intersectab返回向量ab的公共部分.docx
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intersectab返回向量ab的公共部分
intersect（a,b）:
返回向量a，b的公共部分
intersect（A,B,'row'）:
A,B为相同列数的矩阵，返回元素相同的行
[c,ia,ib]=intersect（a,b）:
c为a，b的公共元素，ia表示公共元素在a中的位置，ib表示公共元素在b中的位置
c=setdiff（a,b）:
返回属于a但不属于b的不同元素的集合，即c=a-b
c=setdiff（A,B,'row'）:
返回属于A但不属于B的不同行
[c,i]=setdiff（...）:
c与前面一致，i表示c中元素在a中的位置
c=setxor（a,b）:
返回a，b交集的非
c=setxor（A,B,'row'）:
返回矩阵A,B的非，A,B有相同的列数
[x,ia,ib]=setxor（...）:
ia,ib表示c中元素分别在a（或A），b（或B）中的位置
c=union（a,b）:
a，b的交集
c=union（A,B,'row'）:
返回A,B矩阵不同行向量构成的大矩阵，其中相同行向量只取其一
[c,ia,ib]=union（...）:
ia,ib分别表示c中行向量在原矩阵（向量）中的位置
dot（a,b）:
若a，b为向量，a和b长度必须相同，返回向量a，b的点积；若a，b为矩阵，则a，b必须有相同的维数
dot=（A,B,dim）:
在dim维数中给出A与B的点积
c=cross（a,b）:
若a，b为向量，则c=a*b，a，b必须是3个元素的向量；若a，b为矩阵，则返回一个3*n的矩阵，其中的列式a与b对应列的叉积，a，b都是3*n矩阵
c=cross（a,b,dim）:
在dim维数在给出向量a，b的叉积，a和b必须有相同的维数，size（a，dim），size（b，dim）必须是3
混合积：
x=dot（a,cross（b,c））,即a.（b*c）,先叉积后点积
向量的长度：
sqrt（dot（a,a））或sqrt（sum（a.*a））
向量的方向角：
r=sqrt（dot（A,A））;%计算向量A的长度
alpha=acos（A
（1）/r）;%向量A与x轴的夹角
beta=acos（A
（2）/r）;%向量A与y轴的夹角
gamma=acos（A（3）/r）;%向量A与z轴的夹角
R1=sqrt（dot（a,a））；R2=sqrt（dot（b,b））;
alpha=acos（dot（a,b）/R1/R2）%计算向量a，b间的夹角
解析几何简单应用
（1）点与点之间的距离
s=A-B;
r=sqrt（dot（s,s））%计算A,B两点间的距离
（2）点与平面的距离
平面方程Ax+By+Cz+D=0,用f=[A,B,C,D],点P（a,b,c）用P=[a,b,c]表示。
d1=dot（f,[P,1]）;%计算Aa+Bb+Cc+D
d2=sqrt（dot（f（1:
3）,f（1:
3）））;%计算（A^2+B^2+C^2）^（1/2）
d=abs（d1/d2）%d为点P到平面f的距离
（3）点与直线的距离
将直线
表示为点O=[
]和向量v=[A,B,C],距离
vs=p-pv;%计算
d1=sqrt（dot（v,v））;%计算
c=cross（v,vs）%计算
d2=sqrt（dot（c,c））%计算
d=d2/d1%计算点P到直线的距离d
多项式和线性方程组的求解
1.p=[1,-4,7,-31];
poly2sym（p）%poly2sym（p）命令是将多项式向量转变为符号形式
2.A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
p=poly（A）%特征根
poly2sym（p）%特征多项式
3.r=[1,3,7]%已知多项式的根为1,3,7
p=poly（r）%由根创建多项式的系数
poly2sym（p）%由根创建多项式
4.多项式的运算
（1）计算两多项式
，
的和、积、商,
p=[2,1,0,-5,3];s=[1,1,1];s0=[0,0,1,1,];
p+s0%多项式加法，向量p，s必须同维，将s扩展成s0
conv（p,s）%多项式乘法，此时s不必扩维成s0
[q,r]=deconv（p,s）%多项式除法，商为q，余数为r，不必扩维
（2）多项式的根
roots（p）%多项式的根，即方程p（x）=0的解
pc=compan（p）%多项式p的伴随矩阵
eig（pc）%多项式p的伴随矩阵的特征值等于多项式p的根
例：
求多项式
的根
解法1：
p=[1,3,7];roots（p）
解法2：
p=[1,3,7];pc=compan（p）;eig（pc）
（3）多项式微分与赋值运算
polyder（p）%多项式p的一阶微分
polyval（p,a）%求x=a是多项式p的值
5.方程组的求解
（1）线性方程组有惟一的解时
x=inv（A）*b
x=inv（sym（A））*b%精确解
（2）线性方程组有无穷多解时
Z=null（A）%求解A矩阵的化零矩阵，也即基础解系
Z=null（A,'r'）%求解A矩阵的化零矩阵的规范形式
x0=（pinv（A）*b）%AX=b的一个特解
（3）无解时
x=pinv（A）*b%最小二乘解
6.图形的绘制
（1）显函数绘制
fplot（'函数',[a,b]）%函数表达式要置于单引号内，[a,b]为指定区间
如：
fplot（'sin（4*x）',[0,pi]）
fplot（'[sin（x）,cos（x）]',[-2*pi,2*pi）%在同一坐标系下绘制正弦、余弦取曲线
（2）隐函数的绘制
ezplot（'隐函数表达式'）
如：
ezplot（'x^2*sin（x+y^2）+y^2*exp（x+y）+5*cos（x^2+y）'）
上面函数将根据x的定义域绘图，下面的限制了定义域
ezplot（'x^2*sin（x+y^2）+y^2*exp（x+y）+5*cos（x^2+y）',[-10,10]）
（3）极坐标下的图形绘制
polar（x,y,s）%x为极角，y为极径，s为图形设置选项
ezpolar（'函数表达式'）
（4）特殊二维曲线绘制函数
函数名
意义
常用调用格式
函数名
意义
常用调用格式
bar
条状图
bar（X,Y）
comet
彗星状图
comet（X,Y）
compass
罗盘图
compass（X,Y）
errorbar
误差限图
Errorbar（x,y,
）
feather
羽毛状图
feather（X,Y）
fill
二维填充图形
fill（X,Y,c）
hist
直方图
hist（X,Y）
stem
离散数据柄状图
stem（X,Y）
polar
极坐标图
polar（X,Y）
quiver
磁力线图
quiver（X,Y）
stairs
阶梯图
stairs（X,Y）
semilogx
x-半对数图
semilogx（X,Y）
loglog
对数图
loglog
semilogy
y-半对数图
semilogy（X,Y）
（5）图形修饰与控制
axissquare%是绘图区域为正方形
axisequal%控制各坐标轴的单位刻度，使其相等
axis（[xmin,xmax,ymin,ynax]）%控制坐标轴的范围
title（'字符串'）%给图形加上标题
xlabel（'字符串'）%x轴标注
ylabel（'字符串'）%y轴标
test（x,y,'字符串'）%在点（x,y）处注说明文字
gridon%加网格线
gridoff%取消网格线
holdon%保持当前图形
holdoff%解除holdon命令
legend（'First','Second',n）%对一个坐标系上的两个图形做出图例注解
subplot（m,n,p）%将当前窗口分成m行n列个区域，并指定在p区绘图
fill（X,Y,'颜色选项'）%颜色填充
关于legend（'First','Second',n）中参数n的补充：
0：
自动定位，使得图标与图形重复最少，即自动放在最佳位置
1：
置于图形的右上角（默认值）
2：
左上角
3：
左下角
4：
右下角
-1：
右外侧
（6）三维图形的绘制
plot3（X,Y,Z,s）
如：
绘制螺旋线
t=0:
pi/60:
10*pi;
x=sin（t）;y=cos（t）;
plot3（x,y,t,'*b'）
其它函数：
stem3可以绘制火柴杆型曲线，fill3可以绘制三维的填充图形，bar3可以绘制三维的直方图，comet3可以绘制三维的彗星状图。
（7）三维曲面的绘制
[X,Y]=meshgrid（v1,v2）%生成网格数据
Z=...，如Z=X.*Y%计算二元函数的Z矩阵
surf（X,Y,Z）或mesh（X,Y,Z）%mesh函数绘制网格图，surf函数绘制表面图
其中v1，v2为x轴和y轴的分隔形式
其他绘制三维曲面的函数有：
meshz%绘制带有底座的三维网格图
meshc%带有等高线的三维网格图
surfc%带有等高线的三维曲面图
surf1%绘制光照下的三维曲面
waterfall%瀑布型三维图形
contour3%三维等高线函数
pie3%三维饼状图
cylinder%柱面图
sphere%球面图
如：
绘制带有底座的马鞍面：
x=-8:
8;y=-8:
8;
[X,Y]=meshgrid（x,y）;
Z=（x.^2/4^2-y.^2/5^2）;
meshz（X,Y,Z）
（8）直角坐标，柱坐标，球坐标之间的转换
[x,y]=pol2cart（theta,r）%二维极坐标转换为直角坐标
[theta,r]=cart2pol（x,y）%二维直角坐标转换为极坐标
[x,y,z]=pol2cart（theta,r,z）%三维柱坐标转换为直角坐标
[theta,r,z]=cart2pol（x,y,z）%三维直角坐标转换为柱坐标
[x,y,z]=sph2cart（theta,phi,r）%三维球坐标转换为直角坐标
[theta,phi,r]=cart2sph（x,y,z）%三维直角坐标转换为球坐标
如：
把三维柱坐标转换为直角坐标
theta=0:
pi/30:
2*pi;ro=sin（theta）;
[t,r]=meshgrid（theta,ro）;
z=r.*t;
[x,y,z]=pol2cart（t,r,z）;
mesh（x,y,z）
（9）图形命令的各种设置选项
曲线线型
曲线颜色
标记符号
选项
意义
选项
意义
选项
意义
—
实线
b
蓝色
*
星号
——
虚线
c
蓝绿色
.
实点
：
点线
g
绿色
o
圆圈
—.
点划线
k
黑色
叉号
none
无线
m
紫红色
+
加号
r
红色
d
棱形
w
白色
^
向上三角
y
黄色
<
向左三角
>
向右三角
s
正方形
h
正六角形
p
五角形
向下三角
7.微积分基本运算
（1）函数的极限
limit（f,x,a）%f（x）在
时极限值
limit（f,x,a,'right'）%右极限
limit（f,x,a,'left'）%左极限
limit（limit（f,x,
）,y,
）%累次极限
如：
求解极限
symxab;
f=x*（1+a/x）^x*sin（b/x）;
limit（f,x,inf）
（2）函数的导数
diff（f,x）%求f关于x的导数
diff（f,x,n）%n阶导数
diff（diff（f,x,m）,y,n）%二元函数f的偏导数
（3）函数的积分
int（f,x）%函数f（x）的不定积分；当被积函数f中只有一个变量时，可以省略x
int（f,x,a,b）%定积分
int（f,x,a,inf）%无穷积分
（4）函数的级数展开
（a）泰勒（Taylor）级数展开
taylor（f,x,k）%f（x）在x=0处的泰勒展开式，k为需要展开的项数
taylor（f,x,k,a）%在x=a处展开
注：
k的默认值为6.
（b）傅里叶（Fourier）级数展开
MATLAB本身没有提供专门的傅里叶级数展开的函数，可编写如下M函数实现
function[a0,an,bn]=fourier（f）
symsx
a0=int（f,-pi,pi）/pi;
an=int（f*cos（n*x）,-pi,pi）/pi;
bn=int（f*sin（n*x）,-pi,pi）/pi;
（4）梯形法数值积分
trapz（x,y）%x可以为行向量或列向量，y的行数等于x向量的元素数
注：
若y由多列向量给出，则该函数可以得到若干个函数的积分值。
如：
用梯形法求
区间，函数
的定积分值
x=[0:
pi/30:
pi]';%步长
可选
y=[sin（x）cos（x）];
trapz（x,y）
（5）quad函数计算数值积分（Simpson算法）
quad（Fun,a,b）%求定积分，误差为
quad（Fun,a,b,
）%限定精度为
的定积分求解
注：
Fun为描述被积函数的字符串变量，可以是一个Fun.m函数文件名，还可以是inline函数直接定义。
a，b分别为定积分的上限和下限，
为用户指定的误差限，默认值为
（6）矩形区域上二重积分的数值解
dblquad（Fun,a,b,c,d）%计算双重积分
dblquad（Fun,a,b,c,d，
）%限定精度为
的双重积分
如：
求二重积分：
f=inline（'exp（-x.^2/2）.*sin（x.^2+y）','x','y'）;
%inline函数的第一个输入变量为被积函数本身，第二个、第三个输入变量为自变量
J=dblquad（f,-2,2,-1,1）
（7）长方体区域上三重积分的数值解
triplequad（Fun,a,b,c,d,m,n,
）%三重积分
8.代数方程与常微分方程的求解
（1）代数方程的图解法
如：
求解方程：
ezplot（'exp（x）-x^2-10',[0,5]）
holdon,line（[0,5],[0,0]）
注：
通过局部放大图形，可得到原方程的解，直到曲线与x轴的交点附近完全一致。
如下图红圈所示。
（2）代数方程的符号解
solve（eqn）%求解方程eqn=0，输入变量eqn可以是符号表达式或字符串
solve（eqn,'x'）%对指定变量x求解eqn（x）=0
solve（eqn1,eqn2,...,eqnn）%求解方程：
eqn1=0,eqn2=0,...,eqnn=0
如：
使用solve函数求解方程：
x3+4x2-4x-1=0
solve（'x^3+4*x^2-4*x-1'）
使用solve函数求解方程组：
x+y=1，x-3y=5。
[x,y]=solve（'x+y=1','x-3*y=5'）
（3）一般非线性方程数值解
x=fsolve（Fun,x0）
其中，Fun应该用M函数文件或inline函数按指定的格式描述，x0为搜索点的初值，方程求根程序从该值开始逐步减小误差搜索出满足方程的实根x。
如：
先用图解法观察方程5x2sinx-e-x=0在区间[0,10]内有多少解，然后试用数值方法求之。
ezplot（'5*x^2*sin（x）-exp（-x）',[0,10]）
holdon
line（[0,10],[0,0]）
从图中可以看出在[0,10]内共有4个解，分别在0，3,6,9附近
从而可以使用fsolve函数求其数值解
fun=inline（'5*x.^3.*sin（x）-exp（-x）'）;
fsolve（fun,[0,3,6,9]）
例：
求解方程组：
x-0.7sinx-0.2cosy=0,y-0.7cosx+0.2siny=0
解：
先编制函数文件fu.m
functiony=fu（x）
y
（1）=x
（1）-0.7*sin（x
（1））-0.2*cos（x
（2））=0;
y
（2）=x
（2）-0.7*cos（x
（1））+0.2*sin（x
（2））=0;
y=[y
（1）,y
（2）];
在命令窗口调用fu函数，并计算：
x=fsolve（'fu',[0.5,0.5]）
结果为：
x=
0.52650.5079
（4）常微分方程的符号解（解析解）
dsolve（f1,f2,...fn）
dsolve（f1,f2,...Fn,'x'）
其中，fi既可以描述微分方程，又可以描述初始条件或边界条件。
在描述微分方程，可以用D4y表示y（4）（t）,还可以用D2y
（2）=3表示y''
（2）=3。
如火自变量不是t而是x，则可以用后一个语句指明自变量。
如：
求解微分方程y''-y'-ex=0的通解及在初始条件y（0）=1;y'（0）=2下的特解。
dsolve（'D2y-Dy-exp（x）=0','x'）
ans=
C3*exp（x）+exp（x）*（x+C2*exp（-x））
在初始条件y（0）=1;y'（0）=2下：
dsolve（'D2y-Dy-exp（x）=0','y（0）=1','Dy（0）=2','x'）
ans=
exp（x）+x*exp（x）
（5）常微分方程的数值解法
[T,Y]=ode45（Fun,[t0,tf],y0）%在区间[t0,tf]上，用初始条件y0求解显式微分方程：
y'=f（t,y）,t0默认为0
例：
求解微分方程y'=-2y+2x2+2x,0
x
0.5,y（0）=1
fun=inline（'-2*y+2*x^2+2*x','x','y'）;
[x,y]=ode45（fun,[0,0.5],1）;
plot（x,y）%绘制解函数曲线图
例：
考虑描述振荡器的经典VanderPol方程：
在初始条件y（0）=1y'（0）=0的解（取μ=7）
分析：
首先，用dsolve函数，看看有啥结论
y=dsolve（'D2y+mu*（y^2-1）*Dy+y=0','y（0）=1','Dy（0）=0'）
Warning:
Explicitsolutioncouldnotbefound.
>Indsolveat194
y=
[emptysym]
得出无解提示，可见dsolve函数不能直接用于一般非线性方程的解析解的求解。
数值解，首先把微分方程转化为显式微分方程
的形式。
令
，则原方程化为：
初值条件变为：
x1（0）=1,x2（0）=0
解法1使用inline函数描述微分方程组：
f1=inline（'[x
（2）;-7*（x
（1）^2-1）*x
（2）-x
（1）]','t','x'）;
y0=[1;0];
[t,x]=ode45（f1,[0,40],y0）;
plot（t,x）
解法2编写M函数文件vdp.m来描述微分方程组：
functionfy=vdp（t,x）
fy=[x
（2）;-7*（x
（1）^2-1）*x
（2）-x
（1）];
然后在命令窗口中输入：
y0=[1;0];
[t,x]=ode45（'vdp',[0,40],y0）;
plot（t,x）
（6）不同求解器Solve的特点
求解器Solve
ODE类型
特点
说明
ode45
非刚性
一步法，4，5阶Runge-Kutta方程，累计截断误差达（Δx）3
大部分场合的首选算法
ode23
非刚性
一步法，2,3阶Runge-Kutta方程，累计截断误差达（Δx）3
使用于精度较低的情形
ode113
非刚性
多步法，Adams算法，高低精度均可达10-6~10-3
计算时间比ode45短
ode23t
适度刚性
采用梯形算法
适度刚性情形
ode15s
刚性
多步法，Gear's反向数值微分，精度中等
若ode45失败时。
可尝试使用
ode23s
刚性
一步法，2阶Rosebrock算法，低精度
当精度较低时，计算时间比ode15s短
9.优化问题
（1）无约束最优化问题的数值解法
x=fminunc（Fun,x0）%最简求解语句
[x,f]=fminunc（Fun,x0,options）%一般求解语句
fminsearch的用法与fminuc一样
options的选择
参数名
参数说明
Display
中间结果显示方式，其值可以取off表示不显示中间值，iter逐步显示，notify求解不收敛时给出提示，final只显示终值
GradObj
表示目标函数的梯度是否已知，可以选择为on或off
LargeScale
表示是否使用大规模问题算法，取值为on或off
MaxIter
方程求解和优化过程最大允许的迭代次数，若方程未求出解，可适当增加此值
MaxFunEvals
方程函数或目标函数的最大调用次数
TolFun
误差函数的误差限控制量，当函数的绝对值小于此值即终止求解
TolX
解的误差限控制量，当解的绝对值小于此值即终止求解
opt=optimset%获得默认的常用变量
opt.TolX=1e-10;%修改解的误差限控制量，或者用set（opt.'TolX',1e-10）
【例1.75】已知二元函数z=f（x,y）=（x^2-2*x）.exp（-x^2-y^2-xy）,使用MATLAB提供的求解函数求出其最小值
首先用inline语句定义目标函数：
f=inline（'（x
（1）^2-2*x
（1））*exp（-x
（1）^2-x
（2）^2-x
（1）*x
（2））','x'）;
然后给出初始值，并将求解控制变量中的Display属性设置为'iter'，这样可以显示中间的搜索结果：
x0=[0;0];ff=optimset;ff.Display='iter';
最后，可以用下面的语句求解出最优解：
x=fminsearch（f,x0,ff）
IterationFunc-countminf（x）Procedure
010
13-0.000499937initialsimplex
24-0.000499937reflect
.......
71135-0.641424contractinside
72137-0.641424contractoutside
Optimizationterminated:
thecurrentxsatisfiestheterminationcriteriausingOPTIONS.TolXof1.000000e-04
andF（X）satisfiestheconver
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