电大高等数学基础期末考试复习试题及答案.docx

资源描述

电大高等数学基础期末考试复习试题及答案.docx

《电大高等数学基础期末考试复习试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电大高等数学基础期末考试复习试题及答案.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

电大高等数学基础期末考试复习试题及答案.docx

电大高等数学基础期末考试复习试题及答案

高等数学

（1）学习辅导

（一）

第一章肉数

1•理解函数的概念：

学握瓯数y=中符号/（）的含义：

了解西数的两要素：

会求函数的定义域及函数伍：

会判

断两个函数是否相等.

两个函数相等的充分必要条件是定义域相等H对应关系相同.

2.了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和刑期性。

若对任意x,^/（-.v）=/（X）.则/（x）称为偶函数.偶丙数的图形关于y轴对称.

”甘任童x,有/（-.r）=-/（x）,则/（x）称为奇函数.奇瞬数的图形关于原点对称.

掌握奇偶函数的判别方法.

韋握单调南敌、仃界函数及周期曲数的图形特点.

3•熟练节掘味本初等顷数的解析表达式、定义城、主要性质和图形.

基本初等甬数是指以下儿种类型：

1常数函数：

y=c

2菲函数：

>，=x"（a为实数）

3指数除数：

y=ax（a>O,aHl）

4对数函数：

y=logax（a>0,a1）

5三角函数：

sinx,cosx,tanx,colx

6反三角嗡敌：

arcsinx.arccosx,arctanx

4.了解复合南数、初等函数的概念，会把一个复合请数分解成较简单的甬数.

如函数

y=严‘心）

可以分解v=eM・w=v2・v=arctanw・w=l+.v.分解后的南数蕭三个都是基本初等函数，而第囚个函数是常数瞬数和幕曲数的和.

5.会列简取的应用问題的函数关系式。

例題选解

一、填空見

1•设/

（1）=x+a/1+x2（x>0）.则/（x）=

X解：

设/=丄.则x=i.得

故/（x）」5r・

2•函数/（r）=一!

一+匚的定义域是•

ln（x-2）

解：

对函数的第一项.要求j-2>0且ln（x-2）#0,即x>2Rxh3：

对函数的第二顶，要求5-x^0,即x<5・取公共部分，得甫数定义域为（2,3）U（3・5]・

3.函数/⑴的定义域为[0,1],则/（Inx）的定义域是.

解：

要便/（lnx）有意义,必须使OMlnMl,由此/（lnx）定义域为[“]・

4.函数v=^Y'~9的定义域为・

x-3

Wr[k|>3

解^要使y=.义，必须満足x2-9>OHx-3>0,U|b丨丨一成立.解不尊式方程组.御出

x-3x>3

xn3或丫<-3

x>3

故得出曲数的定义域为（T0.-3]U（3・+8）O

x-JT

对称.

5.设/（x）=a,则函数的图形关j

解：

/（X）的定义域为（-O0,十R）,且台

r、a'11^a~{-x}a-x+flxax+a-x_、/（-x）====f（x）

八222

即/（x）是偶函如故图形关于丁轴对称。

二

】•下列族对函数中.（）是相同的.

A・/（x）=>/P\g（K）=x：

B./（x）=Inx2.g（x）=2In.T：

C./（x）=Inx\g（.r）=31n.r：

D./（x）=^-^-,g（.r）=x-l

Jt+1

解：

A中內诵数的对应关系不同，F=B.D三个选项中的毎对函数的定义域都不同.所以AB.D都不是

正确的选项：

血选项C中的函数定义域相等.且对应关系相同.故选项C正确.

2.设函数/（x）的定义域为（-co,+00）.则曲数/（x）-/（-x）的图形关于（）对瓠

A..v=x：

B_y轴：

Cj•轴：

D.坐标原.点

解:

设F（x）=/«-/（-X）,则对任意xW

F（-x）=/（-x）-=/（-V）-/（x）=-（/（x）-/（-J））=-F（x）

即F（x）是侖函数.故图形关于原点对称.选项D正确.

3.设悔数/⑴的定义域是全体实数.则西数J（x）/（-x）^（）.

A.旅调减曲政：

B.有界函数：

C.偶甬数：

D.周期沽数

解：

A,B,D三个选项都不一定満足.

设F（x）=/（x）•/（-x）・则对任意x有

F（-x）=/（-x）•/（-<-.r））=/（-x）•f（x）=/（x）•/（-x）=F（x）即F（n是偶曲数，故选项CJE确・

4.换数f（x）=x-（a>0,a*1）（）

as+1

A.是奇函数：

B.是偶函数：

C.既奇函数又是偶函数：

D.是非奇非偶函数.

解：

利用奇偶函数的定义进行验证.

“a_x-1a'x（l-ox）aJ-1,

A-V）=（-.V）—-=T二’=-V—=fW

a+ia（1+a）a+1

所以B正确・

5•若函数f（x+丄）=/+丄・WJ/（x）=（）

Xx・

A.x2：

B.x2-2；

C.（x—1）*:

D.x*—1•

解：

闵为j*+―+2+—7—2=（x+—）•■2

JT0X

所以/（x+i）=（x+l）2-2

则/（x）=x2-2.故选项B正确.

第二章极限与连续

1•知迢数列极限的“£-N”定义：

了解西数极限的描述性定义.

2.理解无穷小虽的概念：

了解无穷小星的运体性质及氏与无穷大虽的关系：

知逍无穷小虽的比校.

无穷小虽的运算性质主要有：

1有限个无穷小呈的代数和是无穷小呈：

2石限个无穷小虽的乘枳是无穷小虽：

3无穷小址和冇界变址的乘积是无穷小量.

3.熟练拿握极限的计算方法：

包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定因子，利用无穷小呈的运算性质.有理化根式.两个車變极限.函数的连续性等方法。

求极限仃几种典空的类型

（1）

..（Ja'+x*+x*+a）1

=lim#=——

io亠」0丄」丄2a

（2）

xk（y]a2^xk+a）

rx2+ax+h..（X7oX—xJ

lim=lim=x0-xt

•f*x-x0…心x-x0

n>m

4•熟练拿握两个硕要极限：

■・sinx.

lim=1

・fOx

lim（l+—）x=e…X

朿要极限的一般形式：

sina（x）,

（或lim（l+x）J=e）x->0

lim

lim（1+—■—）/（"=e（或lim（1+g（x））rU>=ef（x）

利用两个重菱极限求极限.往往需耍作适当的变换.将所求极限的函数变形为巫要极限或巫耍极限的扩展形式.再利

用電要极限的结论和极限的四则运篦法则.如

sinx

..sinx..Ix1

sin3x”03sin3x3

..sin.rlim

■丸x

..sin3xlim

z3x

（1+-Vlim[（l+-）?

]2，

二]im—二_1_二$『

X^（l--rlim[（l+—）-xr*e

X-x

5•理解换数连续性的定义：

会判断两数在一点的连续性：

会求闻数的连续区间：

了舗用数间断点的概念：

会对惭数的

何断点进行分类.

间斯点的分类：

已知点X=x0是的间斯点.

若/（x）4Ax=x0的从右极限都“任•则x=.v0称为/（x）的第一类间断点：

若/（x）在点x=的左、右极限仃一个不存在•則x=.r0称为/（x）的第二类间断乩

6•理解连续两数的和、差.积、商（分母不为0）及复合仍是连续函数.初等甬数在Jt定义域内连续的结论.知道闭区间上连续函数的儿个结论•

典型例题解析

一、

■・1x*sin—

I•极限lim—―王=•

•tosinx

xsin—]I

解2limx=lim（xsin—=limxsin—dimX■=0x1=0

2sinxzxsinx「°x"sinx

注窘：

limxsin丄=0（无穷小址乘以有界变昱等于无穷小址）

■十x

rxr111（sinx，円鱼一/击囲的泊

lim=lim——=:

—=-=1•其中hm=1是第一个施要极限.

x-M）sinxsmx..sinx1x->ox

lim

xzx

2.函数/⑴二卜x<0的间断点是".

[x+1x>0

解：

由/⑴是分段函数，x=O^f（x）的分段点，考虑宙数在x=0处的连续性。

因为limxsin—=0lim（x+1）=1f（O）=1

x-^rx

所以函数/（x）在x=0处昱间断的.

Z/（.V）在（y,O）和（O.+oo）都是连续的.故甬数/（x）的间断点是x=0・

3.4.5.&设/（x）=x2-3j+2・则/[厂匕）]=・

解：

f\x）=2x-3,故

f[f'（x）]=（2x-3）2-3（2x-3）+2=4x2-18x+20

7.曲数y=ln（l+x2）的单调墩加区间是.

二、单项选择題

1.函数f（x）=xsin—在点乂=0处（）.

A.有定义且有极限：

B.无定义但有极限：

C.有定义但无极限：

D.无定义且无极限

解：

/（X）在点x=0处没冇定义，但

limxsin丄=0（无穷小界变虽二无穷小虽〉〜x

故选项B正确.

2.下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小址.

.sinx.、

B.・（XT8）：

y/x+1"•1zc、D・，（xtO）

丄

2、（I->x）:

解：

无穷小址乘以有界变虽仍为无穷小虽.所以

而A.C.D三个选项中的极限祁不为0.故选项B正确.

1•计算下列极限：

…2l十4x-12

（归）畑：

3），，卄12（x-2）,$

解：

⑴・・・宀女+2

lim也0

X-XV

三、计算应用题

⑵iim（il2尸

—1

a/I—X—1

（4）lim—sin3x

（x-lXx-2）x-1

r2+4.r-12（r-2）（x+6）r+6

..x2-3x+2.・x-11

lrni=lim=—

X^2x^+4.r-12“2x+68

”3（l--rMd-ir]-“

⑵=lim—=———=^-=-y

XX3（l+-rlim[（l+^）M3

⑶題II所给极限式分子的呆髙次项为

x,0-（2x）5=32x15

分母的垠高次项为12.?

\山此勺

（x-l）10（2x+3）5328

lim=—=—

12（x-2）15123

（4）当xtO时，分子、分母的极限均为0,所以不能用极限的除法法则。

求解时先何理化根式在利用除法法则和第一个巫要极限计算.

..Vl-X-1r（-71-X-1X-V1-X+1）

lim一1•一

x->0

sin3x

_「1—x—1

sin3x（Jl-x-1）sin3x（Jl_x+1）

-x1.3xI111

—limlim“‘——=—x—=—

3osin3xJl+1326

lim-

5sin3x（Jl-x+l）

xsin-+/>

x<0

x=0

sinx

x>0

/（x）=

（1）为何值时./（xi/tv=0处仃极限存在？

（2）a,b为何值时,/（X）在"0处连续？

解：

（I）要/（x）在x=0处冇极限存在.即要liny/（x）=lim/（x）成立.x-*O"x->0*

因为limf（x）=lim（xsin—+Z>）=6

x-4>"x

limf（x）=lim'=1

x-*0*x-*0*X

所以.当/>二1时.lim/（x）=limf（x）成広即/>=1时.帳数在x=0处有极限存在.乂闵为由数在某点处冇极*->0・*tO・

限与在该点处是否直定义无关，所以此时a可以取任盈值・

（2）依两数连续的定义知.换数在某点处连续的充要条件是

lim/（x）=lim/（x）=/（x0）

r-*x<%

于是fj7）=1=/（0）=o•即a=b=1时丙数在x=0处连续.

第三章舷K分

导数与微分这一章是我们课程的学习飯点之一.在学习的时候要侧重以卜儿点：

1.理解导救的概念：

了解导数的儿何宜义：

会求曲线的切线和法线：

会用宦义计算简单因数的导数：

知道町导与连续的关系.

/（X）在点x=x0处可导是指极限

lim/So+&）■/（%）

血->0Ax

存在.且该点处的导数就是这个松限的值。

导数的定义式还可弓成极阳

fx-x0

函数/（X）在点X=勺处的导数/'（X。

）的儿何您义是曲线y=/⑴上点（X。

，/（X。

））处切线的崭札

曲线丿二/（x）在点（x°,/（x。

））处的切线方程为

y=/V0X^-x0）+/（xl>）

函数y=/（x）在Jr。

点可导，则在％点连续.反Z则不然，函数）=/（x）在斗,点连续，在儿点不一泄町导。

2.了解微分的概念：

知道一阶微分形式不变性。

3.熟记导数基本公式，熟练拿握下列求导方法

（1）导数的四则运算法则

（2）复合幣数求导法则

O）隐函数求导方法

（4）对数求导方法

<5）参数表示的换数的求导法

正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如

一般当函数农达式中仃集除关系或根式时，求导时采用取对数求导法.

fr-n2

例如函数y=l厂',求>‘。

在求导时II接用导数的除法法则是可以的，但足计算时会麻烦一誉.而且容易出错.如果我们把瓯数先进行变形.即（x—l）'x*—2x+14T"4

y=—==——=x2-2X?

+X2

Jxy/x

再用导数的加法法则计算其导数,F是有

31_1］丄

y=-x--x■--x2

这样计算不但简贰而且不易出错。

乂例如函数y=

显然4接求导比牧麻烦.可采用収对数求导法.将上式两瑙取対数得

In>»=-ln（x+1）--ln（x-2）

两端求导得

/=_!

」

y2（x+l）3（—2）

密理后便可得

Jx+1x-8

歹Vx-26（x2-x-2）

若函数由参数方程

[x=沁）

b=X）

的形式给出，則有导数公式

⑪_鸭'⑴

dr必）

能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、巫合曲数的求导法則计算曲数的导数，能够利用隐换数求导法.取对数求导法，参数衷示的函敌的求瓯数的导数。

4.熟练拿握微分运伺:

法则

微分四则运昇法則与导数四则运算法则类似

d（n±v）=du±dv

d（“•v）=vdi/+udv

lzi/xidiz-ndv,c、

d（-）=——；—（V#0）

一阶微分形式的不变性

⑪=y[dx=y：

・u[dx=y[du

微分的计斤可以归结为导数的计算.但要注慰它们之间的不同之处.即函数的微分等于函数的导数与门变址微分的乘积.

6.了解高阶导数的概念：

会求显曲数的二阶导数。

函数的高阶高数即为函数的导数的导数。

由此耍求函数的二阶导数就耍先求函数的一阶导数。

耍求函数的〃阶导数就要先求甬数的”-1阶导数.

第三章导数与微分典型例题选解

1.填空题

1•设曲数/（x）在x=0邻近有定义.且/（0）=0,/r（0）=l.=

x-»Ox

解：

|im型=lim/⑴-几°）=厂（0）=1・tO才x-M）X-0

故应填1・

解：

由导数的几何愆义知•由线/（x）在x=x0处切线的斜率是/（x0）.即为函数在该点处的导数.于是

故应垃-丄.

3•设/（x）=/-4x+5,则/[/r（x）]=

解：

/f（x）=2x-4,故

/[/’CO]=（2x-4）2-4（2.i-4）+5=4^2・24瓜+37

故应填4/一24.卄37

二、单项遶择题

1•设函数f（x）=x2,则lim/Cv）"^

（2）=（）o

fx-2

A.2x：

B.2：

C.4；D不存在

解：

因为]im/（x）-（

（2）=f

（2）.且/（x）=x\所以广

（2）二2工|“二4・即C正确。

2•设/㈠*

W'J/V）=（）.

A.-：

C.—r:

解：

先要求出_f（x）,

再求/'⑴。

因为/（丄）=x=l,

由此得/⑴=丄.

所以/rw=（-y=-4

即选项D正确.

3.设函数/（x）=（x+l）x（x-l）（x-2）,«J/r（0）=<>•

A.O：

B」：

C.2：

D.-2

解：

因为f\x）=x（x-lXx-2）+（x+l）（x-lXx-2）+（x+\）x（x-2）+（x+\）x（x-1）,其中的三项当x=0时为0,所以

r（0）=（0+lXO-lXO-2）=2

故选项C正确.

4.曲线y=x-e在点（）处的切线轩率等F0・

A.（0,l）：

B.（l,0）；C.（0,-l）：

D.（-l.O）

解：

y=l-e\令”=0得x=i（uy（O）=-h故选项c正确。

5.y=sinx2•则y‘=（）•

A.cosx2:

B.-cosx2:

C.2xcosx2:

D.-2xcosx2

解：

y9=cosx2-（x2\=2xcosx2

故选项c正确。

三、计算应用黑

1•设y=tan2x+2linj»求⑹匚三

t¥：

⑴宙导敷四则运算法则和复合函数求导法则

八儀+曲小2

由此得

d\\*=（—\—+cos—-22ln2）dr=2ckcos*n2

2•设y=/（ex）e/u\其中/（x）为可微甬数.求

解y=[/（eJ）]V

求复合曲数的导数时.耍先搞清曲数的复合构成.即巫合国数是由哪些基本初等曲数复合血成的.特别要分清复合曲数的复合层次•然后由外层开始，逐层使用复合的数求导公式.一层一层求导.关键是不要遗漏.最后化简。

xdv

3•设函=y（x）由方程-vy+ev=In—确定.求亠。

ydr

解：

方法一：

等式两瑞对X求导御

y+M+必一匕再xy*

整理得

方法二：

由一阶微分形式不变性和微分法则•原式阿鈿求納衬*

左瑞=d（xy+er）=（l（xy）+d（er）=ydx+xdy+e'dv

右端=d（ln-）

vidr-xdv—丁t*

由此得

r.yrdx・xdy

\xlx+.vdv+edv=

X芮

整理紂

drx'y+g+x

4•设函数〉=y（X）宙参数方程

t：

确定.求空。

解：

由参数求导法

dvy\-11

dr"x；"2/"t

5.设y=（l+.r2）arctanx•求y*。

解yf=2xarctanx+（l+x:

）—r=2xarctanx+11+f

92x

j*=（2xarctanx+1）#=2arctanx+—'—

1+f

第四章导数的应用典空例題

一、填空題

1•函数丿二ln（l-x2）的取调增加区间是.

解：

卩=二^•当x>0时/<0.故函数的单调增加区间是（・8,0）・

I4-X

2.极Klim—=・

解：

由洛必达法则

丄

■・Inx.・（\nxY..r.

lim=lim=lim亠=-1

z]一xi（1—x）re-1

3.函数/«=|（ex+「）的极小值点为・

解：

//（x）=|（e，-e_,）.令f\x）=0・解得驻点x=0.又x<0时，f（x）<0:

x>0时・f（x）>0・所以x=0是两数/（.v）=|（ex+e-J的极小值点.

二、单选題

I•函数7=,V+I在区间卜22］上是（）

解：

选抒D

=2.v・当x<0时.f（x）<0:

为x>0时••厂（x）>0：

所以在区间［-2.2］上幣数y=F+l先单嗣勰少再单调

2.若函数y=/（x）ifi足条件（

）•则在（a,b）内至少存在一点g（ac§

b-a

成立.

A）在（仏/>）内连续：

B）在仏上）内可导：

C）在（“"）内连续，在（a“）内可导：

D）在［a.b］内连续.在（a,b）内可导.

解：

选择D・

由拉格朗日定理条件.曲数./W在［a,切内连续，在S"）内町导，所以选择DiE确.

3.满足方程f\x）=0的点楚函数y=/⑴的（）・

A）极值点B）拐点

C）驻点D）间断点

解：

选择C・

依驻点泄义，函数的驻点是使函数一阶导数为零的点.

4.设用数/（.r）在（a"）内连续，xQg（a,/>）.且/''（Xq）=厂（.q）=0・则曲数在x=x0处（）・

A）取得极大值B）取得极小值

C）一定右拐点（x0J（x0））D）可能宵极值，也可能右拐点

解：

选择D

臥数的一阶导数为零.说明x•可能是幣数的极值点：

换数的二阶导数为零，说明X。

可能是换数的拐点，所以选择D・

三、解答題

1.计算题

求=A-ln（l+x）的单脚区间.

解：

曲数j/=.r-ln（l+x）的定义区何为（-1+00）.由于

”十丄=丄

i+X1+X

令y=o.解w.r=o.这样可以将定义区间分成（-1,0）和（o,+8）两个区间來讨论.当-i

当

0Q.

由此得出.^fty=x-ln（l+.r）在（一1,0）内单•调递减.在（0,+®）内单•说増加.

2.应用題

欲做一个底为正方形，容枳为108立方米的氏方体开口容器.怎杠做拄所用材料虽省？

解：

设底边边长为X，高为h・所用材料为y

x2h=10&力二学

x・y=x2+4xh

2A1082432

=x+4x—=x十一—

.宀-4322x3-432

y=2x+—

x令y=0^J2（x3-216）=0=>x=6,且因为x>6,y>0;x<6,/<0・所以x=6,y=108为最小值.此时h=3・于是以6米为底边长，3米为高

展开阅读全文