创新实验.docx

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创新实验

解线性方程组的迭代法

一、实验目的

主要运用向量范数、矩阵范数和矩阵谱半径的基本理论和解线性方程组的Jocobi迭代方法、Gauss-Seidel迭代方法以及松弛法（SOR法）。

掌握上述迭代法的构造和收敛性的判定。

二、实验内容

4-3-1实验一：

用雅可比法和高斯-赛得尔法解线性方程组

用雅可比法和高斯-赛得尔迭代法解下列线性方程组，且比较收敛速度，要求当

时迭代终止。

1）

4-4-4实验二：

用松弛法解线性方程组

上机用松弛法解

分别取

。

要求当

时迭代终止，并对每一

值确定迭代次数。

（初值

）。

三、使用环境

PC机，WINDOWS操作系统，C-Free软件，MathType软件。

四、调试过程

2-2-4实验一用雅可比法和高斯-赛得尔法解线性方程组

1）分析：

①雅可比（Jacobi）方法

雅可比方法可表示如下：

于是得到雅可比迭代的分量形式：

若用矩阵形式来表示，则其过程为：

②高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）方法

高斯-赛德尔方法本质上可雅可比方法是一致的，在雅可比迭代中，求

时是用

的所有分量来参加计算的，而在计算

的第

个分量

时，

（

）等前面

个分量已经计算好。

设想方法收敛，第

次的分量比第

次的分量更接近于真实解，为了加速收敛，在计算

的第

个分量时，所用的

的前

个分量换成新算好的值，即用

，

，…，

，

，…，

来计算

，这就是Seidel迭代的思想。

高斯-赛德尔迭代的分量形式为：

其增量修正的形式为：

若用矩阵表示，则其矩阵形式为：

2）程序

用C程序编写如下：

①雅可比（Jacobi）方法

#include

#include

#include

#defineN3

floatfanshu（floata[N],floatb[N]）

{

intk;

floaty=0;

for（k=0;k

y=y+（a[k]-b[k]）*（a[k]-b[k]）;

return（sqrt（y））;

}

main（）

{

floata[N][N],b[N],x[N],x0[N];

inti,j,t;

floatc;

printf（"pleaseinputA:

\n"）;

for（i=0;i

{

printf（"the%dthrow:

\n",i+1）;

for（j=0;j

scanf（"%f,",&a[i][j]）;

printf（"\n"）;

}

printf（"pleaseinputB:

\n"）;

for（i=0;i

scanf（"%f,",&b[i]）;

printf（"pleaseinputx0:

\n"）;

for（i=0;i

scanf（"%f,",&x0[i]）;

printf（"Ais:

\n"）;

for（i=0;i

{

for（j=0;j

printf（"%10.4f",a[i][j]）;

printf（"\n"）;

}

for（t=0;t<1000;t++）

{

for（i=0;i

{

c=0;

for（j=0;j

{

if（j==i）continue;

c=c+a[i][j]*x0[j];

}

x[i]=（b[i]-c）/a[i][i];

}

if（fanshu（x0,x）<=0.01）break;

for（i=0;i

x0[i]=x[i];

}

if（t==1000）printf（"error!

\n"）;

else

{

printf（"t=%d\n",t）;

printf（"Xis:

\n"）;

for（i=0;i

printf（"%4f\n",x[i]）;

}

}

调试结果为：

输入：

10-10

-110-2

0-410

（即：

系数阵A的值）

976

（即：

常数向量B的值）

000

（即：

迭代初始向量X的值）

结果：

Ais：

10.0000-1.00000.0000

-1.000010.0000-2.0000

0.0000-4.000010.0000

t=4

Xis:

0.999190

0.997570

0.996760

②高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）方法

#include

#include

#include

#defineN3

floatfanshu（floata[N],floatb[N]）

{

intk;

floaty=0;

for（k=0;k

y=y+（a[k]-b[k]）*（a[k]-b[k]）;

return（sqrt（y））;

}

main（）

{

floata[N][N],b[N],x[N],x0[N],x1[N];

inti,j,t;

floatc;

printf（"pleaseinputA:

\n"）;

for（i=0;i

{

printf（"the%dthrow:

\n",i+1）;

for（j=0;j

scanf（"%f,",&a[i][j]）;

printf（"\n"）;

}

printf（"pleaseinputB:

\n"）;

for（i=0;i

scanf（"%f,",&b[i]）;

printf（"pleaseinputx0:

\n"）;

for（i=0;i

scanf（"%f,",&x0[i]）;

printf（"Ais:

\n"）;

for（i=0;i

{

for（j=0;j

printf（"%10.4f",a[i][j]）;

printf（"\n"）;

}

for（i=0;i

x1[i]=x0[i];

for（t=0;t<1000;t++）

{

for（i=0;i

{

c=0;

for（j=0;j

{

if（j==i）continue;

c=c+a[i][j]*x1[j];

}

x[i]=（b[i]-c）/a[i][i];

x1[i]=x[i];

}

if（fanshu（x0,x）<=0.01）break;

for（i=0;i

x0[i]=x[i];

}

if（t==1000）printf（"error!

\n"）;

else

{

printf（"t=%d\n",t）;

printf（"Xis:

\n"）;

for（i=0;i

printf（"%4f\n",x[i]）;

}

}

调试结果为：

输入：

pleaseinputA:

the1throw:

10-10

the2throw:

-110-2

the3throw:

0-410

pleaseinputB:

976

pleaseinputx0:

000

Ais:

10.0000-1.00000.0000

-1.000010.0000-2.0000

0.0000-4.000010.0000

t=3

Xis:

0.999830

0.999847

0.999939

Pressanykeytocontinue...

4-4-4实验二：

用松弛法解线性方程组

1）分析

对于高斯迭代法与高斯-赛得尔迭代法，有时候收敛速度很慢，于是有下面的改进：

简单迭代：

剩余向量：

得到

。

因此，作一次迭代相当于在第

次近似解的基础上，用剩余向量进行了修正。

可以设想，或许在修正项前面乘上一个因子，会使得迭代收敛得快一些：

其中迭代阵为

，寻找一个适当的

，使得

尽可能小一些，也就是增加收敛速度，这就是松弛法的基本思想。

于是松弛法的分量形式即为：

若写成矩阵形式，则为：

2）程序

用C程序编写如下：

调试结果为：

#include"stdio.h"

#include"string.h"

#include"math.h"

#defineN3

#defineW1.03

floatfanshu（floatX1[N],floatX2[N]）

{

floatt,w=0;

inti,j;

for（i=0;i

w=w+（X1[i]-X2[i]）*（X1[i]-X2[i]）;

t=sqrt（w）;

return（t）;

}

main（）

{

floata[N][N],b[N],X1[N]={0},X2[N]={0},q,p;

inti,j,k=0;

printf（"pleaseinput%dnumbers:

\n",N*N）;

for（i=0;i

for（j=0;j

scanf（"%f",&a[i][j]）;

printf（"thecoefficientarrayoforiginalequationis:

\n"）;

for（i=0;i

{

for（j=0;j

printf（"%10.6f",a[i][j]）;

printf（"\n"）;

}

printf（"pleaseinput%dnumbersagain:

\n",N）;

for（i=0;i

scanf（"%f",&b[i]）;

printf（"theconstantarrayoforiginalequationis:

\n"）;

for（i=0;i

printf（"%10.6f",b[i]）;

printf（"\n"）;

for（i=0;i

{b[i]=b[i]/a[i][i];

for（j=0;j

if（j!

=i）

a[i][j]=a[i][j]/a[i][i];

a[i][i]=0;}

do

{

for（i=0;i

{

p=0;

for（j=0;j

if（j!

=i）

p=p-a[i][j]*X1[j];

X1[i]=X1[i]+W*（b[i]+p-X1[i]）;

}

q=fanshu（X2,X1）;

k=k+1;

for（i=0;i

X2[i]=X1[i];

}while（q>=5e-6）;

printf（"theansweroforiginalequationis:

\n"）;

for（i=0;i

printf（"x%d=%10.6f\n",i+1,X1[i]）;

printf（"thetimesofoperationcycleis%d\n",k-1）;

}

输入及结果：

pleaseinput9numbers:

4-10-14-10-14

thecoefficientarrayoforiginalequationis:

4.000000-1.0000000.000000

-1.0000004.000000-1.000000

0.000000-1.0000004.000000

pleaseinput3numbersagain:

14-3

theconstantarrayoforiginalequationis:

1.0000004.000000-3.000000

theansweroforiginalequationis:

x1=0.500000

x2=1.000000

x3=-0.500000

thetimesofoperationcycleis5

Pressanykeytocontinue...

五、总结

高斯迭代法、高斯-赛德尔迭代法的程序简单，透明度高。

通过比较知道，高斯-赛德尔迭代法的迭代次数要比高斯迭代法的次数少。

但是要注意，高斯法收敛与高斯-赛德尔法收敛并无必然联系，只是在两种方法都收敛的情况下，高斯-赛德尔迭代法要比高斯迭代法的收敛速度快。

对于松弛法的收敛及其收敛速度，则依赖于

的取值，一般称使

取最小值的

为最佳松弛因子，但是，对于大多数一般的矩阵并没有确定最佳松弛因子的方法，因此松弛法的收敛速度一般并不容易确定。

在程序中为了使其透明度高，采取了大量的矩阵作为存储空间，事实上可不必如此。

但是在输入实型的系数矩阵时，若用TurboC及TurboCForWindows软件编写，则出现scanf函数错误，不能输入数据，于是采用了另一个C程序的编写软件，即C-free软件。