1718年度8年级数学上第1次拓展部分中线倍长.docx

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1718年度8年级数学上第1次拓展部分中线倍长

基础模型:

△ABC中,AD是BC边中线

思路1：

延长AD到E，使DE=AD，连接BE

思路2：

间接倍长,延长MD到N，使DN=MD，连接CN

思路3,作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E

1．如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（　　）

A．1＜AB＜29B．4＜AB＜24C．5＜AB＜19D．9＜AB＜19

2．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：

BD=CE．

3．如图，在△ABC中，AD为中线，求证：

AB+AC＞2AD．

4．小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB=7，AC=5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．

小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：

如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：

（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：

　　（用字母表示）

（2）AD的取值范围是　　

小明还发现：

倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=2，BF=4，∠GEF=90°，求GF的长．

5．已知：

在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：

AF=EF．

6．已知：

如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：

AE平分∠BAC．

7-10,换汤不换药（多题一解）

7．如图，D是△ABC的BC边上一点且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线．

求证：

∠C=∠BAE．

8．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线．

（1）若∠B=60°，求∠C的值；

（2）求证：

AD是∠EAC的平分线．

9．如图，已知：

CD=AB，∠BAD=∠BDA，AE是△ABD的中线，求证：

AC=2AE．

10．已知，如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB边上的中线，求证：

CE=2CD．

11．已知：

如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证：

CT=BE．

12．如图①，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，可证△PMO≌△QNO．根据上述结论完成下列探究活动：

如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；（图3是原题的第2问）

13．如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF与于点G．若BG=CF，求证：

AD为△ABC的角平分线．

14．如图，已知在△ABC中，∠CAE=∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．

（1）求证：

AC=BD；

（2）若BD=3，AD=5，AE=x，求x的取值范围．

15．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：

EF=2AD．

1.解：

如图，延长AD至E，使DE=AD，

∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，

在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，

∵AD=7，∴AE=7+7=14，

∵14+5=19，14﹣5=9，∴9＜CE＜19，

2．证明：

如图，过点D作DG∥AE，交BC于点G；

3．证明：

4．解：

（1）如图2中，延长AD到E，使DE=AD，连接BE．

在△BED和△CAD中，，∴△BED≌△CAD（SAS）．

（2）∵△BED≌△CAD，∴BE=AC=5，∵AB=7，∴2＜AE＜12，

∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6．

解决问题：

如图3中，

解：

延长GE交CB的延长线于M．

∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CM，∴∠AGE=∠M，

在△AEG和△BEM中，，∴△AEG≌△BEM，∴GE=EM，AG=BM=2，

∵EF⊥MG，∴FG=FM，

∵BF=4，∴MF=BF+BM=2+4=6，∴GF=FM=6．

5．证明：

如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG．

∵AD是BC边上的中线（已知），∴DC=DB，

在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS），

∴∠CAD=∠G，BG=AC

又∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G，

∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD，

即：

∠AEF=∠FAE，∴AF=EF．

6．证明：

如图，延长FE到G，使EG=EF，连接CG．在△DEF和△CEG中，

∵，∴△DEF≌△CEG．∴DF=GC，∠DFE=∠G．

∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．

∵DF=AC，∴GC=AC．∴∠G=∠CAE．∴∠BAE=∠CAE．即AE平分∠BAC．

7．证明：

延长AE到F，使EF=AE，连接DF，∵AE是△ABD的中线∴BE=ED，

在△ABE与△FDE中

∵，∴△ABE≌△FDE（SAS），∴AB=DF，∠BAE=∠EFD，

∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD，

∴∠BAE+∠EAD=∠BAD，∠BAE=∠EFD，

∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD，∴∠ADF=∠ADC，

∵AB=DC，∴DF=DC，

在△ADF与△ADC中

∵，∴△ADF≌△ADC（SAS）∴∠C=∠AFD=∠BAE．

8．

（1）解：

∵∠B=60°，∠BDA=∠BAD，

∴∠BAD=∠BDA=60°，∴AB=AD，

∵CD=AB，∴CD=AD，∴∠DAC=∠C，∴∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C，

∵∠BAD=60°，∴∠C=30°；

（2）证明：

延长AE到M，使EM=AE，连接DM，

在△ABE和△MDE中，，∴△ABE≌△MDE，

∴∠B=∠MDE，AB=DM，

∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠MDE+∠BDA=∠ADM，

在△MAD与△CAD，，∴△MAD≌△CAD，∴∠MAD=∠CAD，

∴AD是∠EAC的平分线．

9．证明：

延长AE至F，使AE=EF，连接BF，

在△ADE与△BFE中，，∴△AED≌△FEB，

∴BF=DA，∠FBE=∠ADE，

∵∠ABF=∠ABD+∠FBE，∴∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC，

在△ABF与△ADC中，，∴△ABF≌△CDA，∴AC=AF，

∵AF=2AE，∴AC=2AE．

10．证明：

取AC的中点F，连接BF；

∵B为AE的中点，∴BF为△AEC的中位线，∴EC=2BF；

在△ABF与△ACD中，，∴△ABF≌△ACD（SAS），∴CD=BF，∴CE=2CD．

11．证明：

过T作TF⊥AB于F，

∵AT平分∠BAC，∠ACB=90°，

∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∵∠ACB=90°，CM⊥AB，∴∠ADM+∠DAM=90°，∠ATC+∠CAT=90°，

∵AT平分∠BAC，∴∠DAM=∠CAT，

∴∠ADM=∠ATC，∴∠CDT=∠CTD，∴CD=CT，

又∵CT=TF（已证），∴CD=TF，

∵CM⊥AB，DE∥AB，∴∠CDE=90°，∠B=∠DEC，

在△CDE和△TFB中，，

∴△CDE≌△TFB（AAS），

∴CE=TB，∴CE﹣TE=TB﹣TE，即CT=BE．

12．解：

（1）AB=AF+CF．

如图2，分别延长DC、AE，交于G点，

根据图①得△ABE≌△GCE，∴AB=CG，

又AB∥DC，∴∠BAE=∠G

而∠BAE=∠EAF，∴∠G=∠EAF，

∴AF=GF，

∴AB=CG=GF+CF=AF+CF；

13．解：

延长FE，截取EH=EG，连接CH，

∵E是BC中点，∴BE=CE，∴∠BEG=∠CEH，

在△BEG和△CEH中，，∴△BEG≌△CEH（SAS），

∴∠BGE=∠H，∴∠BGE=∠FGA=∠H，∴BG=CH，

∵CF=BG，∴CH=CF，∴∠F=∠H=∠FGA，

∵EF∥AD，∴∠F=∠CAD，∠BAD=∠FGA，∴∠CAD=∠BAD，

∴AD平分∠BAC．

14．

（1）证明：

延长AE到F，使EF=EA，连接DF，

∵点E是CD的中点，∴EC=ED，

在△DEF与△CEA中，，∴△DEF≌△CEA，∴AC=FD，∴∠AFD=∠CAE，

∵∠CAE=∠B，∴∠AFD=∠B，

∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠FAD，

在△ABD与△AFD中，，∴△ABD≌△AFD，∴BD=FD，∴AC=BD；

（2）解：

由

（1）证得△ABD≌△AFD，△DEF≌△CEA，∴AB=AF，

∵AE=x，∴AF=2AE=2x，∴AB=2x，

∵BD=3，AD=5，∴在△ABD中，，解得：

1＜x＜4，

∴x的取值范围是1＜x＜4．

15证明：

延长AD至点G，使得AD=DG，连接BG，CG，

∵AD=DG，BD=CD，

∴四边形ABGC是平行四边形，

∴AC=AF=BG，AB=AE=CG，∠BAC+∠ABG=180°，

∵∠EAF+∠BAC=180°，

∴∠EAF=∠ABG，

在△EAF和△BAG中，

，

∴△EAF≌△BAG（SAS），

∴EF=AG，

∵AG=2AD，

∴EF=2AD．