10中考数学专题05八年级数学上册期中考试重难点题型举一反三苏科版原卷版.docx

10中考数学专题05八年级数学上册期中考试重难点题型举一反三苏科版原卷版.docx

《10中考数学专题05八年级数学上册期中考试重难点题型举一反三苏科版原卷版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《10中考数学专题05八年级数学上册期中考试重难点题型举一反三苏科版原卷版.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

10中考数学专题05八年级数学上册期中考试重难点题型举一反三苏科版原卷版

专题05八年级数学上册期中考试重难点题型【举一反三】

【苏科版】

【直击考点】

【知识点梳理】

【知识点1】全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.

【知识点2】全等三角形的判定

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”

三边对应相等的三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”

斜边、直角边公理　斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”）

【知识点3】轴对称的概念

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，

那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，

这条直线叫对称轴，两个图形中对应点叫做对称点

【知识点4】轴对称图形的概念

把一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，

那么成这个图形是轴对称图形，这条直线式对称轴

【知识点5】垂直平分线

垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

【知识点6】轴对称性质：

1、成轴对称的两个图形全等

2、如歌两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

3、成轴对称的两个图形的任何对应部分成轴对称

4、成轴对称的两条线段平行或所在直线的交点在对称轴上

【知识点7】线段的对称性

1、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是对称轴

2、线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等

3、到线段两端距离相等的点在垂直平分线上

【知识点8】角的对称性

1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴

2、角平分线上的点到角的两边距离相等

3、到角的两边距离相等的点在角平分线上

【知识点9】等腰三角形的性质

1、等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是对称轴

2、等边对等角

3、三线合一

【知识点10】等腰三角形判定

1、两边相等的三角形是等边三角形

2、等边对等角

直角三角形斜边上中线等于斜边一半

【知识点11】等边三角形判定及性质

1、三条边相等的三角形是等边三角形

2、等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴

3、等边三角形每个角都等于60°

（补充）等腰梯形：

两腰相等的梯形是等腰梯形

【知识点12】等腰梯形性质

1、等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是对称轴

2、等腰梯形在同一底上的两个角相等

3、等腰梯形对角线相等

【知识点13】等腰梯形判定

1.、两腰相等的梯形是等腰梯形

2、在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形

【知识点14】勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a²＋b²＝c²

【知识点15】勾股定理逆定理

如果一个三角形三边a、b、c满足a²＋b²＝c²,那么这个三角形是直角三角形

【知识点16】勾股数

满足a²＋b²=c²的三个正整数a、b、c称为勾股数

【典例分析】

【考点1全等三角形的判定】

【例1】（2018秋•利津县期中）如图，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，AE＝CF，其中全等三角形的对数是（　　）

A．4B．3C．2D．1

【变式1-1】（2018秋•思明区校级期中）如图，已知，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，增加下列条件：

①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E；⑤∠1＝∠2．其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【变式1-2】（2018秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（　　）

A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50°B．AB＝5，BC＝6，AC＝13

C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°

【变式1-3】（2018秋•东台市期中）如图，给出下列四组条件：

①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；

②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；

③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；

④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．

其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（　　）

A．1组B．2组C．3组D．4组

【考点2等腰三角形中的分类讨论思想】

【例2】（2018春•鄄城县期末）等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为（　　）

A．3cmB．6cmC．3cm或6cmD．8cm

【变式2-1】（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（　　）

A．50°B．130°C．50°或140°D．50°或130°

【变式2-2】（2018秋•绥棱县期末）已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（　　）

A．2cmB．8cmC．2cm或8cmD．10cm

【变式2-3】（2018秋•沙依巴克区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（　　）

A．30°B．30°或150°

C．120°或150°D．30°或120°或150°

【考点3勾股定理与折叠】

【例3】（2019•云阳县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为（　　）

A．

B．

C．

D．

【变式3-1】（2018春•江夏区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得△ANM，连BN，若DM＝1，则△ABN的面积是（　　）

A．

B．

C．

D．

【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

【变式3-3】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（　　）

A．2B．

C．

D．

【考点4轴对称中的最值问题】

【例4】（2018秋•吴江区期中）如图，∠AOB＝45°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝1，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）

A．

B．

C．2D．1.5

【变式4-1】（2018秋•如皋市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　）

A．2.4B．4.8C．4D．5

【变式4-2】（2018秋•大连期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝4，点C和点D分别是射线OA和射线OB上的动点，△PCD周长的最小值是4，则∠AOB的度数是（　　）

A．25°B．30°C．35°D．40°

【变式4-3】（2018•营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　）

A．

B．2C．2

D．4

【考点5线段垂直平分线的应用】

【例5】（2018•太仓市模拟）如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若BD2+CE2＝DE2，则∠A的度数为　　°．

【变式5-1】（2018春•叶县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，BC＝6，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE，那么△ADE的周长为　　．

【变式5-2】（2018秋•江都区期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB＝118°，则∠MCN的度数为　　．

【变式5-3】（2018秋•丰县期中）如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，若CD＝5，DF＝4，则BE＝　　．

【考点6复杂的尺规作图】

【例6】（2018秋•六合区期中）在七年级我们就学过用一副三角板画出一些特殊度数的角．在八年级第二章，我们学会了一些基本的尺规作图，这些特殊的角也能用尺规作出．下面请各位同学开动脑筋，只用直尺和圆规完成下列作图．

已知：

如图，射线OA．

求作：

∠AOB，使得∠AOB在射线OA的上方，且∠AOB＝45°（保留作图痕迹，不写作法）

【变式6-1】（2018秋•泗洪县期中）已知：

如图，在△ABC中，AC＜AB且∠C＝2∠B

（1）用直尺和圆规作出一条过点A的直线1，使得点C关于直线的对称点落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）

（2）设

（1）中直线l与边BC的交点为D，请写出线段AB、AC、CD之间的数量关系并说明理由．

【变式6-2】（2018秋•丹阳市期中）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．

（1）试用直尺和圆规，在直线AB上求作点P，使△PBC为等腰三角形．要求：

①保留作图痕迹；②若点P有多解，则应作出所有的点P，并在图中依次标注P1、P2、P3、…；

（2）根据

（1）求PA的长（所有可能的值）

【变式6-3】（2018•惠山区二模）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：

（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC；

（2）作出一个△DEF，使得：

①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．

【考点7与直角三角形性质的有关综合】

【例7】（2018秋•泗洪县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB．

（1）说明DC＝DG；

（2）若DG＝7，EC＝4，求DE的长．

【变式7-1】（2018秋•海州区校级期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．

（1）请说明：

DE＝DF；

（2）请说明：

BE2+CF2＝EF2；

（3）若BE＝6，CF＝8，求△DEF的面积（直接写结果）．

【变式7-2】（2018秋•高邮市期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的中线．

（1）若AD＝12，BD＝16，求DE；

（2）已知点F是中线CE的中点，连接DF，若∠AEC＝57°，∠DFE＝90°，求∠BCE的度数．

【变式7-3】（2018秋•太仓市期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC＝10．

（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数；

（2）若EF＝4，求△MEF的面积．

【考点8等腰三角形与全等三角形的综合】

【例8】（2019•东莞市模拟）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．

（1）求证：

BF＝AC；

（2）若CD＝3，求AF的长．

【变式8-1】（2018秋•临清市期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：

CD＝BF；

（2）求证：

AD⊥CF；

（3）连接AF，试判断△ACF的形状．

【变式8-2】（2019秋•宁河县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点F．

（1）求证：

AE＝CE；

（2）求证：

△AEF≌△CEB．

【变式8-3】如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．

（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；

（2）求证：

过点A、F的直线垂直平分线段BC．

【考点9与三角形有关的动点问题】

【例9】（2018秋•全椒县期末）已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF＝60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．

（1）如图1，若EF∥AB．求证：

DE＝DF．

（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题

（1）的结论是否成立？

说明理由．

【变式9-1】（2019秋•本溪期末）△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．

（1）如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是　　三角形；

（2）若∠BAC＝∠DAE≠60°

①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；

②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？

请直接写出结论并画出相应的图形．

【变式9-2】（2018秋•十堰期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．

（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝　　．

（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．

①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？

请说明理由；

②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？

请直接写出你的结论．

【变式9-3】（2019秋•上城区期末）如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．

（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；

（2）如图2，若AB＝8，点P、Q两点在直线BE上且CP＝CQ＝5，试求PQ的长；

（3）在第

（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．

【考点10与等边三角形的性质与判定有关问题综合】

【例10】（2018春•天心区校级期末）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．

（1）求证：

∠AEB＝∠ADC；

（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．

【变式10-1】（2018秋•广州期末）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE交AD于点M，CD交AE于N．

（1）求证：

BE＝DC；

（2）求证：

△AMN是等边三角形；

（3）将△ACE绕点A按顺时针方向旋转90°，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断

（1）、

（2）两小题结论是否仍然成立，并加以证明．

【变式10-2】（2018秋•麻城市校级期末）

（1）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°（如图①）．求证：

EB＝AD；

（2）若将

（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），

（1）的结论是否成立，并说明理由．

【变式10-3】（2017秋•仁寿县期末）如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．

（1）求证：

BD＝AE；

（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM＝BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．

【考点11等腰三角形新定义问题】

【例11】（2018秋•滨湖区期中）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．

如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．

【应用】

（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值　　；

（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．

【变式11-1】（2019春•顺德区月考）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

（1）如图1，△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC（AB＞BC），若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条特异线，则∠BDC＝　　度；

（2）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：

AE是△ABC的一条特异线；

（3）如图3，已知△ABC是特异三角形，且∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数（如有需要，可在答题卡相应位置另外画图）．

【变式11-2】（2019秋•余姚市校级期中）课本的作业题中有这样一道题：

把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？

请画示意图说明剪法．

我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：

定义：

如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．

请你在图2中用三种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）

【变式11-3】（2019秋•常州期中）定义：

如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．

如图1，把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线．

（1）如图2，请用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）

（2）如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．

【考点12旋转法探索几何证明题】

【例12】（2019•广州模拟）

（1）如图

（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．

①求证：

BE+CF＞EF．

②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；

（2）如图

（2），在四边形ABCD中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

【变式12-1】（2018秋•灌云县期中）解决问题

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝

∠BAD．求证：

EF＝BE+FD．

小明想到条件∠EAF＝

∠BAD应用需要转化，将△ADF绕顶点A旋转到△ABG处，此时△ABG≌△ADF，把线段BE、FD集中到一起，进一步可以再证明EF＝EG＝BE+FD．

证明：

（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．

∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，

AB＝AD

∴△ABG≌△ADF．

小明没有证明结束，请你补齐证明过程．

基本运用：

请你用第

（1）题的解答问题的思想方法，解答下面的问题

（2）已知如图2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°，

求证：

EF2＝BE2+CF2；

拓展延伸

（3）已知如图3，等边△ABC内有一点P，AP＝8，BP＝15，AP＝17，求∠APB的度数．

【变式12-2】（2018秋•丰县期中）如图，画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．

（1）将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别垂直，垂足为E、F（如图1），则PE　　PF（选填＜，＞，＝）

（2）把三角尺绕着点P旋转（如图2），PE与PF相等吗？

试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．

拓展延伸1：

在

（2）条件下，过点P作直线GH⊥OC，分别交OA、OB于点G、H，如图3

①图中全等三角形有　　对（不添加辅助线）

②猜想GE、FH、EF之间的关系，并证明你的猜想．

拓展延伸2：

画∠AOB＝70°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝110°．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图4），PE与PF相等吗？

请说明理由．

【变式12-3】（2018秋•盐都区校级期中）

（1）问题发现：

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．

填空：

①∠AEB的度数为　　；②线段AD、BE之间的数量关系是　　．

（2）拓展研究：

如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．

（3）探究发现：

图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．