异面直线所成的角和线面角文.docx
《异面直线所成的角和线面角文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《异面直线所成的角和线面角文.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
异面直线所成的角和线面角文
异面直线所成的角和线面角
平移法：
①体内平移———中位线平移法
1、如图各棱都相等的三棱锥S—ABC，E,F分别为SC,AB的中点，求1）异面直线EF与SA所成的角（）A450B300C600D900
2、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，∠PBD=60°.
（1）求四棱锥的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.
3、如图，四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝
BC＝6，BD＝8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值
4、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
7
5
8
D
（第9题）
CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=
（I）求证：
AO⊥平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
B
E
体内平移———平行四边形平移法
5、如图，在正方体ABCD-A
1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD求AE与D1F所成的角。
1A
6、在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，求直线
DAM与CN所成角的余弦值
A
C11
C
②体外补形平移：
7、如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90︒且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．
解：
将此多面体补成正方体DBCA-D'B'C'P，PB与AC所成的角的大小即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小，在Rt△PDB
中，即
D（第6题）
P
A
C
PD
tan∠DBA=
DB
D1
1
BA
C
8、如图ABCD，ABEF是边长为a的正方形，直线FA垂直平面ABEF的所有直线，求异面直线AC和BF所成的角
练习：
.如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b（a>b）,AA1=c，求异面直线D1B和AC所成角的余弦值。
1A
9、A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点
BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值是
BD1F1
B
A
（第5题）
1
10、已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点。
（1）求异面直线AB1与BC1所成角
AB
11、如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC＝AC1CB
（2）π，2AB=
2，AC=PA=2，求：
（1）三棱锥P-ABC的体积
（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）
垂面法（异面垂直）
12、如图各棱都相等的三棱锥S—ABC，求异面直线SC与AB所成的角（）A450B300C600D900
线面角的求法
1．定义法：
平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
1、（如图1）四面体ABCS中，SA,SB,SC两两垂直，∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB3
的中点，求
（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成的角。
解:
（1）∵SC⊥SB,SC⊥SA,C
图1
∴SC⊥平面SAB故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，
∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。
（2）连结SM,CM，则SM⊥AB,
又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM,
∴面ABC⊥面SCM
过S作SH⊥CM于H,则SH⊥平面ABC
∴CH即为SC在面ABC内的射影。
∠SCH为SC与平面ABC所成的角。
sin∠SCH=SH／SC
∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7
（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：
先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
）
2、如图：
已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。
（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1；（II）试问：
若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1
C成60°角，为什么？
证明你的结论
3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，
PD=CD=2.
（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；
（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；
（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
4、如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.（Ⅰ）证明：
BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积
.
【答案】
【解析】（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.
又AC⊥BD,PA,AC是平面PAC内的两条相较直线，所以BD⊥平面PAC，
而PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.
（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，从而∠DPO=30.由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC，知BD⊥PO.
在RtPOD中，由∠DPO=30，得PD=2OD.
因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以
从而梯形ABCD的高为AOD,BOC均为等腰直角三角形，111AD+BC=⨯（4+2）=3,于是梯形ABCD面积222
1S=⨯（4+2）⨯3=9.
2
在等腰三角形ＡＯＤ中，OD=AD=
2
所以PD=2OD=PA==4.
11⨯S⨯PA=⨯9⨯4=12.33
5、如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，
故四棱锥P-ABCD的体积为V=AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。
（1）证明：
（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；
（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。
【解析】
（1）（i）因为C1B1//A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，所以C1B1//平面ADD1A1.又因为平面B1C1EF
（ii）因为BB1⊥A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1，平面ADD1A1=EF，所以C1B1//EF.所以A1D1//EF.
又因为BB1⊥B1A1，所以BC11⊥ABB1A1，
在矩形ABB1A1B1F=tan∠AA1B=1中，F是AA的中点，
即tan∠A
即.∠A1B1F=∠AA1B，故BA1⊥B1F.
所以BA1C1EF.1⊥平面B
（2）设BA1与B1F交点为H，连结C1H
.
由
（1）知B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角.在矩形ABB1A
1中，AB=，AA1=
2，得BH=BHC
1中，BC1=
，BH=
sin∠BC1H=
BH，所以BC与平面B1C1EF
=BC115
2.利用公式sinθ=h／ι
其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
利用三棱锥的等体积，省去垂足
可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法。
从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角。
因为垂线段的长度实际就是点面距h！
利用三棱锥的等体积，只需求出h，然后利用sinθ=h进行求解。
斜线段长
6、（如图2）长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=3,BC=2,A1A=4，求AB与面AB1C1D所成的角。
解：
设点B到AB1C1D的距离为h,
∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1∴1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，易得h=12／5
设AB与面AB1C1D所成的角为θ
D
则sinθ=h／AB=4／5A111图2
∴AB与面AB1C1D所成的角为arcsin4／5
7、在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC
的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG.
（Ⅰ）确定点G的位置；
（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.
8、如图，四棱锥S-ABCD中，ABCD,BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，
AB=BC=2,CD=SD=1．
（I）证明：
SD⊥平面SAB；
（II）求AB与平面SBC所成的角的大小。
3.利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2
如图所示：
PA是平面α的一条斜线，A为斜足，过P作平面α的垂线，垂足为B，PC为平面α内的一条线，若∠PAC=α，∠PAB=β，∠CAB=γ，探究cosα,cosβ,cosγ三者的关系
P过B作BC⊥AC，连结PC
⎫PB
⊥平面α⎫⇒PB⊥AC⎬⎪AC⊂平面α⎭⎬⇒AC⊥平面PBC⎪AC⊥BC⎭
ACACAB,,cos
α=APcosβ=APcosγ=ABαβγP推得：
cosα=cosβcosγ
变式1：
探究
如图所示：
PA是平面α的一条斜线，A为斜足，PA和∠BAC两边所成的角相等，探讨PA在平面α的投影的位置α
变式2：
PA是平面α的一条斜线，A为斜足，PA和∠BAC两边所成的角相等为30，∠BAC=90，
求PA和平面α所成角的余弦值
变式3：
已知球的直径SC=4,A,B是该球面上两点，∠ASC=∠BSC=30,则三棱锥S-ABC的体积为（）
类比例题4和变式1知变式1图是例题8
点在∠BAC的平分线上；类比变式1和变式2，运用例题4的结论，设PA和平面α所成角为θ，得cosα=cosππ26cos=;变式3综合性稍强，挖掘出∆SBC≌∆SAC，⨯=64224
4-3
4=，24∵∠ASC=∠BSC=30，∴BS=AS=23，又∵cos∠ASM=0SA-AM=SA22
cosπ239=cos∠CSMcos∠ASM，∴cos∠CSM=,sin∠CSM=,61313
三棱锥S-ABC的体积=S∆SCMAB=1
31111⨯SM∙SC∙sin∠CSM∙AB=⨯⨯⨯4⨯⨯3=32332213
1、（如图4）已知直线OA,OB,OC两两所成的角为60°,，求直线OA与面OBC所成的角的余弦值。
解：
∵∠AOB=∠AOC∴OA在面OBC内的射影在∠BOC的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30°,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC
∴cos60°=cos∠AOD·cos30°
∴cos∠AOD=√3／3∴OA与面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
A
O
图4
2、如图，已知AB是平面α的一条斜线，B为斜足，AO⊥α,O为垂足，BC为α内的一条直线，∠ABC=60,∠OBC=45，求斜线AB和平面α
所成角。
解：
∵AO⊥α，由斜线和平面所成角的定义可知，∠ABO为AB和α所成角，又∵cosθ=cosθ1⋅cosθ2，A
cos∠ABCcos601==÷=，cos∠CBOcos45222
∴∠BAO=45，即斜线AB和平面α所成角为45．∴cos∠ABO=
9BOCα
3、如图，在正方体AC1中，求面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角。
O，连结OB，〖解〗（法一）连结AC11与B1D1交于
∵DD1⊥AC⊥平面BB1D1D，11，B1D1⊥AC11，∴AO1∴∠A1BO是A1B与对角面BB1D1D所成的角，
1A1
A1B，∴∠A1BO=30．2
（法二）由法一得∠A1BO是A1B与对角面BB1D1D所成的角，
在Rt∆A1BO中，A1O=
BB又∵cos∠A1BB1=cos45=，cos∠B1BO==
BOcos∠ABB==∴cos∠A1BO=，∴∠A．1BO=30cos∠B1BO
说明：
求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角。
另外，在条件允许的情况下，用公式cosθ=cosθ1⋅cosθ2求线面角显得更加方便。
4．已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，求AC与平面BCD所成角的余弦值。
解：
过A作AO⊥平面BCD于点O，连接CO,BO,DO，
A
∵AB=AC=AD，∴O是正三角形BCD的外心，
，∵∠AOC=90，∴∠ACO即为AC与平面BCD所成角，
∴cos∠ACO=，所以，AC与平面BCD
设四面体的边长为a，则CO=
C
O
D
B
升级会员 