二分法求方程地近似解.docx

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二分法求方程地近似解

二分法求方程的近似解

姓名:

周颖学号：

56

一、研究目的

函数与方程是中学数学的重要内容之一，又是初等数学和高等数学的衔接的枢纽，其实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系，因而函数与

方程思想的教学，有着不可替代的重要位置。

“二分法”是数学课程标准新增的

内容，这样的教学内容对教师来说是新颖的。

“二分法”的内容体现了数学课程

与信息技术的结合：

既要掌握基本的算法，了解算法思想，又要恰当的运用计算器，合理的组织技术平台下的数学活动。

二分法的设置是通过研究函数的某些性质，把函数的零点与方程的解等同起来，加强了函数与方程的联系，突出函数的应用，这又是本节课要渗透的一个数学思想。

所以本节课的本质是向学生渗透函数与方程的思想、近似的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想。

教材（苏教版）对该内容的组织形式是：

问题情境一一学生活动一一意义建构一一数学理论一一数学运用一一反思总结。

教材呈现方式无疑对教师的教学设计产生影响，但实际课堂的数学活动可能会带来更多的启发。

二、核心概念和教学目标

“用二分法求方程的近似解”是新课标补充的重要内容之一。

二分法的本质在于逼近，除了二分，还可以三分、四分、0.618分（黄金分割法）这些都体现了数值计算的逼近思想。

二分法的优点在于思想方法和算法流程比较简单，所需数学知识相对较少，收敛速度比较快，是同类算法中效率最高的。

华罗庚先生在科普著作《优选法评话》中，将二分法称为特殊情况优选法。

二分法作为一种算法，要求学生掌握一定的程式或步骤，其中关键的知识和方法有：

零点区间的直觉判断（如数形结合方法），函数值的计算，零点领域内函数值特征的应用（f（m）*f（n）<0），精度要求的判断等。

二分法还是运用函数观点解决方程问题的重要方法之一，体现了函数与方法

之间的内在关系。

“函数的零点”与“方程的解”之间的关系，是理解二分法的关键，抓住这个关键点，也就抓住了函数与方程之间的内在关系。

由此可知道，本课的核心概念是：

方程与方程的解，函数与函数的零点，方程与函数的关系，函数的图像，区间的中间值。

必须掌握的技能是二分法的算法步骤。

需要认识的数学思想是：

函数思想，算法思想，逼近思想，数形结合思想。

所以根据教材的要求，学生的实际情况，我将本课的教学目标设定如下：

知识与技能一一通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想.

过程与方法一一借助计算器求二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做准备.

情感、态度、价值观一一通过探究体验、展示、交流养成良好的学习品质，增

三、教学路线图

提出问题

强合作意识。

通过体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统

研究黑板上的这个方程，x3+3x-1=0，大家思考下

你能说出这个方程的一个根所在的区间吗？

由于f（-1）与f

（1）的积是异号的。

由此判断在-1到1之间有一个根。

有没有其它区间？

通过分小组讨论，设计一种方案如何来寻找这样一个方程的解。

教师提示，如何缩小范围？

缩到什么时候停止，根据端点的函数值的符号判断，去看看解所在的区间。

然后进行解法总结

从特殊到一般，归纳二分法的程序和步骤。

下面我们运用二分法来求方程Inx+2x-3=0的近似解。

二分法思想在现实生活中有何应用？

收集一下应用二分法处理实际生活中的一些实例？

四、对教学过程的整体分析与局部分析

1.整体分析

本课所采用的教学方式是问题导学、数学探究的教学方式：

通过问题引导、师生互动，并辅以多媒体教学手段，创设问题情景，学生自主探究二分法的原理与步骤。

教师以问题作为教学的出发点，不直接展示结论，通过问题情境，提出诸多带有挑战性的问题引领学生思考，一步一步地探索解决问题的办法，形成基本的算法，并在具体应用中反思、巩固建构学习过程中学生的主体性。

有函数与方程的知识作基础，通过本节课探究讨论，使学生主动参与数学实践活动，又采用多媒体技术，大容量信息的呈现和生动形象的演示，一定能提高学生学习兴趣、激活学生思维、加深知识理解，掌握二分法的本质，完成教学目标。

可见，本教学设计与教材的组织形式是一致的，较好地体现了教材设计的思想。

本节课主要表现在以下几方面特点：

（1）以问题引领学生思考，努力暴露学生的思维过程

本课中创设贴近学生生活的情境，激发兴趣，让学生在活动中体会数学思想，通过x3+3x-仁0的解所在区间这样的问题来创设情境，不仅对学生产生很强的吸引力，学生也在猜测的过程中体会二分法思想。

同时教师并不满足学生答对问题，而是通过询问，检查学生的思考状况，明确每一个思维环节的意义，让学生加深对知识的理解。

如：

有没有其它区间？

你能继续缩小吗？

如果它是正的呢？

如果它是负的呢？

这个过程我们可以无限继续下去，书上用了“无限逼近”这个词。

下面其他同学谈谈有没有什么别的方法。

数学是思维的科学，数学教学时思维的教学。

在课堂教学过称中，及时追问是提高学生思维参与、加速知识领悟的重要策略。

面对学生简单、短小的回答，教师需要及时追问，在追问的过称中了解学生的理解程度，捕捉可能的问题，补救可能的不足。

（2）重视学生间合作交流，重视二分法探究过程

本节课中的每一个问题都是在师生交流中产生，在学生合作探究中解决，使学生经历了完整的学习过程，培养了学生思维能力。

赫尔莫斯指出：

“问题是数学的心脏。

”数学效果的好坏，很大程度上取决于教师所设计数学问题的优劣。

本课中，教师设计的几个问题，都是明确的。

容易引起学生思维的问题：

问题1:

研究方程x3+3x-仁0，你能说出这个方程的一个根所在的区间

吗？

问题2:

如何运用二分法来求方程Inx+2x-3=0的近似解。

问题3:

在现实生活中有没有与二分法相类似的一些应用：

其中问题1提出后，教师又通过几个小问题一步一步地引导学生思考

1由于f（-1）与f

（1）的积是异号的。

由此判断在-1到1之间有一个根。

有没有

其它区间？

2当这个过程无限继续下去，书上用了“无限逼近”这个词。

下面其他同学

谈谈有没有什么别的方法。

3我们这样一种方法求近似解它的基本步骤是什么？

4二分法什么时候应该终止？

这些问题的设计，紧紧围绕“二分法求方程近似解”这一主题层次分明，

符合条理清晰符合循序渐进的教学原则。

（3）注重科学研究一般方法的渗透，帮助学生感受科研过程

数学教学就要“教会学生去思考”，注重科学研究一般方法的渗透是有效教

学的必要条件。

本课以问题驱动学生思考，在问题情境和问题解决中感悟数学

原理，有提出猜想，有制定方案，有概括总结，有反思提升，学生在这样的教

学中自热而然地感受了科学研究的过程，实践了科学研究的方法。

（4）恰当地利用信息技术，帮助学生探究数学本质

计算器的使用不是学生活动的重点，而是支持学生开展探究活动的实验平

台，学生能够独立地、熟练地使用计算器，在计算器的操作上成为观察函数值、

选择区间、判断中止条件的有力工具，使学生集中精力于算法的探索和检验，保

证了学生高水平的智力参与，保证了课堂探究目标的高效率实现。

本节课中利用计算器进行了多次计算，逐步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然，突破了教学上的难点，提高了探究活动的有效性，使得数学探究和计算技术整合的非常成功。

2•局部分析

（1）问题情境的处理

就本课而言，二分法的本质是第一位的，因此情境创设的关键是有利于学生揭示数学本质、掌握二分法的解题步骤。

本课的情境创设以一个函数方程入手，与学生已经学过的知识紧密联系，总体上说是可取的。

但是当学生提出类似于无限逼近这个概念的时候，教师并没有继续深究下去，只是任学生一带而过，到后来才说书上用了“无限逼近”这个词，我认为教师应该再这里解释的更为深刻些。

教师可以通过简单的函数图象来描述出解的逼近过程，当然如果运用几何画板，运用多媒体技术的优势，把运动、变化的数学对象充分凸显出来，让学生在充分的形象和表象支持下，自己发现二分法的特征，感受观察、比较、分析、综合、抽象、概括的思维过程，那么情境教学效果将会好很多。

（2）例题的讲解

本课例题教学的目的有两点：

一是让学生通过刚才方程x3+3x-1=0的根所在区间的探索得出二分法的过称，进一步领会二分法的内涵；二是让学生感知二分法运用的要点和方法。

本课只有讲授了一道例题运用二分法来求方程Inx+2x

-3=0的近似解。

（精确到0.01）在计算的过程中利用了通过对方程所对应的函数性质（如对函数的单调性的研究）来解决这个问题，注重数形结合，让学生形成感性认识，加强了学生对二分法的理解。

这是很好的。

然后教师又提出问题”

在现实生活中有没有与二分法相类似的一些应用？

你用过二分法吗？

”充分体现

了数学与实际生活联系，突出数学之妙、数学之奇、数学之美，从而准确的认识数学的实质、剖析数学的魅力、弄清数学的脉络和层次、体现数学思想方法的深刻性和普遍性。

（3）数学语言的教学

本课的一个重要工具就是数学语言的表达。

课例显示，教师没有较好的引

导学生的语言，如：

1二分法的一般步骤，教师是通过自己的口述来描述的，

2“这个问题我们可以通过对方程所对应的函数性质的研究可以发现，确认下来它只有一个交点，对吧？

”

3“比5大的就往上，比5小的就往下。

告诉我们这样一个过程什么时候该终止？

”这里教师直接给出答案“这实际上是我们利用精确度来取值”

这些问题答案的得出不必由教师得出，教师可以再耐心一点，然后由学生

自己得出答案，或者可以让学生通过数学语言来表述，便于学生养成一定的数学素养，便于学生数学语言的表达。

这样体现问题导学、数学探究的课堂教学方式。

五、不足之处和改进建议

1•不足之处

（1）教师是教学的主导。

主导在很大程度上可以理解为教学向导，即在教学过程中进行启发、暗示、引导。

在探究教学中，教师的主导作用体现在：

提供探究方形，提供探究目标，启发探究方法，等等。

通俗的讲，就是学生能做的，就让学生做，教师把握一个大方向。

正如杜威所说：

“他拿着舵，学生们

用力把船划向前去。

”（《思维与教学》）

整体而言，本课教师的讲授还是偏多，关键时刻还有直接告知的现象。

在上课的一开始就以问题“研究黑板上的这个方程，x3+3x-仁0，大家思考下你能说出这个方程的一个根所在的区间吗？

”入手，我认为考虑以生活中例子引入，例如可以通过一个游戏，从游戏中得出数学的一种逼近思想，然后经过这一系列的疑问，学生经过探究思考，利用计算器，得出近似解，这样的话学生更容易接受新知识。

（2）如逼近思想就是教师直接给出的，又如第一个问题提出后，马上又有一连串的指向性问题，在方法上无疑限制了学生的探索，尤其是第三个问题下面我们运用二分法来求方程Inx+2x-3=0的近似解，实际上直接指示了解题的方法。

而在本节课教学中，课题先行会对学生带来暗示，不利于学生的创造性思维，不利于学生参与方法建构的完整过程。

（3）本节课在教学内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，学生在学习了上一节的内容后，已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具有一定的数形结合思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识。

但学生对于函数与方程之间的联系的认识还比较薄弱，对于函数的图象与性质的应用、计算机的使用尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程、发现函数值逼近函数零点时造成了一定的困难。

现在教师善于用以前学过的知识来引入新课，虽然这很好的起到了巩固旧知的作用，而我认为时代在不断变化，数学学习与生活密切相关，从历年的考试题目中我们就可以看到数学联系生活的例子屡见不鲜，所以我建议教师在今后的上课过程要善于联系生活实际，当然这也要求教师要有一定的教学素养，就是善于发现生活中的数学。

同时我也相信通过这样的学习，我们可以欣赏到数学的神奇与美丽，它将帮你擦亮一双眼

睛，丰富你观察世界的方式，认识数学东风本质与价值。

（4）同时我也细微的发现，教师在引进二分法概念的时候，是通过自己口述来描述出二分法的一般步骤，而我认为这一步可以通过学生自己的总结得出，当学生在口述二分法的过程中，如果有不足的地方，教师可以及时补充，这样就便于学生理解二分法的概念以及使自己意识到在学习二分法求近似解过程中可能会出现的错误。

这样可以充分体现体现了以学生为主的教学理念。

（5）教师在上课过程中应该控制课堂气氛，可能有部分学生易受课堂上活动和讨论而分散注意力，从而影响其对知识的更深层的理解和掌握，因此，在教学时，要注意组织和协调。

另外尽管使用了科学计算器，求一个方程的解也是很费时的，学生容易出现计算错误和产生急躁情绪。

“二分法”的思想方法简单易懂，所需的数学知识较少，算法流程比较简洁，又利用计算器和多媒体辅助教学，直观明了，学生也在生活中有相关体验，所以易于被学生理解和掌握。

但“二分法”不能用于求方程偶次重根的近似解、精确度概念与区间长度既有区别又有联系，这些都容易被误解误算。

所以教师应该在课堂中说明二分法求近似解的缺陷。

2•改进建议

本节课中虽然利用计算器进行了多次计算，逐步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然，突破了教学上的难点，提高了探究活动的有效性。

但是如果教师借助《几何画板》动态显示这个实数解的范围逐步缩小的过程，会显得更直观逼真，有利于学生观察函数零点的大致范围。

这要求教师有较好基本技能。

然后整个课件如果都以PowerPoint为制作平台，界画活泼，可以充分体现了信息技术与数学课程的有机整合。

本课在情境引入方面可以做的更好一些。

数学教学启发，最主要也是最基

本的方法是运用实际生活的例子引入，比如开头的情境引入可以这样设计：

在上课之前，我们看这样一个游戏：

大家都喜欢看《幸运52》，我也喜欢李咏。

现在我提供两个商品，第一个商品是由废旧的螺丝和铁丝做成，我来模仿一次李咏，大家来猜价格，30秒之后谁猜出来，商品送给谁。

游戏结束后，请同学们思考两个问题

1游戏中有什么技巧？

2游戏中包含了什么样的数学方法？

这个游戏的设置体现了“教与数学对应”，要求学生从生活情境中概括数学方法，然后提出具体的数学问题。

启发学生从熟悉的、简单的问题着手研究一一渗透着科学研究的一般方法。

然后教师再提出第二个问题如何求方程x3+3x-仁0的

根？

参考文献：

1.中学数学教学案例研究

2•数学欣赏

3•计算方法——数值分析

4.数学教学案例反思及延伸