高考立体几何命题动向第3讲 空间点直线平面之间的位置关系.docx

高考立体几何命题动向第3讲 空间点直线平面之间的位置关系.docx

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高考立体几何命题动向第3讲空间点直线平面之间的位置关系

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系

【2013年高考会这样考】

1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．

2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．

3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．

【复习指导】

1．掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理．

2．异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键．

基础梳理

1．平面的基本性质

（1）公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

（2）公理2：

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

（3）公理3：

如果两个平面（不重合的两个平面）有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．

推论1：

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．

推论2：

经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：

经过两条平行直线，有且只有一个平面．

2．直线与直线的位置关系

（1）位置关系的分类

（2）异面直线所成的角

①定义：

设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）．

②范围：

.

3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．

4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

5．平行公理：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．

6．等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

两种方法

异面直线的判定方法：

（1）判定定理：

平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．

（2）反证法：

证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

三个作用

（1）公理1的作用：

①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．

（2）公理2的作用：

公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．

（3）公理3的作用：

①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．

双基自测

1．（人教A版教材习题改编）下列命题是真命题的是（　　）．

A．空间中不同三点确定一个平面

B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面

C．一条直线和一个点能确定一个平面

D．梯形一定是平面图形

解析　空间中不共线的三点确定一个平面，A错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C错；故D正确．

答案　D

2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（　　）．

A．一定是异面直线B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线

解析　由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾.

答案　C

3．（2011·浙江）下列命题中错误的是（　　）．

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

解析　对于D,若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的．

答案　D

4．（2011·武汉月考）如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（　　）．

A．12对B．24对C．36对D．48对

解析　

如图所示，与AB异面的直线有B1C1；CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线

＝24（对）．

答案　B

5．两个不重合的平面可以把空间分成________部分．

答案　3或4

考向一　平面的基本性质

【例1】►正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（　　）．

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

[审题视点]过正方体棱上的点P、Q、R的截面要和正方体的每个面有交线．

解析　

如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．

同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.

∴截面为六边形PQFGRE.

答案　D

画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置．

【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．

解析　

在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．

答案　①②③

考向二　异面直线

【例2】►如图所示，

正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：

（1）AM和CN是否是异面直线？

说明理由；

（2）D1B和CC1是否是异面直线？

说明理由．

[审题视点]第

（1）问，连结MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；第

（2）问可采用反证法．

解　

（1）不是异面直线．理由如下：

连接MN、A1C1、AC.

∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，

∴MN∥A1C1.又∵A1A綉C1C，

∴A1ACC1为平行四边形，

∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，

∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．

（2）是异面直线．证明如下：

∵ABCDA1B1C1D1是正方体，

∴B、C、C1、D1不共面．

假设D1B与CC1不是异面直线，

则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，

∴D1，B、C、C1∈α，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾．

∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．

证明两直线为异面直线的方法

（1）定义法（不易操作）．

（2）反证法：

先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．

【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________（填上所有正确答案的序号）．

解析　如题干图

（1）中，直线GH∥MN；

图

（2）中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；

图（3）中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；

图（4）中，G、M、N共面，但H∉面GMN，

∴GH与MN异面．所以图

（2）、（4）中GH与MN异面．

答案　

（2）（4）

考向三　异面直线所成的角

【例3】►（2011·宁波调研）正方体ABCDA1B1C1D1中．

（1）求AC与A1D所成角的大小；

（2）若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

[审题视点]

（1）平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．

（2）可证A1C1与EF垂直．

解　

（1）如图所示，连接AB1，B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方体，

易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．

∵AB1＝AC＝B1C，

∴∠B1CA＝60°.

即A1D与AC所成的角为60°.

（2）如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，

AC⊥BD，AC∥A1C1，

∵E、F分别为AB、AD的中点，

∴EF∥BD，∴EF⊥AC.

∴EF⊥A1C1.

即A1C1与EF所成的角为90°.

求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：

利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．

【训练3】A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．

（1）求证：

直线EF与BD是异面直线；

（2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．

（1）证明　假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．

（2）解　

如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．

在Rt△EGF中，由EG＝FG＝

AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.

考向四　点共线、点共面、线共点的证明

【例4】►正方体

ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：

（1）E、C、D1、F四点共面；

（2）CE、D1F、DA三线共点．

[审题视点]

（1）由EF∥CD1可得；

（2）先证CE与D1F相交于P，再证P∈AD.

证明　

（1）如图，连接EF，CD1，A1B.

∵E、F分别是AB、AA1的中点，

∴EF∥BA1.

又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，

∴E、C、D1、F四点共面．

（2）∵EF∥CD1，EF＜CD1，

∴CE与D1F必相交，设交点为P，

则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，

得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈直线DA，∴CE、D1F、DA三线共点．

要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上．

【训练4】如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且

＝

＝

，求证：

三条直线EF、GH、AC交于一点．

证明　∵E、H分别为边AB、AD的中点，

∴EH綉

BD，而

＝

＝

，

∴

＝

，且FG∥BD.

∴四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.

∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.

同理，P∈平面ADC.

∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上，故EF、GH、AC三直线交于一点．　

阅卷报告10——点、直线、平面位置关系考虑不全致误

【问题诊断】由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．

【防范措施】借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析．

【示例】►（2011·四川）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是

（　　）．

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

错因　受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况．

实录　甲同学：

A　乙同学：

C

丙同学：

D.

正解　在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直

线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．

答案　B

【试一试】（2010·江西）

过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作（　　）．

A．1条B．2条

C．3条D．4条

[尝试解答]　如图，连结体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为

.联想正方体的

其他体对角线，如连结BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，

∵BB1∥AA1，BC∥AD，

∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．

答案　D