE，
∴△ABC≌△CEG。
∴BC=EG=DG。
在△DGE中，DG+GE>DE。
即2BC>DE，∴
综上所述，
☛证法二：
如图6-2（h），过点E作EF∥BC，且EF=BC，连接BF、DF，
则四边形BFEC是平行四边形。
∴BF=CE，
而ＣＥ＝ＡＢ，
∴ ＢＦ＝ＡＢ。
∵ ＡＥ∥ＢＦ，
∴ ∠ＣＡＢ＝∠DBF。
又∵AC=BD，
∴△CAB≌△DBF。
∴CB=DF
在△DFE中，DF+EF>DE，即2BC>DE，
∴
。
综上所述，
≥
。
☛证法三：
如图6-2（g），过点B作BF∥DE且BF=DE。
连接EF、CF。
则四边形DEFB是平行四边形。
∴EF=DB
而BD=AC，
∴EF=AC。
∵AD∥EF，
∴∠BAC=∠CEF。
∵AB=CE，∠BAC=∠CEF，AC=EF，
∴△BAC≌△CEF。
∴BC=CF。
在△CBF中，BC+CF>BF，
∴2BC>DE。
即
。
综上所述，
≥
。
☛证法四：
如图6-2（j），过点C作CF∥ED，且CF=ED。
连接FD、FB。
则四边形CEDF为平行四边形。
∴FD=CE，
而CE=AB，∴FD=AB。
又∵AE∥DF，∴∠CAB=∠BDF。
又∵BD=AC，∴△CAB≌△BDF。
∴BC=BF。
在△CBF中，BC+BF>FC，∴2BC>DE。
即
。
综上所述，
≥
。
■点评：
例1、例2中，都是运用平移的方法将不共线、无交点的线段重新组合在同一三角形中，利用三角形的三边关系证明线段之间的大小关系，通过平移会产生平行四边形和特殊三角形的几何模型，要注意利用好其中的边角关系。
▷例3
我们给出如下定义：
若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。
请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：
当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。
解析
（1）矩形、等腰梯形。
（2）结论：
等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长。
已知：
四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=BD，且∠AOD=60°。
求证：
BC+AD≥AC。
证明：
如图6-3（a），过点D作DE∥AC且DE=AC。
连接CE、BE。
∴∠EDO=60°，四边形ACED是平行四边形。
∴△BDE是等边三角形，CE=AD。
∴DE=BE=AC。
①当BC与CE不在同一条直线上时（如图6-3（a））,
在△BCE中，有BC+CE>BE。
∴BC+AD>AC。
②当BC与CE在同一条直线上时（如图6-3（b））,BC+CE=BE,
∴BC+AD=AC。
综合①、②，得BC+AD≥AC。
即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长。
■点评：
此题通过平移相等且60°夹角的相交线段，产生平行四边形和等边三角形，从而将结论中的三条线段成功地集中到一个三角形中证出了结论，但要注意的是：
在某种特定情况下，三条线段集中后可能会共线，不要忽略了这一点。
▷例4:
在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为CB、CA延长线上的点，BE与AD的交点为P。
（1）若BD=AC，AE=CD，在图6-4（a）中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；
（2）若AC=
BD，CD=
AE，求∠APE的度数。
★解析
（1）解：
如图6-4（b），∠APE=45°。
☛解法一：
如图6-4（c），过点E作EF∥AD，且EF=AD，连接BF、DF，BF与AD相交于点H。
则四边形EFDA为平行四边形。
∴∠APE=∠FEB，DF=AE=CD。
∵BD=AC，∠C=∠BDF=90°，
∴△BDF≌△ACD。
∴∠DBF=∠CAD，BF=AD=EF，AE=DF。
∴∠FEB=∠FBE=∠APE，
∵∠APE=∠BPD，
∴∠FBE=∠DPB。
∵∠CAD+∠CDA=90°，
∴∠FBD+∠CDA=90°。
∴∠BHD=∠BHA=90°。
∴∠FBE=45°，
∴∠APE=45°。
☛解法二：
如图6-4（d），过点B作BF∥AD，且BF=AD，连接AF、EF。
则四边形ADBF为平行四边形。
∴∠AFB=∠D，AF=BD=AC。
∵DC∥AF，
∴∠FAC=∠FAE=∠DCA=90°
又∵AE=CD，
∴△AFE≌△CAD。
∴∠AFE=∠CAD，FE=AD。
∵AD=FB，
∴EF=FB。
∴∠FEB=∠FBE。
∵FB∥AD，
∴∠APE=∠FBE。
在Rt△ACD中，∵∠D+∠CAD=90°，
∴∠AFB+∠AFE=90°，
即∠EFB=90°，即△EFB为等腰直角三角形。
∴∠FBE=45°，
∴∠APE=45°。
☛解法三：
如图6-4（e），过点D作DF∥BE，且DF=BE，连接AF、EF。
则四边形BDFE为平行四边形。
∴∠APE=∠ADF，EF=BD=AC。
∵DC∥EF，∠DCA=90°,
∴∠AEF=90°
又∵AE=CD
∴△AEF≌△DCA。
∴∠EAF=∠CDA，AF=DA,∠AFD=∠ADF=∠APE。
在Rt△ACD中，∵∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠EAF+∠CAD=90°，
∴∠FAD=90°，即△FAD为等腰直角三角形。
∴∠ADF=45°，
∴∠APE=45°。
☛解法四：
如图6-4（f），过点A作AF∥BE，且AF=BE，连接FB、FD。
则四边形AEBF为平行四边形。
∴∠DBF=∠ACD=90°，BF=AE=CD。
∴∠DBF=90°
又∵AE=CD
∴△DBF≌△ACD。
∴∠BFD=∠CDA，FD=DA,∠DAF=∠DFA。
∵AF∥EB，
∴∠APE=∠DAF。
∵∠BFD+∠FDB=90°，
∴∠ADC+∠FDB=90°，
即∠ADF=90°，∴△ADF为等腰直角三角形。
∴∠DAF=45°，即∠APE=45°。
（2）☛解法一：
如图6-4（g），将AE平移到DF，连接BF、EF。
则四边形AEFD是平行四边形。
∴AD∥EF，AD=EF。
∵AC=
BD，CD=
AE，
∴
。
∴
。
∵∠C=90°，
∴∠BDF=180°-∠C=90°。
∴∠C=∠BDF。
∴△ACD∽△BDF。
∴
，∠1=∠2。
∴
。
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°。
∴BF⊥AD，
∴BF⊥EF。
∴在Rt△BFE中，tan∠BEF=
=
。
∴∠APE=∠BEF=30°。
☛解法二：
如图6-4（h），将CA平移到DF，连接AF、BF、EF。
则四边形ACDF是平行四边形。
∵∠C=90°，
∴平行四边形ACDF是矩形。
∠AFD=∠CAF=90°。
∠1+∠2=90°。
∵在Rt△AEF中，tan∠3=
，
在Rt△BDF中，tan∠1=
∴∠3=∠1=30°。
∴∠3+∠2=∠1+∠2==90°，即∠EFB=90°。
∴∠AFD=∠EFB。
又∵
，
∴△ADF∽△EBF。
∴∠4=∠5。
∵∠APE+∠4=∠3+∠5，
∴∠APE=∠3=30°。
■点评
此题的第
（1）问，，可以通过平移交叉线段BE或AD，产生平行四边形、全等三角形和等腰直角三角形，45°角就由此诞生！
而第
（2）问可以完全按照第
（1）问中的方法进行，只需将全等三角形改为相似三角形即可。
▷例5
如图6-5（a），在六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF。
对边之差BC-EF=ED-AB=AF-CD>0。
求证：
六边形ABCDEF的各内角均相等。
★解析
证明：
过点C作CR∥AB，过点A作AQ∥BC交CR于Q，过点E作EP∥FA交CR于R，交AQ于P。
这可得□AFEP、□BAQC、□ERCD。
如图6-5（b）所示。
得到△PQR。
易知PQ=AQ-AP=BC-EF，RQ=RC-QC=ED-AB，PR=PE-RE=AF-CD。
由于BC-EF=ED-AB=AF-CD，所以PQ=RQ=PR，
即△PQR是等边三角形，∠PQR=∠QRP=∠RPQ=60°。
故∠DEF=∠DER+∠REF=∠QRP+∠RPQ=60°+60°=120°。
同理，∠DCB=∠CBA=∠BAF=AFE=120°，
所以六边形ABCDEF的各内角均相等。
■点评
六边形的内角之和为720°，要证各内角均相等，即证每个内角都等于120°，因此，问题就是要在对边平行且对边之差相等的条件下证明六边形的每个内角都为120°，而图中没有直接给出120°的角，我们只要有了60°的角就会产生120°的角，而60°的角来自于等边三角形的内角，题设条件中三组对边之差相等，且三组对边分别平行，这里启发我们可以通过平移将“三组对边之差”集中在一个三角形中。
▷例6
如图6-6（a），图6-6（b），设凸六边形ABCDEF的三组对边分别平行。
求证：
△ACE的面积与△BDF的面积相等。
★解析
证明：
如图6-6（c），作DG∥EF，FF’∥AB，BB’∥AF,其中点B’、G、F’分别在FF’、BB’、DG上。
且B’F’=DE-AB，B’G=AF-CD，GF’=BC-EF，
设六边形ABCDEF的面积为S，△B’F’G的面积为T，四边形ABB’F、BCDG、DEFF’均为平行四边形。
于是S△BDF=
+T=
。
如图6-6（d），作AC’∥EF，CE’∥DE，A’E∥CD,其中点Ａ’、Ｃ’、Ｅ’分别在AC’、CE’、A’E上。
同理A’C’=BC-EF，C’E’=DE-AB，A’E’=AF-CD，
如图6-6（c），6-6（d），∴△B’F’G≌△A’C’E’。
则S△A’C’E’=T，于是有S△ACE=
+T=
，故S△BDF=S△ACE。
■点评
平移互相平行且不相等的线段使其共线，就会产生线段的差。
▷例7
如图6-7（a），已知△ABC。
（1）请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两队面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
（2）请你根据使
（1）成立的相应条件，证明AB＋AC>AD+AE。
★解析
（1）如图6-7（b）所示，相应的条件是：
BD=CE≠DE；
两对面积相等的三角形分别是：
△ABD和△ACE，△ABE和△ACD。
（2）证明：
如图6-7（c），分别过D、B作CA、EA的平行线，两线交于F点，DF与AB交于Ｇ点。
∴ ∠ACE=∠FDB，∠AEC=∠FBD。
在△AEC和△FBD中，
∵CE=BD，
∴△AEC≌△FBD。
∴AC=FD，AE=FB。
在△AGD中，AG+DG>AD，
在△BFG中，BG+FG>FB,
∴AG+DG+BG+FG>AD+FB.
即AB+FD>AD+FB，
∴AB＋AC>AD+AE。
■点评
此题由线段相等（BD=EC）的条件平移三角形，实现四条线段AB、AD、AE、AC的重新组合，又一次适用“八字”模型证出了结论。
▷例8
如图6-8（a），在凸四边形ABCD中，∠BAD+∠CBA≤180°，点E、F为边CD上的两点，且DE=FC。
求证：
AD+BC≤AE+BF。
★解析
证明：
如图6-8（b），利用平移，将△ADE沿着DC的方向平移，使得DE和FC重合得到△A’FC，故AD+BC=A’F+BC，AE+BF=A’C+BF，可证AD+BC≤AE+BF。
当点D与点E重合，点F与点C重合时，等号成立。
◆牛刀小试
◀▶小试1
如图6-9（a），两个等边△ABD、△CBD的边长为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A’B’D’的位置，得到图6-9（b），则阴影部分的周长为。
◀▶小试2
（1）如图6-10（a），在正方形ABCD中，AB、BC、CD三边上分别有点E、G、F，且EF⊥DG。
求证：
EF=DG。
（2）如图6-10（b），在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，且EG⊥FH，求证：
EG=FH。
◀▶小试3
阅读下面的材料：
小伟遇到这样一个问题：
如图6-11（a），在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O。
若梯形ABCD的面积为1，试求以AC、BD、AD+BC的长度为三边长的三角形的面积。
小伟是这样思考的：
要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可，他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题。
他的方法是过D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC、BD、AD+BC的长度为三边长的三角形（如图6—11（b））。
请你回答：
图6—11（b）中的△BDE的面积等于。
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图6—11（c），△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF。
（1）在图6—11（c）中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形（保留作图痕迹）；
（2）若△ABC的面积为1，则以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于。
◀▶小试4：
如图6-12所示，一个六边形的六个内角都是120°，连续四边的长依次是1,3,3,2，则该六边形的周长是多少？
◀▶小试5
如图6-13，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD，AC⊥BD，若AD=1，BC=5，求梯形ABCD的面积。
◀▶小试6
如图6-14，已知线段AB、CD相交于点O，其中AB=CD，∠AOD=120°，
求证：
AD+BC≥
AB。
◀▶小试7
已知：
如图6-15（a），△ABC为边长是2的等边三角形，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，连接DE、DF、EF。
将△BDF向右平移，使点B与点C重合；将△ADE向下平移，使点A与点C重合，如图6-15（b）。
（1）设△ADE、△BDF、△EFC的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3
（用“<、=、>”填空）。
（2）已知：
如图6-15（c），∠AOB=∠COD=∠EOF=60°，AD=CF=BE=2，
设△ABO、△CDO、△EFO的面积分别为S1、S2、S3；问：
上述结论是否成立？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
▶◀眺望中考
如图6-16，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，P、Q分别为AB、AC上的点，
且∠QPC=45°，PQ=BC。
证明：
BC=CQ。
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