教案 相似全章.docx

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教案相似全章

第十章　图形的相似

１０．１　图上距离与实际距离

[教学目标]

1．结合现实情境了解线段的比和成比例的线段．

2．理解并掌握比例的性质．

3．通过实际问题的研究，发展从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，增强用数学的意识．

[教学过程]

1．情境创设

展示课本中两幅不同比例尺的江苏省地图，引导学生完成下列实践活动：

（1）分别量出两幅地图中南京市与徐州市、南京市与连云港市之间的图上距离；

（2）求出这两幅地图中，南京市与徐州市的图上距离的比，南京市与连云港市的图上距离的比，探究这两个比值之间的关系．

通过实践活动，使学生体会到：

（1）这两幅地图的形状相同，但比例尺不同．因此，研究形状相同的图形，首先要从研究比例线段人手；

（2）研究相似图形与研究全等图形一样，是现实生活和生产实际的需要．

此外，教学时，还可以从两个大小不同的正方形人手：

从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不同，是因为边的长度不同．因此，研究形状相同的图形，首先要研究比例线段．

2．探索活动

活动一通过课本提供的实践活动，引入两条线段的比和成比例线段的概念．

学生在小学里学习过两个数的比，知道比例的意义．

两条线段的比与成比例线段都类比两个数的比与比例的意义．因此，教学中，要认真抓好复习两个正数的比及比例概念这一关键，这对理解两条线段的比和成比例线段的概念起着巩固、深化作用．

比和比例是既有联系又有区别的两个概念．比是用来表明一个数是另一个数的几倍或几分之几，表达两个数之间的关系，它的值叫做比值．比例是用“＝”连接比值相等的两个式子，它是一个等式，具有等式的一切性质．

线段的比与成比例的线段是两个不同的概念，教学中要注意它们的联系和区别．线段的比是指两条线段长度的比，对于任意两条线段总是能得到它们的比值的；但对于任意四条线段并非都成比例，四条线段成比例必须具备其中两条线段的比值等于另两条线段的比值．

对线段的比的教学要强调如下几点：

（1）线段a:

b=k，说明a是b的k倍，又由于线段的长度是正数，因此k>0；

（2）求两条线段的比时，其单位长度要一致，两条线段的比值与采用的长度单位无关．

活动二研究比例的一些性质．

学生在小学里学习过比例的基本性质：

组成比例的四个数叫做比例的项；两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例内项；在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质．

课本在此基础上，通过“回忆”，引入了比例的基本性质．教学中，要注意向学生说明如下几点：

（1）小学里，比例基本性质中的字母a、b、c、d仅限于正数，而这里的字母a、b、c、d不仅可以是任意实数，而且可以是线段，其中与小学相同的是b、d不能为0；

（2）“图形的相似”中，对比例的基本性质更多地采用分式的形式表示：

，则ad=bc；若ad=bc，则

.因为分式使用起来更加便利；

（3）根据比例的基本性质，一个比例可以写成8种不同的形式，如：

、

、

等。

为了避免过多的名词术语，课本不提反比、更比，但应向学生说清楚：

在比例中，可以单独交换外项（或内项），也可以同时交换外项和内项，还可以同时交换比的前项和后项；

（4）比例的外项、内项、中项，是根据它们在比例式中的位置来定义的，因此，当“a、b、c、d四条线段成比例”时，a、b、c、d四条线段是有顺序的，不能随便颠倒．

活动三线段比的应用：

在已知比例尺（线段的比）的情况下，知道图上长度，可以求得实际长度．

学生在小学里学过比例尺的概念，知道：

图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺．

课本中的“尝试”活动，主要目的是引导学生感知线段比的应用，认识到在已知比例尺的情况下，通过度量图上线段的长度，就可以求得实际两地间的距离．这里用到的结论是：

实际长度之比等于图上长度之比，这——结沦学生在小学里已经加以应用，教学中不应过于追求其理论根据．

3．小结

（1）通过现实情境，了解线段的比和成比例的线段；

（2）研究比例的一些性质．

１０．２　黄金分割

[教学目标]

1．了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义．

2．会找一条线段的黄金分割点．

3．在应用中进一步理解线段的比、成比例线段，并在实际操作、思考、交流等过程中进一步感悟数学与生活的密切联系．

[教学过程]

1．情境创设

利用芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感，上海东方明珠电视塔塔体的挺拔秀丽，交流“你最喜欢的矩形”的调查结果等，创设一个利于学生探究和综合应用线段比的情境．

2．探索活动

活动一创设情境，引人黄金分割的概念．

关于黄金分割的概念，课本设计3幅图（芭蕾舞演员身体、东方明珠电视塔塔体、你最喜欢的矩形），让学生通过度量图中线段AB、BC（或AB、BC）的长度，计算

（或

）的值的实践活动，引入黄金分割的概念．

对于黄金分割的概念，课本把AB与AC的比值0.618称为黄金比．事实上，0.618只是黄金比的一个近似值，由于学生尚未学习一元二次方程，无法根据AB是BC、AC的比例中项的条件求出黄金比的准确值

．教学时，不必补充相关知识，专门研究这一问题．

黄金分割既是比例线段的应用，又蕴含着丰富的文化价值．教学中，在向学生介绍它在生活中应用的同时，启发学生能根据已有的生活经验，列举一些黄金分割应用的实例．

活动二通过尝试、思考活动，认识黄金分割在几何中的一些应用．

课本中“尝试”活动的目的在于：

（1）向学生介绍一种作出黄金分割点的方法；

（2）作为黄金分割在几何中的一个应用，介绍黄金三角形的概念，研究黄金三角形的性质，进一步巩固对黄金分割的认识．

课本中的“思考”活动，实际上是“尝试”活动的延伸．由于学生在“尝试”活动中已经研究了黄金三角形，知道顶角是36°的等腰三角形是黄金三角形，其底角的平分线与对边的交点是该边的黄金分割点，这样，要解决课本中提出的：

图中点F、G、H、M、N分别是哪些线段的黄金分割点的问题，只要将问题转化为：

（1）判断图中哪些三角形是黄金三角形?

（2）点F、G、H、M、N分别是哪些黄金三角形的底角的平分线与对边的交点?

由于学生还没有学习判定三角形相似的条件及其性质，对课本中“思考”活动的研究是通过黄金三角形的概念进行的，在学生系统地学习过判定三角形相似的条件及其性质之后，教师可引导他们利用黄金分割的概念和判定三角形相似的条件及其性质，判断图中的点F、G、H、M、N分别是哪些线段的黄金分割点．

3．小结

（1）由现实情境出发，学习黄金分割、黄金比的概念；

（2）通过尝试、思考活动,认识黄金分割在几何中的一些应用.

１０．３　相似图形

[教学目标]

1．了解形状相同的图形是相似的图形，能在诸多图形中找出相似图形．

2．理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念．

[教学过程]

1．情境创设

（1）电影中的画画是由放映机把底片上的画面经过放大后投射到屏幕上的，底片上的画面与屏幕上的画面形状是否相同?

（2）同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状改变了吗?

2．探索活动

活动一创设情境，了解形状相同的图形是相似的图形．

教学中，在学生了解了形状相同的图形是相似图形的基础上，教师应补充一组图形，要求学生从中找出相似图形，培养学生的识图能力．

活动二通过操作活动，引入相似三角形、相似多边形、相似比的概念．

对相似三角形概念的教学分为3个层次。

第一层次：

借助于生活经验，使学生了解：

放大镜中的三角形与原三角形的形状相同，它们是相似的．

第二层次：

实际度量放大镜中的三角形与原三角形对应的边和角，探索相似三角形的边和角之间的关系，进而引入相似三角形、相似比的概念．

第三层次：

类比相似三角形的概念，引入相似多边形的概念．

对相似三角形的概念，应采取“类比”的方法组织教学，这样比较容坊接受．具体地，由全等三角形的概念类比相似三角形的概念；由全等三角形的表示方法，类比相似三角形的表示方法，强调表示两个三角形相似应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上；相似三角形与全等三角形之间有着内在的联系：

全等三角形是相似比为1的相似三角形．

在“图形的全等”这一章中，学生对“对应”已有一定的了解，但在本章中还应给予强调．教学中，可给出几对不同位置的相似三角形，让学生识别，找出其对应边和对应角．

与前面有关图形概念的教学相同，相似三角形的概念包含两个方面：

由两个三角形相似可以得到它们的对应角相等、对应边成比例；由两个三角形的对应角相等、对应边成比例可以判定这两个三角形相似．

3．例题教学

例1是应用相似三角形的概念判定两个三角形相似．因此，应说明这两个三角形的对应角相等、对应边成比例．

例2是相似三角形概念的应用，根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例，求出图中未知的边和角．

4．小结

（1）通过创设情境，了解形状相同的图形是相似的图形；

（2）理解相似三角形、相似多边形及相似比的概念．

１０．４　探索三角形相似的条件

[教学目标]

1．探索三角形相似的条件，会运用三角形相似的条件解决有关问题．

2．经历“操作一观察一探索一说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．

[教学过程（第一课时）]

1．情境创设前面我们学习了相似三角形的概念，即三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形是相似三角形，同时这也是判定两个三角形相似的一种方法．除此之外，还有没有其他的判定方法呢?

2．探索活动

探索活动分为5个层次．

第一层次：

与判定两个三角形全等的条件类比，使学生感悟到，判定两个三角形相似也可以适当减少条件，提高学生探索两个三角形相似的条件的主动性．

第二层次：

组织操作活动，画出图中的3个三角形．

第三层次：

组织思考活动．学生通过实际度量图10-10

（1）与图10-10（3）中三角形的边长与角的度数，发现这两个三角形的对应角相等、对应边成比例，它们是相似的．而此时图中给出的条件仅为：

∠Ａ”＝∠A，∠B”＝∠B，Ａ”Ｂ”＝２AB．

第四层次：

改变兑值的大小（∠Ａ”＝∠A，∠B”＝∠B的条件不变），度量画出的两个三角形的边和角，发现仍然满足相似的条件，这样使学生感悟到：

只要满足∠Ａ”＝∠A，∠B”＝∠B的条件，图10-10

（1）与图10-10（3）的三角形相似．

第五层次：

通过探索活动，归纳判定三角形相似的条件

（1）．

3．例题教学

例1是复习巩固判定三角形相似的条件．其中，求上C的度数的根据是：

三角形3个内角的和等于180°；判定△ABC∽△A’B’C’的根据是：

两个角对应相等的两个三角形相似．

例2的解答过程实际上仅说明当平行于三角形一边的直线与其他两边相交时，所构成的三角形与原三角形相似．当平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交、与其他两边的反向延长线相交的情况，由学生思考、解答．

课本通过例题、思考等数学活动，归纳出判定三角形相似的条件：

平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．由于这一判定三角形相似的条件在实际应用中用途较广，教学时应结合实例向学生说明，在三角形中“见平行，想相似”，也是解题的一般思路．

4．小结

（1）两个角对应相等的两个三角形相似．并运用这一条件解决有关问题；

（2）经历“操作一观察一探索一说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．

[教学过程（第二课时）]

1．情境创设

当两个三角形的两条边及其夹角对应相等时，这两个三角形全等．相应地，你认为判定两个三角形相似，应满足怎样的条件?

2．探索活动

活动一操作一观察一探索．

活动分为2个层次．

第一层次：

通过操作、观察活动，比较图中∠B与∠B’的大小．这样，根据图中的已知条件∠A=∠A’及操作，探索出的条件∠B=∠B’，可以判定△ABC∽△A’B’C’．理由是：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

第二层次：

设

，改变k值的大小（∠A=∠A’，的条件不变），画出两个三角形，比较所画的两个三角形中∠B与∠B’，的大小．这样，通过操作、观察、探索等合情推理活动，使学生感悟到：

两个三角形中，如果它们的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

活动二说明△ABC∽△A’B’C’的理由．

课本通过“在AB上取AB”,过点B”作B”C”∥BC，交AC于点C””的作图，将所要说明的问题转化：

（1）将两个已知三角形联系在同一个三角形之中；

（2）通过说明△A’B’C’∽△A”B”C”，将问题转化为说明△ABC∽△A”B”C”．

教学中，要注意发挥学生的主体作用，给学生较为充分的思考、交流的时间．同时，对该说理过程，重要的是让学生感受到“判定三角形相似的条件

（2）”还可以通过“说理”的方法来探索，并感悟其中的思想方法，但不能要求学生去死记硬背．

活动三通过合情推理和说理，归纳判定三角形相似的条件

（2）。

活动四组织讨论、交流活动．

课本中给出2个讨论题．由于这2个问题都具有开放性，教学中，要注意引导学生分析、探索使结论成立的条件．

3．小结

（1）探索三角形相似的条件

（2），并运用这一条件解决有关问题；

（2）经历“操作一观察一探索一说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．

[教学过程（第三课时）]

1．情境创设

（1）两个全等三角形一定相似吗?

如果相似，相似比是多少?

两个相似三角形一定全等吗?

（2）对照判定两个三角形全等的方法，你认为判定两个三角形相似还可能有什么方法?

2．探索活动

活动一操作一观察一探索．

活动分为2个层次．

第一层次：

按照条件画出△A’B’C’，并通过操作、观察活动，比较图中∠A与∠A’的大小．这样，根据图中的已知条件

及操作，探索∠A=∠A’，可以判定△ABC∽△A’B’C’．理由是：

如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

第二层次：

设

，改变k值的大小，画出△A’B’C’，比较图中∠A与∠A’的大小．这样，通过操作、观察、探索等合情推理活动，使学生感悟到：

在两个三角形中，如果它们的3条边对应成比例，那么这两个三角形相似．

活动二说明△ABC∽△A’B’C’的理由．

与判定三角形相似的条件

（2）的说理过程相同，课本通过“在AB上取AB”=A’B’，过点B”作B”C”∥BC，交AC于点C””的作图，将所要说明的问题转化：

（1）将两个已知三角形联系在同一个三角形之中；

（2）通过说明△A’B’C’∽△A”B”C”，将问题转化为说明△ABC∽△A”B”C”．

课本在“说明△ABC∽△A’B’C’”的过程中，还同时给出了说明线段相等的新的方法：

“若

，且a=c,则b=d”，教学中要给予说明。

虽然学生已经经历过判定三角形相似的条件

（2）的说理过程，了解问题的转化方法，但上述说理过程仍然有一定的难度．教学中，要注意发挥学生的主体作用，给学生较为充分的思考、交流的时间．与判定三角形相似的条件

（2）的说理过程相同，重要的是通过说理让学生感受到“判定三角形相似的条件（3）”也可以通过“说理”的方法来探索，并感悟其中的思想方法，但不能要求学生去死记硬背．

活动三通过合情推理和说理，归纳判定三角形相似的条件（3）．

3．例题教学

例3的教学中，引导学生通过计算得到：

（1）

，从而判定△ABC与△A’B’C’不相似；

（2）

，从而判定△ABC∽△A’B’C’．

4．小结

（1）探索三角形相似的条件（3），并运用三角形相似的条件（3）解决有关问题；

（2）经历“操作一观察一探索一说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．

[教学过程（第四课时）]

1．情境创设

判定两个三角形相似的条件有哪些?

2．例题教学

相似三角形的概念和判定三角形相似的条件的运用包括两个方面：

（1）根据三角形相似的条件，由已知的边和角，求未知的边和角；

（2）根据所给条件判定两个三角形是否相似；

（3）根据所给条件判定两个三角形相似，再根据相似条件，求相应的比例式，或未知的边和角．

例4、例5的解答是先根据所给条件判定两个三角形相似，再根据相似条件，说明其对应角相等，或求相应的比例式、未知的边和角．

例4的解答中涉及到比例式转化为乘积式．对于乘积式与比例式的相互转化，学生应能掌握．

例4中，除了AC是AD和AB的比例中项外，还有BC是BD和AB的比例中项，CD是AD和BD的比例中项．在引导学生进一步探究这两个结论时，要让学生充分经历“观察一探索一说理”的认识过程．

例5给出了一个说明角相等的新的方法：

通过两个三角形相似，说明其对应角相等．教学中应给予突出说明．

3．小结

综合运用相似三角形的概念和判定三角形相似的条件解决一些应用问题．

１０．５　相似三角形的性质

[教学目标]

1．探索相似三角形、相似多边形的性质，会运用相似三角形、相似多边形的性质解决有关问题．

2．经历“操作一观察一探索一说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．

[教学过程（第一课时）]

1．情境创设

（1）前面学习了相似三角形、相似多边形的概念，知道如果两个三角形或两个多边形相似，那么它们的对应角相等、对应边成比例。

相似三角形、相似多边形是否还有其他的一些性质呢?

这需要我们进一步探索、研究．

（2）所有的正方形都是相似形（它们的对应角相等、对应边成比例）．若正方形的边长为1，则周长为4，面积为1；若正方形的边长为2，则周长为8，面积为4；若正方形的边长为3，则周长为12，面积为9；若正方形的边长为a，则周长为4a，面积为a2．这些正方形间周长的比、面积的比与其边长的比之间有怎样的关系?

（3）在本章的章头活动中，通过实际操作，知道这两个多边形相似，并且它们的相应角相等、对应边成比例，除此之外，同学们还发现了什么?

2．探索活动

活动一探索两个相似三角形、两个相似多边形

的周长之间的关系．

活动分为2个层次．

第一层次：

引导学生根据章头图中的两个相似多边形，利用合情推理，经过操作、观察、归纳，得出两个相似多边形的周长的比等于相似比．

第二层次：

说明“扣似三角形周长的比等于相似比”的理由．

课本利用引入比值k的方法研究相似三角形、相似多边形的性质，这不仅为后续学习奠定了基础，还渗透了一个重要的思想方法，教学中应给予说明．

对“相似多边形周长的比等于相似比”性质的研究，教学中，可给出两个相似的五边形或两个相似的六边形，引导学生结合图形，通过说理来探索结论．

活动二探索两个相似三角形、两个相似多边形的面积之间的关系．

活动分为2个层次．

第一层次：

引导学生根据章头图中的两个相似多边形，利用合情推理，经过操作、观察、归纳，得出两个相似多边形的面积的比等于相似比的平方．

第二层次：

说明“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的理由．

说理过程分为3步：

第一，根据题设条件说明两个直角三角形相似；第二，由两个直角三角形相似得到对应线段成比例；第三，利用三角形面积公式，推出相应结论．

同“相似三角形周长的比等于相似比’’的说理过程一样，课本同样利用引入比值A的方法研究相似三角形的这一性质，教学中应给予说明．

课本利用“卡通人”给出了转化的思想方法：

把两个相似多边形分成若干个相似三角形．教学中，可以

以两个五边形相似为例，引导学生理解转化的思想方法，通过独立思考和合作交流完成其说理过程．

3．例题教学

例1是相似三角形性质：

“相似三角形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方”的应用．

对比例尺的概念学生已经了解，教学中应向学生说明，比例尺就是两个相似图形的相似比．

对于例1学生一般不会感到困难，教学中应鼓励学生独立思考，自主练习完成．

4．小结

（1）探索相似三角形、相似多边形的性质：

相似三角形（多边形）周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，会运用相似三角形（多边形）的性质解决有关问题；

（2）经历“操作一观察一探索一说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．

[教学过程（第二课时）]

1．情境创设

全等三角形的对应线段（如高、中线、角平分线等）都相等．相似三角形的对应线段有怎样的关系?

2．探索活动

活动一说明“相似三角形对应高的比等于相似比”的理由.

课本在说明“相似三角形面积的比等于相似比”的理由中，实际上已经说明了“相似三角形对应高的比等于相似比”，基于此，课本在这里没有再给出“相似三角形对应高的比等于相似比”的说理过程．教学中，应鼓励学生通过独立思考，自主完成．

活动二探索相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比与相似比之间的关系．

该活动的教学要求较高，表现为：

（1）需要根据题意，画出相应图形，并根据图形写出题设条件；

（2）探索结沦；（3）说理（有条理地表达）．在教学中，应让学生充分经历“操作一观察一探索一说理”的数学活动过程，以发展学生的合情推理和有条理的表达能力．

活动三小结、归纳．

在研究了相似三角形的性质之后，应引导学生列表将判定全等三角形的条件和全等三角形的性质与判定相似三角形的条件和相似三角形的性质加以归纳、比较：

应强调的是：

对“相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比”的性质，一般只要求让学生经历“操作一观察一探索一说理”的数学活动过程，加以探究，不要求在此基础上加以应用，以控制教学的难度．

3．例题教学

例2是相似三角形性质的应用问题．教学中，要引导学生通过阅读，提取相关信息，将实际问题抽象为数学问题．

4．小结

（1）探索相似三角形的性质：

相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比，会运用相似三角形对应高的比等于相似比的性质解决有关问题；

（2）经历“操作一观察一探索一说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．

１０．６　图形的位似

[教学目标]

1．通过实验、操作、思考活动认识位似形．

2．会利用位似形原理将—个图形放大或缩小．

[教学过程]

1．情境创设

课本在章头图中引导学生利用方格纸将熊猫图案、多边形放大，给出了把图形放大或缩小的一个方法．这节课将学习把图形放大或缩小的新方法．先做一个实验：

在玻璃片上画一个四边形，用手电筒等点光源将四边形投影到墙面或白纸上．

改变玻璃片与墙面（或白纸）间的距离（玻璃片或白纸与点光源间的距离不变），你发现什么?

你能用这个原理将一个图形放大吗?

2．探索活动

活动一通过实验、操作、思考活动认识位似形．

活动分为3个层次．

第一层次：

将“情境创设”活动中的实际问题抽象为数学问题：

已知点O和△ABC，画射线OA、OB、OC，分别在射线OA、OB、OC上取点A’、B’、C’，使

；画△A’B’c’．

第二层次：

探究△A’B’C’与△ABC的特征．

（1）判定△A’B’C’与△ABC相似，并说明理由．

说理：

在△OAC与△OA’C’中，

因为

∠A’OC’=∠AOC，

所以△OA’C’∽△OAC

所以

．

同样,

所以

所以△A’B’C’∽△ABC

（2）探究△A’B’C’与△ABC的特殊的位置关系．

特殊位置关系：

△A’B’C’与△ABC的各对应顶点所在的直线都经过同一点O．

第三层次：

通过实验、操作、思考活动认识位似形．

应该说明的是：

课