第10讲 等腰三角形.docx
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第10讲等腰三角形
第10讲等腰三角形初步
适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
全国-人教版
课时时长（分钟）
90分钟
知识点
1.等腰三角形的性质及等腰三角形的判定
2.等边三角形的性质及判定
3.等腰三角形的判定与性质
4.线段垂直平分线的判定与性质
5.含30度角的直角三角形的性质
教学目标
1.了解等腰三角形、等边三角形的概念；掌握等腰三角形、等边三角形的性质和判定
2.熟悉等腰直角三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质
3.能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题
教学重点
1.“三线合一”性质的转化
2.利用等腰三角形轴对称的特性解题
教学难点
方程思想和分类讨论思想在等腰三角形中的运用
你一定见过美丽的雪花，你仔细观察过雪花的形状吗？
你知道雪花的形状可以用我们即将学习的等边三角形进行模拟么？
瑞典人科赫于1904年提出了著名的“雪花”曲线，这种曲线的作法是，从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间长度为底边。
分别向外作正三角形，再把“底边”线段抹掉，这样就得到一个六角形，它共有12条边。
再把每条边三等份，以各中间部分的长度为底边，向外作正三角形后，抹掉底边线段。
反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线。
这曲线叫做科赫曲线或雪花曲线。
在自然真实的景物中，蕴藏着丰富的数学知识。
让我们一起研究等腰三角形、等边三角形的性质，进一步探索数学的美。
知识讲解
1．等腰三角形
（1）性质：
①_________相等。
②顶角的_________、底边上的_______、底边上的______互相重合。
（2）判定：
①有________相等的三角形是等腰三角形（定义）；
②有______相等的三角形是等腰三角形。
2．等边三角形
（1）性质：
①等边三角形________都相等；②等边三角形_______都相等，并且都等于_____。
（2）判定：
①________都相等的三角形是等边三角形
②________都相等的三角形是等边三角形
③有一个角是60°的________三角形是等边三角形。
3．特殊直角三角形
（1）含30°的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边一半，且三边长度比为___________；
（2）等腰直角三角形各边长比为___________。
考点/易错点1
等腰三角形的边分_____和______；角分_____和_____；因此在已知等腰三角形的边或角在未指明腰和底边或顶角和底角的情况下，求其余未知量时，均须分____________进行讨论。
（1）已知等腰三角形的两边，在未指明______和______时，求其周长须分两种情况进行讨论；最后务必_________每种情况是否满足三角形的三边关系。
（2）已知等腰三角形的一内角,在未指明______和________时，求其余两角；须分两种情况进行讨论，最后务必_______是否满足三角形的内角和定理。
（3）已知等腰三角形的一个外角（未指明顶角还是底角的情况下），应分两种情况进行讨论。
（4）已知等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角，求其内角时；应分等腰三角形为_____三角形和______三角形两种情况进行讨论。
（5）已知等腰三角形一腰上垂直平分线与另一腰的夹角，求底角时，应分等腰三角形为____角三角形和______角三角形两种情况进行讨论。
（6）以已知线段为腰作等腰三角形，常要分以该腰不同顶点为_______顶点两种情况进行讨论。
（7）在等腰三角形中，若三边的长度中含有字母要分_________情况讨论。
例题精析
【例题1】
【题干】（2013•淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．
5
B．
7
C．
5或7
D．
6
【变式1】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的顶角是（ ）
A．
30°
B．
60°
C．
150°
D．
30°或150°
【变式2】若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（ ）
A．
32.5°
B．
57.5°
C．
65°或57.5°
D．
32.5°或57.5°
【例题2】
【题干】如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．
【变式1】已知：
如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．求证：
△ABC是等腰三角形．
【变式2】（2013•荆门模拟）如图，在四边形ABCD中，AE∥DC，CA是∠DCE的平分线，∠CEB=∠AEB，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
【例题3】
【题干】△NKM与△ABC是两块完全相同的45°的三角尺，将△NKM的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，且MK经过点C，设AC=a．则两个三角尺的重叠部分△ACM的周长是 ．
【变式1】如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD．
（1）求证：
△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BAD的度数．
【变式2】两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME，MC．判断△EMC的形状，说明理由．
【例题4】
【题干】（2013•槐荫区二模）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论：
①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO，正确的是 ．
【变式1】如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是1，则六边形的周长是 ．
【变式2】如图，在等边△ABC中，AC=6，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（ ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
【例题5】
【题干】如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是 三角形．
【变式1】a，b，c为△ABC三边，且（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）=0，则△ABC一定是 三角形．
【变式2】一个六边形ABCDEF的六个内角都是120°，连续四边的长依次为AB=1，BC=3，CD=3，DE=2，那么这个六边形ABCDEF的周长是（ ）
A．
12
B．
13
C．
14
D．
15
【例题6】
【题干】等边三角形ABC的边长是6cm，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则DE的长是 cm．
【变式1】△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（ ）
A．
B．
C．
20+10
D．
20﹣10
【变式2】如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2011次，依次得到点P1、P2、P3、…、P2011，则点P2011的坐标是 ．
课堂运用
【基础】
1.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．
40°
B．
100°
C．
40°或100°
D．
70°或50°
2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC与D，交AB于E，下列论述错误的是（ ）
A．
BD平分∠ABC
B．
D是AC的中点
C．
AD=BD=BC
D．
△BDC的周长等于AB+BC
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°，正确；B、条件不足，不能证明，错误；C、∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=180°﹣72°﹣36°=72°，∠C=∠BDC，∵AD=BD，∴AD=BD=BC正确；D、∵AD=BD，∴△BDC的周长等于AB+BC，正确；
3.已知实数x，y满足
，求以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长（ ）
A．
20或16
B．
20
C．
16
D．
以上答案均不对
4.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，则下列结论正确的是（ ）
A．
点F在BC边的垂直平分线上
B．
点F在∠BAC的平分线上
C．
△BCF是等腰三角形
D．
△BCF是直角三角形
5．如图，四边形ABCD中，BD＞AC，∠ACB=∠DBC，∠BAC+∠BDC=180°，E为BD上一点，BE=AC，判断△EDC的形状，并证明你的结论．
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于D，沿DE所在直线折叠，使点B恰好与点A重合，若CD=2，则AB的值为（ ）
A．
2
B．
4
C．
4
D．
8
7.已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A．
直角三角形
B．
钝角三角形
C．
等腰三角形
D．
等边三角形
8.如图所示，∠BAC=30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC，且交AB于点F．
（1）求证：
△AFD为等腰三角形；
（2）若DF=10cm，求DE的长．
9.如图，将一副三角板如图所示叠放在一起，若AB=8cm，则阴影部分的面积是 cm2．
10.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接CD．请找出图②中的全等三角形，并说明理由（说明：
结论中不得含有未标识的字母）．
【巩固】
1．如图，设在一个宽度为w的小巷内，一个梯子长为a，梯子的脚位于A点，将梯子的顶端放在一堵墙上Q点时，Q离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为45°；将该梯子的顶端放在另一堵墙上R点时，R点离开地面的高度为h，且此时梯子倾斜角为75°，则小巷宽度w=（ ）
A．
h
B．
k
C．
a
D．
2．如图，轴对称图形ABCDEFG的面积为56，∠A=90°，则点D的坐标是（ ）
A．
（0，6）
B．
（0，6.5）
C．
（0，7）
D．
（0，7.5）
3.已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边的中点，经过点C引一条直线l（不与AC、BC重合并且不经过点D）操作：
经过点A作AE⊥l，经过点B作BF⊥l，连接DE、DF，猜想△DEF的形状并证明．
4.如图，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向终点B匀速运动；动点Q从点B出发，沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动；两点同时出发多少秒时，△PBQ是等腰三角形？
5.如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D．
（1）求证：
PD=DQ；
（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．
课程小结
1.等腰三角形的性质与判定
2.等腰直角三角形的性质
3.等边三角形的性质与判定
4.含30°的直角三角形的性质
课后评价表：
一出勤情况
准时（）迟到（）旷课（）
__________________________________________________________________
二课上表现情况
优（）良（）差（）
________________________________________________________________________________________________________________________________________________
三课后作业完成情况
全部完成（）部分完成（）未完成（）
__________________________________________________________________________________________________________________
家长签字：
_______________________
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