第09讲 不等式组及其应用跟踪训练解析.docx

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第09讲不等式组及其应用跟踪训练解析

第09讲不等式（组）及其应用

二、考点分析

【考点1不等式的概念及性质】

【解题技巧】不等式的基本性质是不等式变形的重要依据，性质3——不等号的方向会发生改变这是不等式独有的性质．

（1）不等式的基本性质

①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：

若a＞b，那么a±m＞b±m；

②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：

若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或

＞

；

③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：

若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或

＜

；

（2）不等式的变形：

①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．

【规律方法】

1．应用不等式的性质应注意的问题：

在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．

2．不等式的传递性：

若a＞b，b＞c，则a＞c．

【例1】（2019上海中考）如果m＞n，那么下列结论错误的是（　　）

A．m+2＞n+2B．m﹣2＞n﹣2C．2m＞2nD．﹣2m＞﹣2n

【答案】D．

【分析】根据不等式的性质即可求出答案．

【解答】解：

∵m＞n，

∴﹣2m＜﹣2n，

故选：

D．

【一领三通1-1】（2019山东淄博中考模拟）若x＞y，则下列式子中错误的是（　D　）

A．x－3＞y－3B．3x＞3yC．x＋3＞y＋3D．－3x＞－3y

【答案】D．

【分析】根据不等式的性质即可求出答案．

【解答】A是在不等式x＞y的两边都减去3，是正确的

B是在不等式x＞y的两边都乘以3，是正确的

C是在不等式x＞y的两边都加上3，是正确的

D是在不等式x＞y的两边都乘以-3，是错误的

故选：

D．

【一领三通1-2】（2019辽宁葫芦岛中考模拟）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图3所示，则他们的体重大小关系是（）

A

B

C

D

【答案】D．

【分析】根据不等式的性质即可求出答案．

【解答】跷跷板不平衡时是不等量关系，要注意较低的那边重些，解决此类问题常通过不等式（组）来转换，由图知S>P，P>R，P+R>Q+S，所以

S>P>R>S

选D

【一领三通1-3】（2019•广东佛山中考模拟）现有不等式的性质：

①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；

②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变．

请解决以下两个问题：

（1）利用性质①比较2a与a的大小（a≠0）；

（2）利用性质②比较2a与a的大小（a≠0）．

【分析】根据不等式的性质即可求出答案．

【解答】

（1）a＞0时，a+a＞a+0，即2a＞a，

a＜0时，a+a＜a+0，即2a＜a；

（2）a＞0时，2＞1，得2•a＞1•a，即2a＞a；

a＜0时，2＞1，得2•a＜1•a，即2a＜a．

【考点2一元一次不等式及其解法】

【解题技巧】

（1）已知一元一次不等式（组）的解集，确定其中字母的取值范围的方法是：

①逆用不等式（组）的解集确定；②分类讨论确定；③从反面求解确定；④借助于数轴确定．

（2）根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．

以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．

注意：

符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．

【例2】（2019辽宁大连中考）不等式5x+1≥3x﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】B．

【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．

【解答】解：

5x+1≥3x﹣1，

移项得5x﹣3x≥﹣1﹣1，

合并同类项得2x≥﹣2，

系数化为1得，x≥﹣1，

在数轴上表示为：

故选：

B．

【一领三通2-1】（2019•呼和浩特）若不等式

﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是（　　）

A．m＞﹣

B．m＜﹣

C．m＜﹣

D．m＞﹣

【答案】C．

【分析】求出不等式

﹣1≤2﹣x的解，求出不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．

【解答】解：

解不等式

﹣1≤2﹣x得：

x≤

，

∵不等式

﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，

∴x＜

，

∴

＞

，

解得：

m＜﹣

，

故选：

C．

【一领三通2-2】（2019•长春）不等式﹣x+2≥0的解集为（　　）

A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x≥2D．x≤2

【答案】D．

【分析】直接进行移项，系数化为1，即可得出x的取值．

【解答】解：

移项得：

﹣x≥﹣2

系数化为1得：

x≤2．

故选：

D．

【一领三通2-3】（2019吉林中考）不等式3x﹣2＞1的解集是　　．

【答案】x＞1．

【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2再除以3，不等号的方向不变．

【解答】解：

∵3x﹣2＞1，

∴3x＞3，

∴x＞1，

∴原不等式的解集为：

x＞1．

故答案为x＞1．

【一领三通2-4】（2019河北保定中考模拟）定义新运算：

对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a（a－b）＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：

2⊕5＝2×（2－5）＋1＝2×（－3）＋1＝－6＋1＝－5.若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．

【分析】利用不等式的基本性质，按照解不等式的步骤给以变形．

【解答】由3⊕x小于13，得3（3－x）＋1<13，

去括号，得9－3x＋1＜13，

移项合并，得－3x＜3，解得x>－1.

在数轴上表示如图．

【一领三通2-5】（2019江苏南京中考）已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．

（1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围．

（2）当x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出k的取值范围．

【分析】

（1）解不等式﹣2x+2＞x﹣3即可；

（2）先计算出x＝1对应的y2的函数值，然后根据x＜1时，一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）的图象在直线y2＝x﹣3的上方确定k的范围．

【解答】解：

（1）k＝﹣2时，y1＝﹣2x+2，

根据题意得﹣2x+2＞x﹣3，

解得x＜

；

（2）当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，把（1，﹣2）代入y1＝kx+2得k+2＝﹣2，解得k＝﹣4，

当﹣4≤k＜0时，y1＞y2；

当0＜k≤1时，y1＞y2．

【考点3一元一次不等式组及其解法】

【解题技巧】解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：

①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．

解集的规律：

同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

【例3】（2019山西中考）不等式组

的解集是（　　）

A．x＞4B．x＞﹣1C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1

【答案】A．

【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出其公共解集．

【解答】解：

，

由①得：

x＞4，

由②得：

x＞﹣1，

不等式组的解集为：

x＞4，

故选：

A．

【一领三通3-1】（2019甘肃中考）不等式组

的最小整数解是　　．

【答案】0．

【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．

【解答】解：

不等式组整理得：

，

∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，

则最小的整数解为0，

故答案为：

0

【一领三通3-2】（2019河南中考）不等式组

的解集是　　．

【答案】x≤﹣2．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：

同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：

解不等式

≤﹣1，得：

x≤﹣2，

解不等式﹣x+7＞4，得：

x＜3，

则不等式组的解集为x≤﹣2，

故答案为：

x≤﹣2．

【一领三通3-3】（2019湖北黄石中考）若点P的坐标为（

，2x﹣9），其中x满足不等式组

，求点P所在的象限．

【分析】先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限．

【解答】解：

，

解①得：

x≥4，

解②得：

x≤4，

则不等式组的解是：

x＝4，

∵

＝1，2x﹣9＝﹣1，

∴点P的坐标为（1，﹣1），

∴点P在的第四象限．

【一领三通3-4】（2019天津中考）解不等式组

请结合题意填空，完成本题的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得　　；

（Ⅱ）解不等式②，得　　；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（Ⅳ）原不等式组的解集为　　．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：

同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：

（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；

（Ⅱ）解不等式②，得x≤1；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．

故答案为：

x≥﹣2，x≤1，﹣2≤x≤1．

【一领三通3-5】（2019浙江温州中考）不等式组

的解为　　．

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

【解答】解：

，

由①得，x＞1，

由②得，x≤9，

故此不等式组的解集为：

1＜x≤9．

故答案为：

1＜x≤9．

【考点4一元一次不等式（组）的应用】

【解题技巧】

（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．

（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．

②根据题中的不等关系列出不等式．

③解不等式，求出解集．

④写出符合题意的解．

【例4】（2019•哈尔滨）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；

（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；

（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？

【分析】

（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：

，求解即可；

（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，根据题意得：

16z+10（40﹣z）≤550，即可求解；

【解答】解：

（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，

根据题意得：

，

∴

，

∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；

（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，

根据题意得：

16z+10（40﹣z）≤550，

∴z≤25，

∴最多可以购买25副围棋；

【一领三通4-1】（2019•台湾）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧购买10盒蛋糕，花费的金额不超过2500元．若他将蛋糕分给75位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？

（　　）

A．2150B．2250C．2300D．2450

【答案】D．

【分析】可设阿慧购买x盒桂圆蛋糕，则购买（10﹣x）盒金爽蛋糕，根据不等关系：

①购买10盒蛋糕，花费的金额不超过2500元；②蛋糕的个数大于等于75个，列出不等式组求解即可．

【解答】解：

设阿慧购买x盒桂圆蛋糕，则购买（10﹣x）盒金爽蛋糕，依题意有

，

解得2

≤x≤3

，

∵x是整数，

∴x＝3，

350×3+200×（10﹣3）

＝1050+1400

＝2450（元）．

答：

阿慧花2450元购买蛋糕．

故选：

D．

【一领三通4-2】（2015.河北中考）水平放置的容器内原有210mm高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4mm，每放入一个小球水面就上升3mm，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为ymm.

（1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式；（不必写出x大的范围）

（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小．

①求y与x小的函数关系式；（不必写出x小的范围）

②限定水面高不超过260mm，最多能放入几个小球？

【分析】水面高度与球的个数是一次函数关系

【解答】

（1）y＝4x大＋210；

（2）①当x大＝6时，y＝4×6＋210＝234，

∴y＝3x小＋234；

②依题意，得3x小＋234≤260，

解得x小≤8

，

∵x小为自然数，∴x小最大为8，

即最多能放入8个小球．

【一领三通4-3】（2019湖北孝感中考）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机．

（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？

（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？

【分析】

（1）直接利用今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机，分别得出方程求出答案；

（2）根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案．

【解答】解：

（1）设今年每套A型一体机价格为x万元，每套B型一体机的价格为y万元，

由题意可得：

，

解得：

，

答：

今年每套A型的价格各是1.2万元、B型一体机的价格是1.8万元；

（2）设该市明年购买A型一体机m套，则购买B型一体机（1100﹣m）套，

由题意可得：

1.8（1100﹣m）≥1.2（1+25%）m，

解得：

m≤600，

设明年需投入W万元，

W＝1.2×（1+25%）m+1.8（1100﹣m）

＝﹣0.3m+1980，

∵﹣0.3＜0，

∴W随m的增大而减小，

∵m≤600，

∴当m＝600时，W有最小值﹣0.3×600+1980＝1800，

故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划．

【一领三通4-4】（2019福建中考）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．

（1）求该车间的日废水处理量m；

（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．

【分析】

（1）求出该车间处理35吨废水所需费用，将其与350比较后可得出m＜35，根据废水处理费用＝该车间处理m吨废水的费用+第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）设一天产生工业废水x吨，分0＜x≤20及x＞20两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．

【解答】解：

（1）∵35×8+30＝310（元），310＜350，

∴m＜35．

依题意，得：

30+8m+12（35﹣m）＝370，

解得：

m＝20．

答：

该车间的日废水处理量为20吨．

（2）设一天产生工业废水x吨，

当0＜x≤20时，8x+30≤10x，

解得：

15≤x≤20；

当x＞20时，12（x﹣20）+8×20+30≤10x，

解得：

20＜x≤25．

综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤20．