A．x3>y3
B．sinx>siny
C．ln（x2＋1）>ln（y2＋1）
D.>
5．A
5．[2014·四川卷]若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A.＞B.＜
C.＞D.＜
5．B
E2绝对值不等式的解法
9．、[2014·安徽卷]若函数f（x）＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．5或8B．－1或5
C．－1或－4D．－4或8
9．D
10．[2014·辽宁卷]已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝则不等式
f（x－1）≤的解集为（ ）
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
10．A
3．、[2014·全国卷]不等式组的解集为（ ）
A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}
3．C
E3 一元二次不等式的解法
3．、[2014·全国卷]不等式组的解集为（ ）
A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}
3．C
E4简单的一元高次不等式的解法
E5 简单的线性规划问题
13．[2014·安徽卷]不等式组表示的平面区域的面积为________．
13．4
13．[2014·北京卷]若x，y满足则z＝x＋y的最小值为________．
13．1
11．，[2014·福建卷]已知圆C：
（x－a）2＋（y－b）2＝1，平面区域Ω：
若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为（ ）
A．5B．29
C．37D．49
11．C
4．[2014·广东卷]若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值等于（ ）
A．7B．8
C．10D．11
4．D
4．[2014·湖北卷]若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是（ ）
A．2B．4C．7D．8
4．C
13．[2014·湖南卷]若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为________．
13．7
14．[2014·辽宁卷]已知x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋4y的最大值为________．
14．18
15．[2014·全国卷]设x，y满足约束条件则z＝x＋4y的最大值为________．
15．5
9．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值为（ ）
A．8B．7
C．2D．1
9．B
11．[2014·全国新课标卷Ⅰ]设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝（ ）
A．－5B．3
C．－5或3D．5或－3
11．B
10．[2014·山东卷]已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by（a>0，b>0）在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为（ ）
A．5B．4
C.D．2
10．B
6．、[2014·四川卷]执行如图1 2的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（ ）
图1 2
A．0B．1C．2D．3
6．C
2．[2014·天津卷]设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．B
12．[2014·浙江卷]若实数x，y满足则x＋y的取值范围是________．
12．[1，3]
E6 基本不等式
9．、[2014·重庆卷]若log4（3a＋4b）＝log2，则a＋b的最小值是（ ）
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
9．D
16．[2014·湖北卷]某项研究表明：
在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：
辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：
米/秒）、平均车长l（单位：
米）的值有关，其公式为F＝.
（1）如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；
（2）如果限定车型，l＝5，则最大车流量比
（1）中的最大车流量增加________辆/小时．
16．
（1）1900
（2）100 [解析]
（1）依题意知，l>0，v>0，所以当l＝6.05时，
F＝＝≤＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．
（2）当l＝5时，
F＝＝≤2000，
当且仅当v＝10时，取等号，此时比
（1）中的最大车流量增加100辆/小时．
14．、[2014·江苏卷]若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是______．
14.
16．[2014·辽宁卷]对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，＋＋的最小值为________．
16．－1
21．，，[2014·山东卷]在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为.
（1）求椭圆C的方程．
（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面积的最大值．
21．解：
（1）由题意知，＝，可得a2＝4b2.
椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.
将y＝x代入可得x＝±.
因此×＝，即a＝2，所以b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
（2）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（－x1，－y1）．
因为直线AB的斜率kAB＝，且AB⊥AD，
所以直线AD的斜率k＝－.
设直线AD的方程为y＝kx＋m，
由题意知k≠0，m≠0.
由消去y，得（1＋4k2）x2＋8mkx＋4m2－4＝0，
所以x1＋x2＝－，
因此y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2m＝.
由题意知x1≠－x2，
所以k1＝＝－＝.
所以直线BD的方程为y＋y1＝（x＋x1）．
令y＝0，得x＝3x1，即M（3x1，0）．
可得k2＝－.
所以k1＝－k2，即λ＝－.
因此，存在常数λ＝－使得结论成立．
（ii）直线BD的方程y＋y1＝（x＋x1），
令x＝0，得y＝－y1，即N.
由（i）知M（3x1，0），
所以△OMN的面积S＝×3|x1|×|y1|＝
|x1||y1|.
因为|x1||y1|≤＋y＝1，当且仅当＝|y1|＝时，等号成立，
此时S取得最大值，
所以△OMN面积的最大值为.
E7不等式的证明方法
20．、、[2014·天津卷]已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．
（1）当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.
（2）设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：
若an＜bn，则s＜t.
20．解：
（1）当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．
（2）证明：
由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及ans－t＝（a1－b1）＋（a2－b2）q＋…＋（an－1－bn－1）qn－2＋（an－bn）qn－1
≤（q－1）＋（q－1）q＋…＋（q－1）qn－2－qn－1
＝－qn－1
＝－1<0，
所以sE8 不等式的综合应用
16．[2014·浙江卷]已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．
16.
9．、[2014·安徽卷]若函数f（x）＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．5或8B．－1或5
C．－1或－4D．－4或8
9．D [解析]当a≥2时，
f（x）＝
由图可知，当x＝－时，fmin（x）＝f＝－1＝3，可得a＝8.
当a<2时，f（x）
由图可知，当x＝－时，fmin（x）＝f＝＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8.
9．[2014·福建卷]要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）
A．80元B．120元
C．160元D．240元
9．C
19．、、、[2014·江苏卷]已知函数f（x）＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：
f（x）是R上的偶函数．
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e－x＋m－1在（0，＋∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
（3）已知正数a满足：
存在x0∈[1，＋∞），使得f（x0）19．解：
（1）证明：
因为对任意x∈R，都有f（－x）＝e－x＋e－（－x）＝e－x＋ex＝f（x），
所以f（x）是R上的偶函数．
（2）由条件知m（ex＋e－x－1）≤e－x－1在（0，＋∞）上恒成立．
令t＝ex（x>0），则t>1，所以m≤－＝
－对任意t>1成立．
因为t－1＋＋1≥2＋1＝3,所以－≥－，
当且仅当t＝2,即x＝ln2时等号成立．
因此实数m的取值范围是.
（3）令函数g（x）＝ex＋－a（－x3＋3x），则g′（x）＝ex－＋3a（x2－1）．
当x≥1时，ex－>0，x2－1≥0.又a>0，故g′（x）>0，所以g（x）是[1，＋∞）上的单调递增函数，因此g（x）在[1，＋∞）上的最小值是g
（1）＝e＋e－1－2a.
由于存在x0∈[1，＋∞），使ex0＋e－x0－a（－x＋3x0）<0成立，当且仅当最小值g
（1）<0，
故e＋e－1－2a<0,即a>.
令函数h（x）＝x－（e－1）lnx－1，则h′（x）＝1－.令h′（x）＝0,得x＝e－1.
当x∈（0，e－1）时，h′（x）<0，故h（x）是（0，e－1）上的单调递减函数；
当x∈（e－1，＋∞）时，h′（x）>0，故h（x）是（e－1，＋∞）上的单调递增函数．
所以h（x）在（0，＋∞）上的最小值是h（e－1）．
注意到h
（1）＝h（e）＝0，所以当x∈（1，e－1）⊆（0，e－1）时，h（e－1）≤h（x）（1）＝0；
当x∈（e－1，e）⊆（e－1，＋∞）时，
h（x）所以h（x）<0对任意的x∈（1，e）成立．
故①当a∈⊆（1，e）时，h（a）<0，
即a－1<（e－1）lna，从而ea－1②当a＝e时，ea－1＝ae－1；
③当a∈（e，＋∞）⊆（e－1，＋∞）时，h（a）>h（e）＝0，即a－1>（e－1）lna，故ea－1>ae－1.
综上所述，当a∈时，ea－1ae－1.
12．、[2014·辽宁卷]当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[－5，－3]B.
C．[－6，－2]D．[－4，－3]
12．C
21．、、[2014·陕西卷]设函数f（x）＝lnx＋，m∈R.
（1）当m＝e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；
（2）讨论函数g（x）＝f′（x）－零点的个数；
（3）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．
21．解：
（1）由题设，当m＝e时，f（x）＝lnx＋，则f′（x）＝，
∴当x∈（0，e）时，f′（x）<0，f（x）在（0，e）上单调递减；
当x∈（e，＋∞）时，f′（x）>0，f（x）在（e，＋∞）上单调递增．
∴x＝e时，f（x）取得极小值f（e）＝lne＋＝2，
∴f（x）的极小值为2.
（2）由题设g（x）＝f′（x）－＝－－（x>0），
令g（x）＝0，得m＝－x3＋x（x>0），
设φ（x）＝－x3＋x（x≥0），
则φ′（x）＝－x2＋1＝－（x－1）（x＋1），
当x∈（0，1）时，φ′（x）>0，φ（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，＋∞）时，φ′（x）<0，φ（x）在（1，＋∞）上单调递减．
∴x＝1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ（x）的最大值点，
∴φ（x）的最大值为φ
（1）＝.
又φ（0）＝0，结合y＝φ（x）的图像（如图所示），可知
①当m>时，函数g（x）无零点；
②当m＝时，函数g（x）有且只有一个零点；
③当0④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点．
综上所述，当m>时，函数g（x）无零点；
当m＝或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
当0（3）对任意的b>a>0，<1恒成立，
等价于f（b）－b设h（x）＝f（x）－x＝lnx＋－x（x>0），
∴（*）等价于h（x）在（0，＋∞）上单调递减．
由h′（x）＝－－1≤0在（0，＋∞）上恒成立，
得m≥－x2＋x＝－＋（x>0）恒成立，
∴m≥，
∴m的取值范围是.
E9单元综合
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