电大高等数学基础期末考试复习试题及答案.docx
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电大高等数学基础期末考试复习试题及答案
高等数学
(1)学习辅导
(一)
第一章肉数
1•理解函数的概念:
学握瓯数y=中符号/()的含义:
了解西数的两要素:
会求函数的定义域及函数伍:
会判
断两个函数是否相等.
两个函数相等的充分必要条件是定义域相等H对应关系相同.
2.了解函数的主要性质,即单调性、奇偶性、有界性和刑期性。
若对任意x,^/(-.v)=/(X).则/(x)称为偶函数.偶丙数的图形关于y轴对称.
”甘任童x,有/(-.r)=-/(x),则/(x)称为奇函数.奇瞬数的图形关于原点对称.
掌握奇偶函数的判别方法.
韋握单调南敌、仃界函数及周期曲数的图形特点.
3•熟练节掘味本初等顷数的解析表达式、定义城、主要性质和图形.
基本初等甬数是指以下儿种类型:
1常数函数:
y=c
2菲函数:
>,=x"(a为实数)
3指数除数:
y=ax(a>O,aHl)
4对数函数:
y=logax(a>0,a1)
5三角函数:
sinx,cosx,tanx,colx
6反三角嗡敌:
arcsinx.arccosx,arctanx
4.了解复合南数、初等函数的概念,会把一个复合请数分解成较简单的甬数.
如函数
y=严‘心)
可以分解v=eM・w=v2・v=arctanw・w=l+.v.分解后的南数蕭三个都是基本初等函数,而第囚个函数是常数瞬数和幕曲数的和.
5.会列简取的应用问題的函数关系式。
例題选解
一、填空見
1•设/
(1)=x+a/1+x2(x>0).则/(x)=
X解:
设/=丄.则x=i.得
Xt
故/(x)」5r・
X
2•函数/(r)=一!
一+匚的定义域是•
ln(x-2)
解:
对函数的第一项.要求j-2>0且ln(x-2)#0,即x>2Rxh3:
对函数的第二顶,要求5-x^0,即x<5・取公共部分,得甫数定义域为(2,3)U(3・5]・
3.函数/⑴的定义域为[0,1],则/(Inx)的定义域是.
解:
要便/(lnx)有意义,必须使OMlnMl,由此/(lnx)定义域为[“]・
4.函数v=^Y'~9的定义域为・
x-3
Wr[k|>3
解^要使y=.义,必须満足x2-9>OHx-3>0,U|b丨丨一成立.解不尊式方程组.御出
x-3x>3
xn3或丫<-3
x>3
故得出曲数的定义域为(T0.-3]U(3・+8)O
x-JT
对称.
5.设/(x)=a,则函数的图形关j
解:
/(X)的定义域为(-O0,十R),且台
r、a'11^a~{-x}a-x+flxax+a-x_、/(-x)====f(x)
八222
即/(x)是偶函如故图形关于丁轴对称。
二
】•下列族对函数中.()是相同的.
A・/(x)=>/P\g(K)=x:
B./(x)=Inx2.g(x)=2In.T:
C./(x)=Inx\g(.r)=31n.r:
D./(x)=^-^-,g(.r)=x-l
Jt+1
解:
A中內诵数的对应关系不同,F=B.D三个选项中的毎对函数的定义域都不同.所以AB.D都不是
正确的选项:
血选项C中的函数定义域相等.且对应关系相同.故选项C正确.
2.设函数/(x)的定义域为(-co,+00).则曲数/(x)-/(-x)的图形关于()对瓠
A..v=x:
B_y轴:
Cj•轴:
D.坐标原.点
解:
设F(x)=/«-/(-X),则对任意xW
F(-x)=/(-x)-=/(-V)-/(x)=-(/(x)-/(-J))=-F(x)
即F(x)是侖函数.故图形关于原点对称.选项D正确.
3.设悔数/⑴的定义域是全体实数.则西数J(x)/(-x)^().
A.旅调减曲政:
B.有界函数:
C.偶甬数:
D.周期沽数
解:
A,B,D三个选项都不一定満足.
设F(x)=/(x)•/(-x)・则对任意x有
F(-x)=/(-x)•/(-<-.r))=/(-x)•f(x)=/(x)•/(-x)=F(x)即F(n是偶曲数,故选项CJE确・
4.换数f(x)=x-(a>0,a*1)()
as+1
A.是奇函数:
B.是偶函数:
C.既奇函数又是偶函数:
D.是非奇非偶函数.
解:
利用奇偶函数的定义进行验证.
“a_x-1a'x(l-ox)aJ-1,
A-V)=(-.V)—-=T二’=-V—=fW
a+ia(1+a)a+1
所以B正确・
5•若函数f(x+丄)=/+丄・WJ/(x)=()
Xx・
A.x2:
B.x2-2;
C.(x—1)*:
D.x*—1•
解:
闵为j*+―+2+—7—2=(x+—)•■2
JT0X
所以/(x+i)=(x+l)2-2
XX
则/(x)=x2-2.故选项B正确.
第二章极限与连续
1•知迢数列极限的“£-N”定义:
了解西数极限的描述性定义.
2.理解无穷小虽的概念:
了解无穷小星的运体性质及氏与无穷大虽的关系:
知逍无穷小虽的比校.
无穷小虽的运算性质主要有:
1有限个无穷小呈的代数和是无穷小呈:
2石限个无穷小虽的乘枳是无穷小虽:
3无穷小址和冇界变址的乘积是无穷小量.
3.熟练拿握极限的计算方法:
包括极限的四则运算法则,消去极限式中的不定因子,利用无穷小呈的运算性质.有理化根式.两个車變极限.函数的连续性等方法。
求极限仃几种典空的类型
(1)
..(Ja'+x*+x*+a)1
=lim#=——
io亠」0丄」丄2a
(2)
xk(y]a2^xk+a)
rx2+ax+h..(X7oX—xJ
lim=lim=x0-xt
•f*x-x0…心x-x0
g0
n>m
4•熟练拿握两个硕要极限:
■・sinx.
lim=1
・fOx
lim(l+—)x=e…X
朿要极限的一般形式:
sina(x),
=1
(或lim(l+x)J=e)x->0
lim
lim(1+—■—)/("=e(或lim(1+g(x))rU>=ef(x)
利用两个重菱极限求极限.往往需耍作适当的变换.将所求极限的函数变形为巫要极限或巫耍极限的扩展形式.再利
用電要极限的结论和极限的四则运篦法则.如
sinx
..sinx..Ix1
sin3x”03sin3x3
3x
..sin.rlim
■丸x
..sin3xlim
z3x
(1+-Vlim[(l+-)?
]2,
二]im—二_1_二$『
X^(l--rlim[(l+—)-xr*e
X-x
5•理解换数连续性的定义:
会判断两数在一点的连续性:
会求闻数的连续区间:
了舗用数间断点的概念:
会对惭数的
何断点进行分类.
间斯点的分类:
已知点X=x0是的间斯点.
若/(x)4Ax=x0的从右极限都“任•则x=.v0称为/(x)的第一类间断点:
若/(x)在点x=的左、右极限仃一个不存在•則x=.r0称为/(x)的第二类间断乩
6•理解连续两数的和、差.积、商(分母不为0)及复合仍是连续函数.初等甬数在Jt定义域内连续的结论.知道闭区间上连续函数的儿个结论•
典型例题解析
一、
■・1x*sin—
I•极限lim—―王=•
•tosinx
1
xsin—]I
解2limx=lim(xsin—=limxsin—dimX■=0x1=0
2sinxzxsinx「°x"sinx
注窘:
limxsin丄=0(无穷小址乘以有界变昱等于无穷小址)
■十x
rxr111(sinx,円鱼一/击囲的泊
lim=lim——=:
—=-=1•其中hm=1是第一个施要极限.
x-M)sinxsmx..sinx1x->ox
lim
xzx
2.函数/⑴二卜x<0的间断点是".
[x+1x>0
解:
由/⑴是分段函数,x=O^f(x)的分段点,考虑宙数在x=0处的连续性。
因为limxsin—=0lim(x+1)=1f(O)=1
x-^rx
所以函数/(x)在x=0处昱间断的.
Z/(.V)在(y,O)和(O.+oo)都是连续的.故甬数/(x)的间断点是x=0・
3.4.5.&设/(x)=x2-3j+2・则/[厂匕)]=・
解:
f\x)=2x-3,故
f[f'(x)]=(2x-3)2-3(2x-3)+2=4x2-18x+20
7.曲数y=ln(l+x2)的单调墩加区间是.
二、单项选择題
1.函数f(x)=xsin—在点乂=0处().
x
A.有定义且有极限:
B.无定义但有极限:
C.有定义但无极限:
D.无定义且无极限
解:
/(X)在点x=0处没冇定义,但
limxsin丄=0(无穷小界变虽二无穷小虽〉〜x
故选项B正确.
2.下列函数在指定的变化过程中,()是无穷小址.
.sinx.、
B.・(XT8):
X
y/x+1"•1zc、D・,(xtO)
丄
2、(I->x):
解:
无穷小址乘以有界变虽仍为无穷小虽.所以
而A.C.D三个选项中的极限祁不为0.故选项B正确.
1•计算下列极限:
…2l十4x-12
(归)畑:
3),,卄12(x-2),$
解:
⑴・・・宀女+2
lim也0
X-XV
三、计算应用题
⑵iim(il2尸
—1
a/I—X—1
(4)lim—sin3x
(x-lXx-2)x-1
r2+4.r-12(r-2)(x+6)r+6
..x2-3x+2.・x-11
lrni=lim=—
X^2x^+4.r-12“2x+68
”3(l--rMd-ir]-“
⑵=lim—=———=^-=-y
XX3(l+-rlim[(l+^)M3
XX
⑶題II所给极限式分子的呆髙次项为
x,0-(2x)5=32x15
分母的垠高次项为12.?
\山此勺
(x-l)10(2x+3)5328
lim=—=—
12(x-2)15123
(4)当xtO时,分子、分母的极限均为0,所以不能用极限的除法法则。
求解时先何理化根式在利用除法法则和第一个巫要极限计算.
..Vl-X-1r(-71-X-1X-V1-X+1)
lim一1•一
x->0
sin3x
_「1—x—1
sin3x(Jl-x-1)sin3x(Jl_x+1)
-x1.3xI111
—limlim“‘——=—x—=—
3osin3xJl+1326
lim-
5sin3x(Jl-x+l)
xsin-+/>
x<0
Xa
x=0
sinx
X
x>0
/(x)=
M
(1)为何值时./(xi/tv=0处仃极限存在?
(2)a,b为何值时,/(X)在"0处连续?
解:
(I)要/(x)在x=0处冇极限存在.即要liny/(x)=lim/(x)成立.x-*O"x->0*
因为limf(x)=lim(xsin—+Z>)=6
x-4>"x
limf(x)=lim'=1
x-*0*x-*0*X
所以.当/>二1时.lim/(x)=limf(x)成広即/>=1时.帳数在x=0处有极限存在.乂闵为由数在某点处冇极*->0・*tO・
限与在该点处是否直定义无关,所以此时a可以取任盈值・
(2)依两数连续的定义知.换数在某点处连续的充要条件是
lim/(x)=lim/(x)=/(x0)
r-*x<%
于是fj7)=1=/(0)=o•即a=b=1时丙数在x=0处连续.
第三章舷K分
导数与微分这一章是我们课程的学习飯点之一.在学习的时候要侧重以卜儿点:
1.理解导救的概念:
了解导数的儿何宜义:
会求曲线的切线和法线:
会用宦义计算简单因数的导数:
知道町导与连续的关系.
/(X)在点x=x0处可导是指极限
lim/So+&)■/(%)
血->0Ax
存在.且该点处的导数就是这个松限的值。
导数的定义式还可弓成极阳
fx-x0
函数/(X)在点X=勺处的导数/'(X。
)的儿何您义是曲线y=/⑴上点(X。
,/(X。
))处切线的崭札
曲线丿二/(x)在点(x°,/(x。
))处的切线方程为
y=/V0X^-x0)+/(xl>)
函数y=/(x)在Jr。
点可导,则在%点连续.反Z则不然,函数)=/(x)在斗,点连续,在儿点不一泄町导。
2.了解微分的概念:
知道一阶微分形式不变性。
3.熟记导数基本公式,熟练拿握下列求导方法
(1)导数的四则运算法则
(2)复合幣数求导法则
O)隐函数求导方法
(4)对数求导方法
<5)参数表示的换数的求导法
正确的采用求导方法有助于我们的导数计算,如
一般当函数农达式中仃集除关系或根式时,求导时采用取对数求导法.
fr-n2
例如函数y=l厂',求>‘。
Vx
在求导时II接用导数的除法法则是可以的,但足计算时会麻烦一誉.而且容易出错.如果我们把瓯数先进行变形.即(x—l)'x*—2x+14T"4
y=—==——=x2-2X?
+X2
Jxy/x
再用导数的加法法则计算其导数,F是有
31_1]丄
y=-x--x■--x2
这样计算不但简贰而且不易出错。
乂例如函数y=
显然4接求导比牧麻烦.可采用収对数求导法.将上式两瑙取対数得
In>»=-ln(x+1)--ln(x-2)
23
两端求导得
/=_!
」
y2(x+l)3(—2)
密理后便可得
Jx+1x-8
歹Vx-26(x2-x-2)
若函数由参数方程
[x=沁)
b=X)
的形式给出,則有导数公式
⑪_鸭'⑴
dr必)
能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、巫合曲数的求导法則计算曲数的导数,能够利用隐换数求导法.取对数求导法,参数衷示的函敌的求瓯数的导数。
4.熟练拿握微分运伺:
法则
微分四则运昇法則与导数四则运算法则类似
d(n±v)=du±dv
d(“•v)=vdi/+udv
lzi/xidiz-ndv,c、
d(-)=——;—(V#0)
一阶微分形式的不变性
⑪=y[dx=y:
・u[dx=y[du
微分的计斤可以归结为导数的计算.但要注慰它们之间的不同之处.即函数的微分等于函数的导数与门变址微分的乘积.
6.了解高阶导数的概念:
会求显曲数的二阶导数。
函数的高阶高数即为函数的导数的导数。
由此耍求函数的二阶导数就耍先求函数的一阶导数。
耍求函数的〃阶导数就要先求甬数的”-1阶导数.
第三章导数与微分典型例题选解
1.填空题
1•设曲数/(x)在x=0邻近有定义.且/(0)=0,/r(0)=l.=
x-»Ox
解:
|im型=lim/⑴-几°)=厂(0)=1・tO才x-M)X-0
故应填1・
解:
由导数的几何愆义知•由线/(x)在x=x0处切线的斜率是/(x0).即为函数在该点处的导数.于是
故应垃-丄.
2
3•设/(x)=/-4x+5,则/[/r(x)]=
解:
/f(x)=2x-4,故
/[/’CO]=(2x-4)2-4(2.i-4)+5=4^2・24瓜+37
故应填4/一24.卄37
二、单项遶择题
1•设函数f(x)=x2,则lim/Cv)"^
(2)=()o
fx-2
A.2x:
B.2:
C.4;D不存在
解:
因为]im/(x)-(
(2)=f
(2).且/(x)=x\所以广
(2)二2工|“二4・即C正确。
2•设/㈠*
X
W'J/V)=().
1
A.-:
B.
C.—r:
D.
X
X
x2
解:
先要求出_f(x),
再求/'⑴。
因为/(丄)=x=l,
X1
由此得/⑴=丄.
X
所以/rw=(-y=-4
x
x
即选项D正确.
3.设函数/(x)=(x+l)x(x-l)(x-2),«J/r(0)=<>•
A.O:
B」:
C.2:
D.-2
解:
因为f\x)=x(x-lXx-2)+(x+l)(x-lXx-2)+(x+\)x(x-2)+(x+\)x(x-1),其中的三项当x=0时为0,所以
r(0)=(0+lXO-lXO-2)=2
故选项C正确.
4.曲线y=x-e在点()处的切线轩率等F0・
A.(0,l):
B.(l,0);C.(0,-l):
D.(-l.O)
解:
y=l-e\令”=0得x=i(uy(O)=-h故选项c正确。
5.y=sinx2•则y‘=()•
A.cosx2:
B.-cosx2:
C.2xcosx2:
D.-2xcosx2
解:
y9=cosx2-(x2\=2xcosx2
故选项c正确。
三、计算应用黑
1•设y=tan2x+2linj»求⑹匚三
t¥:
⑴宙导敷四则运算法则和复合函数求导法则
八儀+曲小2
由此得
d\\*=(—\—+cos—-22ln2)dr=2ckcos*n2
2•设y=/(ex)e/u\其中/(x)为可微甬数.求
解y=[/(eJ)]V*3)[ej'e如+/©)e如[/(训=f\ex)eeM+/(门“⑴广⑴7⑴[f(ef+/(「)・")]
求复合曲数的导数时.耍先搞清曲数的复合构成.即巫合国数是由哪些基本初等曲数复合血成的.特别要分清复合曲数的复合层次•然后由外层开始,逐层使用复合的数求导公式.一层一层求导.关键是不要遗漏.最后化简。
xdv
3•设函=y(x)由方程-vy+ev=In—确定.求亠。
ydr
解:
方法一:
等式两瑞对X求导御
y+M+必一匕再xy*
整理得
方法二:
由一阶微分形式不变性和微分法则•原式阿鈿求納衬*
左瑞=d(xy+er)=(l(xy)+d(er)=ydx+xdy+e'dv
右端=d(ln-)
vidr-xdv—丁t*
2
y
xy
Jy
由此得
r.yrdx・xdy
\xlx+.vdv+edv=
X芮
整理紂
drx'y+g+x
4•设函数〉=y(X)宙参数方程
t:
L
确定.求空。
dr
解:
由参数求导法
dvy\-11
dr"x;"2/"t
2
5.设y=(l+.r2)arctanx•求y*。
解yf=2xarctanx+(l+x:
)—r=2xarctanx+11+f
92x
j*=(2xarctanx+1)#=2arctanx+—'—
1+f
第四章导数的应用典空例題
一、填空題
1•函数丿二ln(l-x2)的取调增加区间是.
解:
卩=二^•当x>0时/<0.故函数的单调增加区间是(・8,0)・
I4-X
2.极Klim—=・
解:
由洛必达法则
丄
■・Inx.・(\nxY..r.
lim=lim=lim亠=-1
z]一xi(1—x)re-1
3.函数/«=|(ex+「)的极小值点为・
解:
//(x)=|(e,-e_,).令f\x)=0・解得驻点x=0.又x<0时,f(x)<0:
x>0时・f(x)>0・所以x=0是两数/(.v)=|(ex+e-J的极小值点.
二、单选題
I•函数7=,V+I在区间卜22]上是()
解:
选抒D
=2.v・当x<0时.f(x)<0:
为x>0时••厂(x)>0:
所以在区间[-2.2]上幣数y=F+l先单嗣勰少再单调
2.若函数y=/(x)ifi足条件(
)•则在(a,b)内至少存在一点g(ac§
b-a
成立.
A)在(仏/>)内连续:
B)在仏上)内可导:
C)在(“")内连续,在(a“)内可导:
D)在[a.b]内连续.在(a,b)内可导.
解:
选择D・
由拉格朗日定理条件.曲数./W在[a,切内连续,在S")内町导,所以选择DiE确.
3.满足方程f\x)=0的点楚函数y=/⑴的()・
A)极值点B)拐点
C)驻点D)间断点
解:
选择C・
依驻点泄义,函数的驻点是使函数一阶导数为零的点.
4.设用数/(.r)在(a")内连续,xQg(a,/>).且/''(Xq)=厂(.q)=0・则曲数在x=x0处()・
A)取得极大值B)取得极小值
C)一定右拐点(x0J(x0))D)可能宵极值,也可能右拐点
解:
选择D
臥数的一阶导数为零.说明x•可能是幣数的极值点:
换数的二阶导数为零,说明X。
可能是换数的拐点,所以选择D・
三、解答題
1.计算题
求=A-ln(l+x)的单脚区间.
解:
曲数j/=.r-ln(l+x)的定义区何为(-1+00).由于
”十丄=丄
i+X1+X
令y=o.解w.r=o.这样可以将定义区间分成(-1,0)和(o,+8)两个区间來讨论.当-i当
0Q.
由此得出.^fty=x-ln(l+.r)在(一1,0)内单•调递减.在(0,+®)内单•说増加.
2.应用題
欲做一个底为正方形,容枳为108立方米的氏方体开口容器.怎杠做拄所用材料虽省?
解:
设底边边长为X,高为h・所用材料为y
x2h=10&力二学
x・y=x2+4xh
2A1082432
=x+4x—=x十一—
xx
.宀-4322x3-432
y=2x+—
x令y=0^J2(x3-216)=0=>x=6,且因为x>6,y>0;x<6,/<0・所以x=6,y=108为最小值.此时h=3・于是以6米为底边长,3米为高