初一数学下册第五章相交线与平行线学案.docx

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初一数学下册第五章相交线与平行线学案

初一数学下册第五章相交线与平行线学案

第五相交线与平行线

第一时：

11相交线

【学习目标】了解邻补角、对顶角,能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些问题

【学习重点】邻补角、对顶角的概念,对顶角性质与应用

【学习难点】理解对顶角相等的性质

【学习过程】

一、学前准备

各小组对七年级上学过的直线、射线、线段、角做总结．每人写一个总结小报告，

二、探索思考

探索一：

完成本P2页的探究，填在本上．

你能归纳出“邻补角”的定义吗？

．

“对顶角”的定义呢？

．

练习一：

1．如图1所示，直线AB和D相交于点，E是一条射线．

（1）写出∠A的邻补角：

__________；

（2）写出∠E的邻补角：

__；

（3）写出∠B的邻补角：

__________；

（4）写出∠BD的对顶角：

_____．

2．如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（）探索二：

任意画一对对顶角，量一量，算一算，它们相等吗？

如果相等，请说明理由．

请归纳“对顶角的性质”：

．

练习二：

1．如图，直线a，b相交，∠1=40°，则∠2=_______∠3=_______∠4=_______

2．如图直线AB、D、EF相交于点，∠BE的对顶角是______，∠F的邻补角是____，若∠AE=30°，那么∠BE=_______，∠BF=_______

3．如图，直线AB、D相交于点，∠E=90°,∠A=30°,∠FB=90°,则∠EF=_____

三、当堂反馈

1．若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为度．

2．如图所示，直线a，b，两两相交，∠1=60°，∠2=∠4，求∠3、∠的度数．

3．如图所示，有一个破损的扇形零，利用图中的量角器可以量出这个扇形零的圆心角的度数，你能说出所量的角是多少度吗？

你的根据是什么？

4．探索规律：

（1）两条直线交于一点，有对对顶角；

（2）三条直线交于一点，有对对顶角；

（3）四条直线交于一点，有对对顶角；

（4）n条直线交于一点，有对对顶角．

四、学习反思

本节你有哪些收获？

第二时：

12垂线

【学习目标】1了解垂线、点到直线的距离的意义，理解垂线和垂线段的性质；

2会用三角板过一点画已知直线的垂线，并会度量点到直线的距离

【学习重点】垂线的意义、性质和画法，垂线段性质及其简单应用

【学习难点】垂线的画法以及对点到直线的距离的概念的理解

【学习过程】

一、学前准备

在学习对顶角知识的时候，我们认识了“两线四角”，及两条直线相交于一点，得到四个角，这四个角里面，有两对对顶角，它们分别对应相等，如图，可以说成“直线AB与D相交于点”．

我们如果把直线D绕点旋转，无论是按照顺时针方向转，还是按照逆时针方向转，∠BD的大小都将发生变化．

当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫垂线，它们的交点叫垂足．如图

用几何语言表示：

方式⑴∵∠A=90°∴AB_____D，垂足是_____

方式⑵∵AB⊥D于∴∠A=______

二、探索思考

探索一：

请你认真画一画，看看有什么收获．

⑴如图1，利用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画__________条；

⑵如图2，经过直线上一点A画的垂线，这样的垂线能画_____条；

⑶如图3，经过直线外一点B画的垂线，这样的垂线能画_____条；

（图1）（图2）（图3a）（图3b）

经过探索，我们可以发现：

在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直．

练习一：

1．如图所示，A⊥B，是一条射线，若∠A=120°，

求∠B度数

2．如图所示，直线AB⊥D于点，直线EF经过点，

若∠1=26°，求∠2的度数．

3．如图所示，直线AB，D相交于点，P是D上一点．

（1）过点P画AB的垂线PE，垂足为E．

（2）过点P画D的垂线，与AB相交于F点．

（3）比较线段PE，PF，P三者的大小关系

探索二：

仔细观察测量比较上题中点P分别到直线AB上三点E、F、的距离，你还有什么收获？

请将你的收获记录下：

_______________________________________________

简单说成：

．还有，直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离注意：

垂线是，垂线段是一条，点到直线的距离是一个数量，不能说“垂线段”是距离

练习二：

1．在下列语句中，正确的是（）．

A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线

B．在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条

．在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条

D．在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离

2．如图所示，A⊥B，D⊥AB于D，A=，B=12，AB=13，则点B到A的距离是________，点A到B的距离是_______，点到AB的距离是_______，A>D的依据是_________．

三、当堂反馈

1．如图所示AB，D相交于点，E⊥AB于，F⊥D于，∠ED与∠FB的大小关系是（）

A．∠ED比∠FB大B．∠ED比∠FB小

．∠ED与∠FB相等D．∠ED与∠FB大小关系不确定

2．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，，D是分别位于公路AB两侧的加油站．设汽车行驶到公路AB上点的位置时，距离加油站最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中的公路上分别画出点，N的位置并说明理由．

3．如图，AB为直线，∠AD：

∠DB=3：

1，D平分∠B．

（1）求∠A的度数；

（2）判断AB与的位置关系．

四、学习反思

本节你有哪些收获？

第三时：

13同位角、内错角、同旁内角

【学习目标】1使学生理解三线八角的意义，并能从复杂图形中识别它们；

2通过三线八角的特点的分析，培养学生抽象概括问题的能力

【学习重点】三线八角的意义，以及如何在各种变式的图形中找出这三类角

【学习难点】能准确在各种变式的图形中找出这三类角

【学习过程】

一、学前准备

在前面我们学习了两条直线相交于一点，得到四个角，即“两线四角”，这四个角里面，有对对顶角，有对邻补角如果是一条直线分别与两条直线相交，结果又会怎样呢？

二、探索思考

探索：

如图，直线分别与直线a、b相交（也可以说两条

直线a、b被第三条直线所截），得到8个角，通常称为

“三线八角”，那么这8个角之间有哪些关系呢？

观察填表：

表一

位置1位置2结论

∠1和∠处于直线的同侧处于直线a、b的同一方这样位置的一对角就称为同位角

∠2和∠8处于直线的（）侧这样位置的一对角就称为（）

∠3和∠6处于直线a、b的（）方这样位置的一对角就称为（）

∠1和∠这样位置的一对角就称为（）

表二

位置1位置2结论

∠4和∠8处于直线的两侧处于直线a、b之间这样位置的一对角就称为内错角

∠3和∠这样位置的一对角就称为（）

表三

位置1位置2结论

∠3和∠8处于直线的（）侧处于直线a、b（）这样位置的一对角就称为同旁内角

∠4和∠这样位置的一对角就称为（）

练习：

1．如图1所示，∠1与∠2是___角，∠2与∠4是_角，∠2与∠3是___角．

（图1）（图2）（图3）

2．如图2所示，∠1与∠2是____角，是直线______和直线_______被直线_______所截而形成的，∠1与∠3是_____角，是直线________和直线______被直线________所截而形成的．

3．如图3所示，∠B同旁内角有哪些？

三、当堂反馈

1．如图，

（1）直线AD、B被直线A所截，找出图中由AD、B被直线A所截而成的内错角是_________和__________

（2）∠3和∠4是直线_________和_________被_________所截，构成内错角

2．已知∠1与∠2是同旁内角，且∠1=60°，则∠2为（）

A60°B120°60°或120°D无法确定

3．如图，判断正误

①∠1和∠4是同位角；（）

②∠1和∠是同位角；（）

③∠2和∠7是内错角；（）

④∠1和∠4是同旁内角；（）

4．如图，直线DE、B被直线AB所截

⑴∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4各是什么角？

⑵如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？

∠1和∠3互补吗？

为什么？

四、学习反思

本节你有哪些收获？

第四时：

21平行线

【学习目标】1使学生知道平行线的概念，掌握平行公理；

2了解平行线具有传递性，能够画出已知直线的平行线

【学习重点】平行线的概念和平行公理，利用直尺和三角板画已知直线的平行线

【学习难点】用几何语言描述画图过程，根据几何语言画出图形

【学习过程】

一、学前准备

在上学期我们学过点和直线的位置关系，同学们还记得点和直线有几种位置关系吗？

请画出，并尝试用几何语言表示

二、探索思考

探索一：

我们知道，火车行驶的两条笔直的铁轨、人行道上的斑马线等都给我们平行的形象一般地，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线如图，记作“∥”或“AB∥D”，读作“直线平行于直线”请同学们思考一下：

在同一平面内，两条不重合的直线有几种位置关系？

动手画一画,并尝试用几何语言表示

练习一：

1．下列说法中，正确的是（）．

A．两直线不相交则平行B．两直线不平行则相交

．若两线段平行，那么它们不相交D．两条线段不相交，那么它们平行

2．在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（）．

A．0个B．1个．2个D．3个

探索二：

请同学们仔细阅读本P13页“平行线的讨论”，认真思考通过观察和画图，可以体验一个基本事实（平行公理）：

经过直线外一点，一条直线与这条直线平行

同样，我们还有（平行线的传递性）：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行简单的说就是：

平行于同一直线的两直线平行

用几何语言可表示为：

如果∥，∥，那么

练习二：

1．如图1所示，与AB平行的棱有_______条，与AA′平行的棱有_____条．

2．如图2所示，按要求画平行线．

（1）过P点画AB的平行线EF；

（2）过P点画D的平行线N．

3．如图3所示，点A，B分别在直线，上，

（1）过点A画到的垂线段；

（2）过点B画直线∥．

（图1）（图2）（图3）

4．下列说法中，错误的有（）．

①若a与相交，b与相交，则a与b相交;

②若a∥b，b∥，那么a∥;

③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;

④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂线三种

A．3个B．2个．1个D．0个

三、当堂反馈

1．在同一平面内,一条直线和两条平行线中一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一边必__________

2．同一平面内,两条相交直线不可能与第三条直线都平行,这是因为________________

3．判断题

（1）不相交的两条直线叫做平行线（）

（2）在同一平面内，不相交的两条射线是平行线（）

（3）如果一条直线与两条平行线中的一条平行,那么它与另一条也互相平行（）

4．读下列语句，并画出图形：

⑴点P是直线AB外一点，直线D经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直．

⑵直线AB，D是相交直线，点P是直线AB，D外一点，直线EF经过点P且与直线AB平行，与直线D相交于E．

四、学习反思

本节你有哪些收获？

第五时：

22平行线的判定

【学习目标】使学生掌握平行线的判定，并能应用这些知识判断两条直线是否平行，培养学生简单的推理能力

【学习重点】平行线的三种判定方法，并运用这三种方法判断两直线平行

【学习难点】运用平行线的判定方法进行简单的推理

【学习过程】

一、学前准备

还知道“三线八角”吗？

请画一画，找出一组同位角、一组内错角、一组同旁内角

二、探索思考

探索一：

请同学们仔细阅读本P13页“平行线判定的思考”，你知道在画平行线这一过程中，三角尺所起的作用吗？

由此我们可以得到平行线的判定方法，如图，将下列空白补充完整（填1种就可以）

判定方法1（判定公理）

几何语言表述为：

∵∠___=∠___∴AB∥D

由判定方法1，结合对顶角的性质，我们可以得到：

判定方法2（判定定理）

几何语言表述为：

∵∠___=∠___∴AB∥D

由判定方法1，结合邻补角的性质，我们可以得到：

判定方法3（判定定理）

几何语言表述为：

∵∠___+∠___=180°∴AB∥D

练习一：

（1题）（2题）（3题）

1．如图1所示，若∠1=∠2，则_____∥______，根据是______．

若∠1=∠3，则______∥______，根据是_________．

2．如图2所示，若∠1=62°，∠2=118°，则_____∥_____，根据是________

3．根据图3完成下列填空（括号内填写定理或公理）

（1）∵∠1=∠4（已知）

∴　　　∥　　　（）

（2）∵∠AB+∠=180°（已知）

∴AB∥D（）

（3）∵∠=∠（已知）

∴AD∥B（）

（4）∵∠=∠（已知）

∴AB∥D（）（图3）

探索二：

木工师傅用角尺画出工边缘的两条垂线，就可以再找出两条平行线，如图所示，∥，你能说明是什么道理吗？

结论（判定推论）：

在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行简记为：

在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行

如图，几何语言表述为：

∵⊥，⊥∴

练习二：

1．如图所示，AB⊥B，B⊥D，BF和E是射线，并且∠1=∠2，

试说明BF∥E．

三、当堂反馈

1．如图所示，在下列条中，不能判断L1∥L2的是（）．

A．∠1=∠3B．∠2=∠3

．∠4+∠=180°D．∠2+∠4=180°

2．如图所示，已知∠1＝120°,∠2＝60°．试说明与的关系？

3．如图所示，已知∠EB=130°，∠FD=2°，F平分∠ED，试说明AB∥D．四、学习反思

本节你有哪些收获？

第六时：

31平行线的性质

【学习目标】1使学生掌握平行线的三个性质，并能应用它们进行简单的推理论证；

2使学生经过对比后，理解平行线的性质和判定的区别和联系

【学习重点】平行线的三个性质及其应用

【学习难点】正确理解性质与判定的区别和联系，并正确运用它们去推理证明

【学习过程】

一、学前准备

通过前面的学习，你知道判定两条直线平行有哪几种方法吗？

⑴平行线的定义：

⑵平行线的传递性：

⑶平行线的判定公理：

⑷平行线的判定定理1：

⑸平行线的判定定理2：

⑹平行线的判定推论：

二、探索思考

探索一：

请同学们仔细阅读本P19页，完成本上的探究根据探究内容，我们可以得到平行线的性质，如图，将下列空白补充完整（填1种就可以）

性质1（性质公理）

几何语言表述为：

∵AB∥D∴∠___=∠___

由性质1，结合对顶角的性质，我们可以得到：

性质2（性质定理）

几何语言表述为：

∵AB∥D∴∠___=∠___

由性质1，结合邻补角的性质，我们可以得到：

性质3（性质定理）

几何语言表述为：

∵AB∥D∴∠___+∠___=

练习一：

1根据右图将下列几何语言补充完整

（1）∵AD∥（已知）

∴∠A+∠AB=180°（）

（2）∵AB∥（已知）

∴∠4=∠（）

∠AB=∠（）

2如右图所示，BE平分∠AB，DE∥B，图中相等的角共有（）

A3对B4对对D6对

3、如图，AB∥D,∠1=4°,∠D=∠,求∠D、∠、∠B的度数

探索二：

用三角尺和直尺画平行线，做成一张×个格子的方格纸观察做出的方格纸的一部分（如图），线段、、…、都与两条平行的横线和垂直吗？

它们的长度相等吗？

像这样，同时垂直于两条平行直线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度相等，叫做这两条平

行线间的距离，即平行线间的距离处处相等

练习二：

1．如图所示，已知直线AB∥D，且被直线EF所截，若∠1=0°，则∠2=____，∠3=______．

（1题）（2题）（3题）

2．如图所示，AB∥D，AF交D于E，若∠EF=60°，则∠A=______．

3．如图所示，已知AB∥D，B∥DE，∠1=120°，则∠2=______．

三、当堂反馈

1．如图所示，如果AB∥D，那么（）．

A．∠1=∠4，∠2=∠B．∠2=∠3，∠4=∠

．∠1=∠4，∠=∠7D．∠2=∠3，∠6=∠8

（1题）（2题）（3题）

2．如图所示，DE∥B，EF∥AB，则图中和∠BFE互补的角有（）．

A．3个B．2个．个D．4个

3．如图所示，已知∠1=72°，∠2=108°，∠3=69°，求∠4的度数．

四、学习反思

本节你有哪些收获？

第七时：

平行线的判定及性质习题

【学习目标】加深对平行线的判定及性质的理解及其应用

【学习重点】平行线的判定及性质的应用

【学习难点】灵活运用平行线的判定及性质去推理证明

【学习过程】

一、学前准备

通过前面的学习，你知道判定两条直线平行有哪几种方法吗？

⑴平行线的定义：

⑵平行线的传递性：

⑶平行线的判定公理：

⑷平行线的判定定理1：

⑸平行线的判定定理2：

⑹平行线的判定推论：

通过前面的学习，你还知道两条直线平行有哪些性质吗？

⑴根据平行线的定义：

⑵平行线的性质公理：

⑶平行线的性质定理1：

⑷平行线的性质定理2：

⑸平行线间的距离．

二、探索思考

练习：

让我先试试，相信我能行

1．如图1，若∠1=∠2，那么_____∥______，根据_____．

若a∥b，那么∠3=_____，根据_____．

（图1）（图2）（图3）（图4）

2．如图2，∵∠1=∠2，∴_______∥_______，根据________．

∴∠B=______，根据________．

3．如图3，若AB∥D，那么________=_______；若∠1=∠2，那么_____∥_____；

若B∥AD，那么_______=_______；若∠A+∠AB=180°，那么______∥_____

4．如图4，一条公路两次拐弯后，和原的方向相同，如果第一次拐的角是136°（即∠AB），那么第二次拐的角（∠BD）是度，根据___．

．如右图，修高速公路需要开洞，为节省时间，要在两面A，B

同时开工，在A处测得洞的走向是北偏东76°12′，那么在B处

应按什么方向开口，才能使洞准确接通，请说明其中的道理．

6．如右图所示，潜望镜中的两个镜子是互相平行放置的，光线经过

镜子反射∠1=∠2，∠3=∠4，请你解释为什么开始进入潜望镜的光

线和最后离开潜望镜的光线是平行的．

三、当堂反馈

1．已知如图1，用一吸管吸吮易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角∠1=74°，那么吸管与易拉罐下部夹角∠2=_______．

2．已知如图2，边A，B均为平面反光镜，∠AB=40°，在B上有一点P，从P点射出一束光线经A上的Q点反射后，反射光线QR恰好与B平行，则∠QPB的度数是（）．

A．60°B．80°．100°D．120°

（图1）（图2）（图3）

3．如图3，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠的大小关系，并对结论进行说理．

4．如图，直线DE经过点A，DE∥B，∠B=44°,∠=8°⑴求∠DAB的度数；⑵求∠EA的度数；⑶求∠BA的度数；⑷通过这道题你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？

四、学习反思

本节你有哪些收获？

第八时：

32命题、定理

【学习目标】了解命题、定理的概念，能够区分命题的题设和结论

【学习重点】能够区分命题的题设和结论

【学习难点】能够区分命题的题设和结论

【学习过程】

一、学前准备

歌德是18世纪德国的一位著名艺大师，一天，他与一位批评家“独路相逢”，这位艺批评家生性古怪，遇到歌德走，不仅没有相让，反而卖弄聪明，边走边大声说道：

“我从不给傻子让路！

”而对如此的尴尬的局面，歌德笑容可掏，谦恭的闪在一旁，有礼貌地回答道“呵呵，我可恰相反”，结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣你知道为什么吗？

二、探索思考

探索：

在日常生活中，我们会遇到许多类似的情况，需要对一些事情作出判断，例如：

⑴今天是晴天；⑵对顶角相等；⑶如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行像这样，判断一事情的语句，叫做命题

每个命题都是由_______和______组成&nt;每个命题都可以写成&nt;“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部份是，用“那么”开始的部份是

像前面举例中的⑵⑶两个命题，都是正确的，这样的命题叫做真命题，即正确的命题叫做______

例如：

“如果一个数能被2整除，那么这个数能被4整除”，很明显是错误的命题，这样的命题叫做假命题，即错误的命题叫做______

我们把从长期的实践活动中总结出的正确命题叫做公理；通过正确的推理得出的真命题叫做定理

练习：

1．下列语句是命题的个数为（）

①画∠AB的平分线;②直角都相等;③同旁内角互补吗？

④若│a│=3，则a=3

A．1个B．2个．3个D．4个

2．下列个命题，其中真命题的个数为（）

①两个锐角之和一定是钝角;②直角小于夹角;③同位角相等，两直线平行;

④内错角互补，两直线平行;⑤如果a<b，b<，那么a<

A．1个B．2个．3个D．4个

3．下列说法正确的是（）

A．互补的两个角是邻补角B．两直线平行，同旁内角相等

．“同旁内角互补”不是命题D．“相等的两个角是对顶角”是假命题

4．“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”是命题，其中，题设

是，结论是，

．将下列命题改写成“如果……那么……”的形式．

（1）直角都相等．

（2）末位数是的整数能被整除．

（3）三角形的内角和是180°．

（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行．

三、当堂反馈

1．下列语句中不是命题的有（）

⑴两点之间，直线最短；⑵不许大声讲话；⑶连接A、B两点；⑷花儿在春天开放．

A．1个B．2个．3个D．4个

2．下列命题中，正确的是（）

A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；

B．相等的角是对顶角；

．两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

D．和为180°的两个角叫做邻补角3．下列命题中的条（题设）是什么？

结论是什么？

（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；

（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行；

4．将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断正误．

（1）对顶角相等；

（2）同位角相等；

（3）同角的补角相等．

四、学习反思

本节你有哪些收获？

第九时：

4平移

【学习