从立体几何入门教学看数学语言.docx

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从立体几何入门教学看数学语言

从立体几何入门教学看数学语言

?

8?

中学数学月刊2007年第2期

从立体几何入门教学看数学语言

杨冠夏（山东省青岛第二中学266061）

立体几何入门有两难.一是建立空间概

念难,面对立体几何问题,画不出空间图形,

或面对图形,找不到其中的线面位置关系.二

是立体几何语言表达无章法,陈述不清,顺序

颠倒,内容遗漏,条件不足,出言无据,望图生

义,混淆平面与空间,这样一些现象普遍存在.

做任何一件事,只要抓住它的特征,把握

它的规律,这件事就不难解决.那么,立体几何

这门学科它的学科特征是什么呢?

从哪里人手

就可以让立体几何的入门教学变得不难呢?

在立体几何_】教学中,我做了以下五件事

1两个"学会"

一

是指学会在自己身边找立体几何位置

关系和立体几何结构的原型,让学生在他的

生活中去发现和体味立体几何.

我教立体几何总要讲个"绪论".从眼前

的教室说到世界着名的建筑物,从太阳系,银

河系说到电子,质子,原子结构.几何不是地

球不是房屋桌椅,但线面位置关系充满了现

实韵空间.

第二个"学会"是说要让学生学会动手

制作主体几何模型.几根竹条,几块硬纸板,

一

根细绳,加上自制的"接头",线线,线面,面

面结构,正方体,三棱柱,四棱锥全由自己搭造.

老师要在乎学生的感受.学生亲近它,喜

欢它,就能把神秘赶走.

2两个"凡是"

凡是纸上写的,就要求学生一字不差地

口述出来,并把清晰规范的图形画出来,反

之,学生口头陈述的语言,写在纸上,不必改

动,就应当是书面语言;第二,凡是学到公理,

定义,定理,就应当"三对照",有文字（语言）,

有图形（语言）,有符号（语言）,三者对照翻译.

这两个"凡是",在一个阶段内要坚持做下去.

前者是一种修养（或称为素养）的培养,

要让学生有这种修养,首先教师要以身作则.

做学生的榜样.

这里给出后面那个"凡是"的一个例子.

直线和平面平行的性质定理:

[图形语言]

[符号语言]（三推

一

）

;I//b.图口（==平面}口.一

n一bJ

[文字语言]

如果一条直线和平面平行,经过这条

直线的平面和这个平面相交,

那么这条直线和两个平面的交线平

行.

在纸上画立体几何示意图,这种图形并

非真实的三维图象,当然它也不再是平面几

何图形.正方形的水平放置图和平面的水平

放置图都是平行四边形.,

我们可以为空间示意图做一点画法的规

定（这种规定符合射影定理）,规范学生的作

图,也为了看起来直观.+.

（1）水平线段长度方向都不变;

（2）平行线仍保持平行;

（3）画一个平面的垂线通常画表示这个

平面的平行四边形的"水平边"的垂直直线;

（4）画水平放置图中的垂线,从垂足开

始,顺时针倾斜45.,长度缩短一半画出;

（5）可见线为实线,不可见线为虚线（或

省略）.

但,立体图形的平面示意图又不是依靠

这几条就能画出来的.老师可以画出范例,告

诉学生哪个画法可以,哪种画法不对.

直线nn平面a—A.

平面an平面一n.

语言规范,立体几何味道就出来了.

2007年第2期中学数学月刊?

9?

（×）

图2

（×）

（×）

[]j（√）（√）（√）

口

j.-/

（×）（×）

3

3树标立规,两个"贯彻"

第?

贯彻几推一的"证明节".

几何推理语言是由"证明节"拼接而成

的.初学时规范好"几推一",对以后的立体几

何证明书写大有裨益.如

平面n平面y=口1

平面n平面y—b口//6（三推一）,

a//8

也可以写作"ny一日,ny—b,//

口//b".

言必有据",其中核心是"言必有据".

所谓"言必有据",是指每一个证明节的

根据（即逻辑三段论的大前提）必须是我们

教科书给出的公理,定义,定理（包括推论和

以黑体字出现的习题结论）,不可以自己生造

理由,不可以随意把一道习题的结论作为根

据（这样将没有一个公认的标准）,不可以望

图生义,不可以把平面几何结论在非平面条

件下不加证明任意搬用.

要特别让学生懂得几何作图是几何推理

的特珠形式.立体几何作图也必须步步有据.

切忌用没有定义,公理,定理作依据的所谓

"作图"来取代逻辑证明.

几何证明好比法官断案,需条条有据有

理.据,即事实,几何证明中要条件充分,缺一

不可,这就是据.理,就是法律条文,切不可以

"大家都说对"作为判案之理,几何证明必须

遵纪守法,若依法则思路可允许千变万化,若

违法,则寸步难行.言必有据,就是数学的法

制.

数学可以给人以理性租睿智.这是数学

对人类文明的贡献,是数学的价值所在.人们

可以通过学习几何让自己聪明起来.但这种

聪明不能脱离理性而自己插上翅膀.

立体几何入门头几节课,节节搞"几推

一

"

段段追究言出何据,抓住典型错误反复

强化"十六字诀".当学生经过一段培养,证明

节意识形成后,课堂提向便可以大为简化,只

需问学生经过哪些证明节完成证明,这个证

明框架就赫然托出,此时,教师尽可放心,学

生的书面步骤不会出毛病.立体几何教学中

后期这种大段落讨论境界都要依托初学阶段

的"几推一"和"十六字诀"的训练打下的基

础.

例题一个平面和平面外一条直线同

垂直于一条直线,求证这个平面和平面外那

条直线平行.

用符号语言写出题目.

已知:

口平面,四j_b,bj_求证:

口//

证明1设bj_垂足为点B,因为口,

故可过口和B作平面,设an卢一c;B∈c.,

?

10?

中学数学月刊2007年第2期

因为b上口,fc口,所以b上C.

又b上a,a,fc,故a//f.

又a口,fc口,所以口//口.

图4图5

'

证明l是错误的.

b上c,6上a,a,fc≯口//f（见图5）.只

有b上f,b上a,a,b,fc时才有a//f.

混淆了平面几何性质和立体几何性质是

错误的原因.在立体几何中,b上f,b上a,a,f

c,就得结论a//c,是出言无据.

证明2在直线a上

取一点P,过P作PQ上

口,垂足为Q①,因为b上

a,故PQ//6②,而b上a,

故PQ上口③,过a和PQ

作平面④,因为Q∈,

Q∈a,所以an一f,Q

∈f（如图6,）⑤.

图6

由PQ上n,知PQ上f⑥.

又PQ上a,PQ,a,fc,所以a//f⑦,

而a口,fc口,故a//口.⑧

从①到⑧,这里条条有据.

①:

过一点作平面的垂线,可以作且只能

作一条（定理）;

②:

垂直于同一平面的两直线平行（定

理）;

③:

异面直线所成角的定义;

④:

两条相交直线可确定一个平面（公理

推论）;

⑤:

两平面若有一个公共点,则它们有且

仅有一条经过该点的交线（公理）;

⑥:

平面的垂线定义;

⑦（平面几何）乎行线的判定定理;

⑧直线和平面平行的判定定理.

4用图形结构展开立体几何教学

画出每一个立体几何定义,公理,定理与

之对应的"基本小图结构",并将其划分成平

面公理系统,平行系统,垂直系统,射影系统,

三种空间角结构系统,这样五个结构系统:

（1）平面公理系统:

（2）平行系统

图7

.因口.

.

因因.

厂,_\.

厂—_7.

图8

（3）垂直系统:

（4）射影系统:

图9

图1O

（5）空间角结构（斜线与平面所成的角

见（4））

图11

注**和***分别指该图涉及两

个和三个定理（或定义,或公理）.

2007年第2期中学数学月刊

把小图结构纳入教学过程,用小图结构

归纳立体几何知识,串联立体几何思路,形成

对图思考,以图交流.老师面对立体几何图

形,拿着小图剖析大图,这样的立体几何教学

方式,使立体几何的逻辑推理是在充分调动

学生直觉思维基础上的逻辑推理.我们所谓

的空间概念,就是在综合的空间图形中"逻辑

地"发现,寻求,乃至构造这样的基本小图结

构及其它们的变位,变态的思维形式,这如同

儿童的"看图说话",在一堆杂乱的线团中寻

找"小兔子"和"长颈鹿"（当然要比"看图说

话"理性化）.在基本小图结构的直觉思维面

前,综合的空间图形变成了由图形细胞构建

成的活的"有机体",而这一小图结构和那一

小图结构之间的因果联系又恰好是上一个

"证明节"和下一个"证明节"的关系.

5在看似简单的小问题上做文章,让思维的

触角在立体几何"小品"的追问中延伸

比如,在讨论直线和平面有几种位置关

系时,我们回答:

①直线n平面a,②nNa

—

A,（n//口（如图）.

图l2

面对②补上一问:

直线n和平面a相交,

可以有几个交点?

为什么?

初学者做出"因为平面没有厚度"所以

只有一个交点的回答.然而,"没有厚度"不

能当作逻辑论证的理由.

运用反证.假设直线n和平面a存在两个

公共点,,那么直线以上所有点都在平面

a内,这与直线n和平面a相交矛盾.言必有

据——公理1.

立体几何推理从"小品"开始,欧几里得

几何特征浮出水面.

再如这样一个问题:

已知直线a和直线b

平行,n交平面口于点,问直线b和a是否相

交?

为什么?

看图形说相交还是望图生义,反证一下

看:

'

假设直线b和平面a不相交,则可能b

口,或b//口.

若ba,由n//b,na,三推一得,n//

矾这与"N口一A矛盾.

又若b//口,而∈n,过b,A作平面卢,

于是,aN一n,A∈n,由线面平行性质定

理知,b//n.于是,过点有b的两条平行直

线n,n,这与平行公理矛盾.

综上知,b与平面a相交.

也可以直接证明.

证明因为n//b,过n,b作平面,由

∈a,A∈,知a,有且仅有一条交线c,且

∈f.

在平面内,nNc—A,n//b,故c与b

也相交,设交点为B,则B∈口,即bN口一B.

小品在讨论中进行,没有去摆证明大阵

势,却在不经意中尝试着逻辑证明."证明节",

"十六字诀"在和风细雨中被初学者接纳.

反思立体几何入门教学所做的五件事,

其中有返璞归真教育,有逻辑推理教学,有发

现法教育,又有一般解题方法的教学,然而,

其中的一条主线,就是数学语言教学.数学语

言是立体几何入门的主要矛盾,立体几何语

言和反璞归真的结合,是立体几何合情推理

和演绎推理得以通行的基础,立体几何入门

的这个语言关恰好反映出立体几何这门学科

的学科特征.'

编者的话杨冠夏老师谈立体几何入门

教学的文章总结了他多年教学的经验和方

法,"证明节","画小图","十六字诀","做小

品"都给人留下深刻的印象,值得一读.

在教学中思考,在思考中教学是做教学

研究的好方法.期待更多的老师象杨老师那

样把自己的经验总结出来,寄给我们,这些经

验是中国数学教育的宝贵财富.

我们愿为大家交流教学经验提供平台.