二阶线性微分方程的解法.docx
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二阶线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如ypyqyf（x）
（1）
的方程称为二阶常系数线性微分方程•其中p、q均为实数，f（x）为已知的
连续函数.
如果f（x）0,则方程式
（1）变成
ypyqy0
（2）
我们把方程
（2）叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式
（1）叫做二阶常
系数非齐次线性方程.本节我们将讨论其解法.
二、二阶常系数齐次线性微分方程
1．解的叠加性
定理1如果函数yi与y是式⑵的两个解，则yCiyi也是
式⑵的解，其中C1,C2是任意常数.
证明因为yi与y是方程⑵的解，所以有
y1py1qy10
y2py2qy20
将yCiyiC2y2代入方程⑵的左边，得
（C1y1C2y2）p（C1y1C2y2）q（C1y1C2y2）
=Ci（yipyiqyi）C2（y2py2qy2）0
所以yCiyiC?
y2是方程⑵的解•
定理i说明齐次线性方程的解具有叠加性.
叠加起来的解从形式看含有Ci,C2两个任意常数，但它不一定是方程式
（2）
的通解•
2•线性相关、线性无关的概念
设yi，y2，,yn,为定义在区间i内的n个函数，若存在不全为零的常数
k「k2,,心，使得当在该区间内有k』k?
y2knyn0,则称这n
个函数在区间I内线性相关，否则称线性无关.
例如1,cos2x,sin2x在实数范围内是线性相关的,因为
22
1cosxsinx0
又如1,x,x2在任何区间（a,b）内是线性无关的，因为在该区间内要使
k1k2xk3x20
必须k1k2k30.
对两个函数的情形，若上常数，则y2线性相关若吐常数，则
y2y2
y1，y线性无关.
3•二阶常系数齐次微分方程的解法
定理2如果y1与y2是方程式⑵的两个线性无关的特解，则
yCdC2y2（G，C2为任意常数）是方程式
（2）的通解.
例如，yy0是二阶齐次线性方程，sinx，y2cosx是它的
V1
两个解，且-tanX常数，即y1，y2线性无关，所以y2
yC1y1C2y2&sinxC2cosx
（C1,C2是任意常数）是方程yy0的通解•
rx
由于指数函数ye（r为常数）和它的各阶导数都只差一个常数因子，
根据指数函数的这个特点，我们用y来试着看能否选取适当的常数r,
rx
使ye满足方程
（2）.
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将yerx求导，得
rx2rx
yre,yre
把y,y,y代入方程⑵，得
.2\rx
（rprq）e0
因为e^0,所以只有r2prq0
只要r满足方程式（3）,yerx就是方程式⑵的解.
我们把方程式（3）叫做方程式
（2）的特征方程，特征方程是一个代数方程
其中r2,r的系数及常数项恰好依次是方程
（2）y,y,y的系数•
特征方程（3）的两个根为A,2P"一,因此方程式
（2）的通
ri
P.P24q
2
PP24q
2
解有下列三种不同的情形
yierix,y2er2x是方程⑵的两个特解，并且上e（rir2）x常数，即
y2
yi与y2线性无关•根据定理2,得方程⑵的通解为yCie"C2e°x
2
（2）当p4q0时，九“是两个相等的实根•
riD£,这时只能得到方程⑵的一个特解yierix,还需求出另
一个解y2,且里常数，设里u（x）,即
yiyi
rix,、
y2eu（x）
yerix（uriu）,yerix（u2riu『u）.
将y2,y2,y代入方程⑵，得
erix（u2r1ur12u）p（ur1u）qu0
整理，得
erix[u（2rip）u（ri2priq）u]0
由于eriX0,所以u（2rip）u（r,pqq）u0
因为ri是特征方程（3）的二重根，所以
ri2priq0,2rip0
从而有u0
因为我们只需一个不为常数的解，不妨取ux,可得到方程⑵的另
个解
rix
y2xe.
那么，方程
（2）的通解为
rixrix
yCieC2xe
即y（GC2x）erix.
（3）当p24q0时，特征方程（3）有一对共轭复根
ri
i，
r2
i
（0）
T曰
（i）x
（i
）x
于是
yi
e
，y2
e
利用欧拉公式
eix
cosx
isinx把yi,讨2改写为
yi
（i）xe
xe
ixe
ex（cosx
isin
x）
y2
（i）xe
xe
ixe
ex（cosx
isin
x）
yi，y之间成共轭关系，取
yi=^（yiy2）exCOSx，2
一
1、x.
y2
評y2）esinX
y2
yi
方程⑵的解具有叠加性,所以yi,y2还是方程⑵的解,并且
x
ye（C1cosxC2sinx）
综上所述，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下
（1）写出方程⑵的特征方程
2
rprq0
（2）求特征方程的两个根ri,a
⑶根据ri,r2的不同情形，按下表写出方程⑵的通解.
2
特征方程rprq0的
两个根r1,r2
方程ypyqy0的通
解
两个不相等的实根r1r2
yC1er1xC2er2x
两个相等的实根r1r2
y（GC2X）er1x
一对共轭复根r1,2i
yex（C1cosxC2sinx）
例1求方程y2y5y0的通解.
解：
所给方程的特征方程为
r22r50
ri12i,r212i
的特解•
解所给方程的特征方程为
2r
ri
S（4C2t）et,对其求导得
S（C24C2t）et
将初始条件S
2代入上式，得
C2
所求特解为
例3求方程y
2y3y
0的通解.
（42t）et
解所给方程的特征方程为r22r30
其根为r13,r21
所以原方程的通解为yC1e3xC2ex
二、二阶常系数非齐次方程的解法
1•解的结构
定理3设y是方程
（1）的一个特解，丫是式
（1）所对应的齐次方程式
（2）的通解，则yYy是方程式
（1）的通解•
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证明把yYy代入方程⑴的左端：
（Yy）p（Yy）q（Yy）
=（YpYqY）（ypyqy）
=0f（x）f（x）
yYy使方程⑴的两端恒等，所以yYy是方程⑴的解.
定理4设二阶非齐次线性方程
（1）的右端f（X）是几个函数之和，如
ypyqyfi（x）f2（x）⑷
而yi与y2分别是方程ypyqyfi（x）
与ypyqyf2（x）
的特解，那么yiy2就是方程（4）的特解，非齐次线性方程
（1）的特解有时可
用上述定理来帮助求出•
x
2.f（x）ePm（x）型的解法
f（x）exPm（x）,其中为常数，Pm（x）是关于x的一个m次多项式.
方程
（1）的右端f（x）是多项式Pm（x）与指数函数ex乘积的导数仍为
冋一类型函数，因此方程
（1）的特解可能为y
Q（x）ex,其中Q（x）是某个
多项式函数•
把y
Q（x）ex
y
[Q（x）Q（x）]ex
y
[2Q（x）2Q（x）Q
x
（x）]e
代入方程
（1）并消去
ex,得
Q（x）
（2p）Q（x）（2
pq）Q（x）Pm（x）⑸
以下分三种不同的情形，分别讨论函数Q（x）的确定方法：
（1）若不是方程式⑵的特征方程r2prq0的根，即
2
pq0,要使式（5）的两端恒等,可令Q（x）为另一个m次多项式
Qm（x）:
Qm（x）bob?
X2bmXm
代入⑸式，并比较两端关于x同次幕的系数，就得到关于未知数bo,bi,,bm
的m1个方程.联立解方程组可以确定出bi（i0,1,,m）.从而得到所求
方程的特解为
yQm（x）ex
q0，2
p0，要使式⑸成立，则Q（x）必须要是m次多
项式函数，于是令
Q（x）xQm（x）
用同样的方法来确定Qm（x）的系数bi（i0,1，，m）.
22
（3）若是特征方程rprq0的重根，即pq0,
2p0.
要使（5）式成立，则Q（x）必须是一个m次多项式，可令
Q（x）x2Qm（x）
用同样的方法来确定Qm（x）的系数.
综上所述，若方程式
（1）中的f（x）Pm（x）ex，则式
（1）的特解为
yxkQm（x）ex
，是特征方程
其中Qm（x）是与Pm（x）同次多项式，k按不是特征方程的根的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.
例4求方程y2y3e2x的一个特解.
解f（x）是Pm（x）ex型,且Pm（x）3,2
=-2是特征方程的单根，令
yxboe2x，代入原方程解得
3
bo
2
故所求特解为y3xe2x.
2
例5求方程y2y（x1）ex的通解.
特征方程为r22r10,r1r21
由于1是特征方程的二重根，所以
yx2（axb）ex
把它代入所给方程
，并约去ex得
6ax2b
x1
比较系数，得
1
1
a_
b
6
2
于是
2/Xyx（-
1'x
-）e
6
2
所给方程的通解为yyyGc2x—x2丄x3）ex
26
3.f（x）AcosxBsinx型的解法
f（x）AcosxBsinx,其中A、B、均为常数.
此时,方程式⑴成为
ypyqAcosxBsinx
这种类型的三角函数的导数，仍属同一类型，因此方程式⑺的特解y也
应属同一类型，可以证明式（7）的特解形式为
yxk（acosxbsinx）
其中a,b为待定常数.k为一个整数.
当i不是特征方程r2prq0的根，k取0;
当i不是特征方程r2prq0的根，k取1;
例6求方程y2y3y4sinx的一个特解.
解1，ii不是特征方程为r22r30的根，k0.
因此原方程的特解形式为
yacosxbsinx
于是yasinxbcosx
yacosxbsinx
将y,y,y代入原方程，得
4a2b0
2a4b4
24
解得a2,b-
55
24
原方程的特解为：
ycosxsinx
55
例7求方程y2y3yexsinx的通解.
解先求对应的齐次方程的通解Y.对应的齐次方程的特征方程为
r22r30
ri1,r23
YC1exC2e3x
再求非齐次方程的一个特解y.
由于f（x）5cos2xex,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为
f1（x）e,f2（x）
sinx的特解y1、y,则yy
y2是原方程的一
个特解•
由于1,i
i均不是特征方程的根，故特解为
y
y1y2aex（bcosxcsinx）
代入原方程，得
4aex
（4b2c）cosx（2b4c）sinx
x
esinx
比较系数，得
4a
1
4b2c
0
2b
4c1
解之得a
1
b
1
c
1
4
10
5
于是所给方程的一个特解为
1x
1
1
sinx
y
e
cosx
—
4
10
5
所以所求方程的通解为
yYy
C1e
xC2e3x
1
x1
e
1.
cosxsinx
4
10
5
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