点与圆的位置关系教材分析.docx
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点与圆的位置关系教材分析
点与圆的位置关系教材分析
（经典版）
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点与圆的位置关系教材分析
这是点与圆的位置关系教材分析，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。
点与圆的位置关系教材分析第1篇
课时设计课堂实录
点和圆、直线和圆的位置关系
1第一学时教学活动活动1【讲授】直线和圆
课堂引入：
前面我们复习了圆的方程、点与圆的位置关系，这课我们复习用圆的方程来解决直线与圆的位置关系。
请先做以下练习（教师巡堂以便了解课下预习情况）
（1）、判断直线4x-3y=5与圆x+y=25的位置关系
（2）、求圆x+y=25的过点P（3,4）的切线方程.
（3）、求圆x+y=25的过点P（5,4）的切线方程.
（4）、求圆x+y=25被直线4x-3y-20=0所截得的弦长。
（这一部分在引入正课后直接用多媒体投影给出，并由学生快速运算，然后提问结果）
二、知识梳理:
提出问题:
直线与圆有几种位置关系,用什么方法来判断?
1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.
①Δ＞0，直线和圆相交.
②Δ=0，直线和圆相切.
③Δ＜0，直线和圆相离.
方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.
①d＜R，直线和圆相交.
②d=R，直线和圆相切.
③d＞R，直线和圆相离.
2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.先判断点与圆的位置关系，再用切线的性质求方程。
1）若点p（x，y）在圆上，则圆x+y=r：
的切线方程为xx+yy=r,圆（x-a）+（y-b）=r的切线方程为（x-a）（x-a）+（y-b）（y-b）=r
2）若点p（x0，y0）在圆外：
利用圆心到直线的距离等于半径将切线的斜率求出来，再写出切线的方程（斜率不存在的切线方程不要遗漏）.
3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.
（师生一起归纳,并由教师板书）
三、例题解析:
例1.
（1）.设m>0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m（m＞0）的位置关系为
A.相切B.相交
C.相切或相离D.相交或相切
解析：
圆心到直线的距离为d=，圆半径为.
∵d－r=－=（m－2+1）=（－1）2≥0，
∴直线与圆的位置关系是相切或相离.
答案：
C
（2）.圆x2＋y2－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于
A.B.C.1D.5
解析：
圆心到直线的距离为，半径为，弦长为2=.
答案：
A
（进一步说明圆心到直线的距离在直线与圆的关系问题中的重要地位）
例2.已知圆满足截①.y轴所得的弦长为2;②被x轴分两段弧,其弧长之比为此3:
1;③圆心到直线:
x-2y=0的距离为.求该圆的方程.
解:
设圆的方程为:
（x－a）2＋（y－b）2＝r则由条件①得=r
（1）
又由②得a+1=r
（2）
又由③得（3）
联立（1（
（2）（3）,解方程组得a=-1,b=-1,r=或a=1,b=1,r=
所求圆的方程为:
（x+1）2＋（y+1）2＝2或（x-1）2＋（y-1）2＝2
（这是早几年的一道高考题,在高考复习中经常作为典型例题来用,我的学生对第
（2）问的把握可能会有困难,因此,这一问要结合图形来分析解决.由于学生对解含有绝对值的方程组有畏难情绪,因此,教师板书解题的整个过程,并且鼓励学生面对这类问题时积极应对,常规方法入手,运算要快而准确）
例3已知圆C：
（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：
（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）
（1）证明：
不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
剖析：
直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得
（先由学生思考,提出他们的解答方案,再由老师补充:
由含有一个参数的直线方程入手思考）
（1）证明：
l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
得
∵m∈R，∴
2x+y－7=0，x=3，
x+y－4=0，y=1，
即l恒过定点A（3，1）.
∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），
∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
（2）解：
弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，
∴l的方程为2x－y－5=0.
思悟小结
1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：
相离、相切、相交.判定方法有两个：
几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.
2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化
【例4】已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1，2），要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，求a的取值范围.
解：
将圆的方程配方得（x+）2+（y+1）2=，圆心C的坐标为（－，－1），半径r=，
条件是4－3a2＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即
＞.
化简得a2+a+9＞0.
由
4－3a2＞0，
a2+a+9＞0，
解之得
－＜a＜，
a∈R.
∴－＜a＜.
故a的取值范围是（－，）
（确定参数的解析几何问题是学生最薄弱的环节,此题的选择一方面是巩固本节课的内容,另一方面也是对直线与圆锥曲线问题中难点的一个分散处理）
四﹑课堂小练
1.若圆（x－3）2＋（y+5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r的范围是（）
A.（4，6）B.［4，6）C.（4，6］D.［4，6］
解析：
数形结合法解.
答案：
A
2.（2003年春季北京）已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为｜a｜、｜b｜、｜c｜的三角形
A.是锐角三角形B.是直角三角形
C.是钝角三角形D.不存在
解析：
由题意得=1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜构成的三角形为直角三角形.
答案：
B
3.（2005年春季北京，11）若圆x2+y2+mx－=0与直线y=－1相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为____________.
解析：
圆方程配方得（x+）2+y2=，圆心为（－，0）.
由条件知－0.
又圆与直线y=－1相切，则0－（－1）=，即m2=3，∴m=.
答案：
4.（2004年福建，13）直线x+2y=0被曲线x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦长等于____________.
解析：
由x2+y2－6x－2y－15=0，得（x－3）2+（y－1）2=25.
知圆心为（3，1），r=5.
由点（3，1）到直线x+2y=0的距离d==.
可得弦长为2，弦长为4.
答案：
4
5.自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程.
解：
圆（x－2）2＋（y－2）2＝1关于x轴的对称方程是（x－2）2＋（y＋2）2＝1.
设l方程为y－3＝k（x＋3），由于对称圆心（2，－2）到l距离为圆的半径1，从而可得k1＝－，k2＝－．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
6.已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系?
分析：
比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.
解：
圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=.
∵P（x0，y0）在圆内，∴
则有d>r，故直线和圆相离.
（课堂练习由多媒体投影给出,学生练完后,打出正确答案和解答过程）
五﹑课堂小结
1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.
2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.
3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.
六课后作业
8.（文）求经过点A（－2，－4），且与直线
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