高二数学选修21空间向量与立体几何单元测试题.docx
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高二数学选修21空间向量与立体几何单元测试题
东升学校《空间向量与立体几何》单元测试题
一、选择题（本大题8小题,每小题5分，共40分）
1、若a,b,c是空间任意三个向量,R,下列关系式中,不成立的是（）
A．abbaB．abab
C．abcabcD．ba
2、给出下列命题
①已知ab,则abccbabc;
②A、B、M、N为空间四点,若BA,BM,BN不构成空间的一个基底,则A、B、
M、N共面;
③已知ab,则a,b与任何向量不构成空间的一个基底;
④已知a,b,c是空间的一个基底,则基向量a,b可以与向量mac构成空
间另一个基底.
正确命题个数是（）
A．1B．2C．3D．4
3、已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么a3b等于（）
A．7B．10C．13D．4
4、a1,b2,cab,且ca,则向量a与b的夹角为（）
A．30B．60C．120D．150
5、已知a3,2,5,b1,x,1,且ab2,则x的值是（）
A．3B．4C．5D．6
6、若直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,则能使l//的是（）
A．a1,0,0,n2,0,0B．a1,3,5,n1,0,1
C．a0,2,1,n1,0,1D．a1,1,3,n0,3,1
7、在平面直角坐标系中,A（2,3）,B（3,2）,沿x轴把平面直角坐标系折成120
第1页共15页
的二面角后,则线段AB的长度为（
）
A．2
B．211
C．32
D．42
、正方体
ABCD-AB11C1D1
的棱长为1,E是A
中点,则E到平面ABC
的距离
8
1B1
1D1
是（
）
A．3
B．2
C．1
D．3
2
2
2
3
二、填空题（本大题共
6小题，每空5分，共30分）
9、已知F1
i2j
3k
，F2
2i3j
k，F3
3i4j
5k，若F1,F2,F3
共同作
用于一物体上，使物体从点
M（1，-2，1）移动到N（3，1，2），则合力所
作的功是
.
10、在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知∠BAD=∠A1AB=∠
A1AD=60,AD=4,AB=3,AA1=5,AC1=
.
11、△ABC和△DBC所在的平面互相垂直
且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=60,则AD
与平面BCD所成角的余弦值为
.
12、若直线
l的方向向量为
（4,2,m）,平面的法向量为（2,1,-1）,且l⊥,则m
=
.
13、已知A（-3,1,5）,B（4,3,1）,则线段AB的中点M的坐标为
.
三、解答题（本大题共
6小题，共80分）
14、（本题满分12
分）设空间两个不同的单位向量a
x1,y1,0
b
x2,y2,0与
向量c
1,1,1
的夹角都等于45.
（1）求x1
y1和x1y1的值;
（2）求a,b
的大小.
15、（本题满分12分）已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,E为PC上的点且CE：
CP=1：
4,则在线段AB上是否存在点F使EF//平面PAD?
第2页共15页
17、（本题满分14分）如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA⊥底面ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点P,使得PSPD.
（1）求a的最大值;
（2）当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小;
（3）当a取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量n及点P到平面SCD的距离.
18、（本题满分14分）已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,
AB2,AF=1,M是线段EF的中点.
（1）求证：
AM//平面BDE；
（2）求证：
AM⊥平面BDF．
第3页共15页
19、（本题满分14分）如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:
①a3;②a1;③a3;④a2;⑤a4;
2
（1）当在BC边上存在点
⊥
QD时,a可能取所给数据中的哪些值?
请说明理由;
Q,使PQ
（2）在满足
（1）的条件下,a取所给数据中的最大值时
求直线PQ与平面ADP所成角的正切
值;
（3）记满足
（1）的条件下的
Q点为Qn（n=1,2,3,⋯）,若a取所给数据的最小值时
这样的点
Qn有几个?
试求二面角
Qn-PA-Qn+1的大小;
20、（本题满分14分）如图所示,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60,PA=AC=a,
PB=PD=2a,点E在PD上,且PE：
ED=2：
1.
（1）证明：
PA⊥平面ABCD；
（2）求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小；
（3）棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?
证明你的结论.
第4页共15页
参考答案：
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
C
C
C
D
B
B
二、填空题
题号
9
10
11
12
13
14
答案
14
97
30
2
-2
1
2
2,3
2
三、解答题
x12
y12
1
x
2
y
2
1
x
y
6
1
1
1
1
2
；
15、解：
（1）依题意，
x1
y1
2
x1
y1
6
3
2
2
x1
y1
1
4
（2）∵单位向量a
x1,y1,0,b
x2,y2,0
与向量c
1,1,1的夹角都等
于45.
x
y
6
x1
6
2
x1
6
2
1
1
2
4
或
4
∴由
x1
y1
1
y1
6
2
y1
6
2
4
4
4
∴a
6
2,
6
2,0,b
6
2,
6
2,0
4
4
4
4
x1x2
y1y2
6
26
2
6
26
21
由cosa,b
a
b
4
4
4
4
2
∴a,b
.
3
16、解：
建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=b，
则A（0,0,0）,B（a,0,0）,C（a,a,0）,D（0,a,0）,P（0,0,b）,
则CPa,a,b,
∵E为PC上的点且CE：
CP=1：
3,
第5页共15页
∴CE
1
CP
1
a,a,b
a,
a,b
4
4
4
4
4
∴由CE
AE
AC
AECE
AC
3a,3a,b
4
4
4
设点F的坐标为（x,0,0,）（0≤x≤a）,
则EFx
3a,
3a,
b
4
4
4
又平面PAD的一个法向量为AB
a,0,0
依题意,EF
AB
x
3a
a
0x
3a,
4
4
3
∴在线段AB上存在点F,满足条件,点F在线段AB的处.
17、解：
建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:
A（0,,0,0）,B（a,0,0）,C（a,2,0）,D（0,2,0）,S（0,0,1）,设P（a,x,0）.（0（1）∵PS
a,x,1,PD
a,2
x,0
∴由PS
PD得:
a2
x（2x）
0
即:
a2x（2x）（0x2）
∴当且仅当x=1时,a有最大值为1.此时P为BC中点;
（2）由
（1）知:
AP（1,1,0）,SD（0,2,1）,
APSD
2
10
∴cosAP,SD
25
5
APSD
∴异面直线AP与SD所成角的大小为arccos
10.
5
（3）设
n1
x,y,z是平面
SCD
的
一
个法向量,∵
DC（1,0,0）,SD
（0,2,
1）,
第6页共15页
∴由n1
DC
n1
DC
0
x
0
x
0
2y
z0
y
1得n1（0,1,2）,
n1
SD
n1
SD
0
取y
1
z
2
n1
1
∴平面SCD的一个单位法向量n
0,1,2
n1
5
5
又CP
CPn5
（0,1,0）,在n方向上的投影为
1
n
∴点P到平面SCD的距离为
5.
5
18、解：
建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：
O（0,0,0）,A（0,1,0）,B（-1,0,0）,C（0,-1,0,）,D（1,0,0,）,
E（0,-1,1）,F（0,1,1）,M（0,0,1）.
（1）∵AM（0,1,1）,OE（0,1,1）
∴AMOE,即AM//OE,
又∵AM平面BDE,OE平面BDE,
∴AM//平面BDE;
（2）∵BD
（2,0,0）,DF
（
1,1,1）,
∴AM
BD0,AM
DF
0,
∴AM⊥BD,AM⊥DF,∴AM⊥平面BDF.
19、解：
建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:
A（0,0,0,）,B（a,0,0）,C（a,2,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,设Q（a,x,0）.（0≤x≤2）
（1）∵PQ
a,x,
2,QD
a,
2
x,0,
∴由PQ⊥QD得
PQ
QD
a2
x（2
x）
0
a2
x（2x）
∵x
0,2,a2
x（2
x）
0,1
5
2
5
（0,
）,
5
5
5,
5
第7页共15页
∴在所给数据中,a可取
3
1两个值.
a
和a
2
（2）
由
（1）知a
1,此时x=1,即Q为BC中点,∴点Q的坐标为（1,1,0）
从而PQ
1,1,
2
又AB1,0,0
为平面ADP的一个法向量,
∴cosPQ,AB
PQAB
1
6
PQ
AB
6
1
6
∴直线PQ与平面ADP所成角的正切值为
5.
5
（3）
由
（1）知a
3
1
或x
3
此时x
,即满足条件的点Q有两个,
2
2
2
其坐标为
3
1
3
3
Q1
0和Q2
0
2
2
2
2
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AQ
⊥
1,PAAQ2,
∴∠Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角.
AQ1AQ2
3
3
3
由cosAQ1,AQ2
4
4
AQ1
AQ2
1
3
得∠Q1AQ2=30,
2
∴二面角Q1
2的大小为30.
-PA-Q
20、解：
（1）∵PA=AC=a，PB=PD=2a
∴PA2AB2PB2,PA2AD2PD2,
∴PA⊥AB且PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，
（2）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，设AC∩BD=O，
∴以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：
A0,a,0,B
3a,0,0,C
0,a,0
D
3a,0,0
P0,
a,a,
2
2
2
2
2
∵点E在PD上,且PE：
ED=2：
1.
∴DP
3DE，即：
DP
3OE
OD
第8页共15页
∴OE
3a,
a,a
，即点E的坐标为E
3a,
a,a
3
6
3
3
6
3
又平面DAC的一个法向量为n1
0,0,1
EAC
个法向量为n2
x,y,z,
OC
0,
a
设平面
的
一
0
，
2
3
a
a
OE
a,
3
6
3
ay0
2
x
1
n2
OC
n2
OC
0
3
a
a
由
y
0
，得
ax
y
z0
n2
OE
n2
OE
0
3
6
3
z
3
取x=1
n21,0,3,
n1
n2
3
3
n2
∴cosn1,n2
n2
12
n1
6
n1
2
∴由图可知二面角E-AC-D的大小为.
6
（3）设在CP上存在点F，满足题设条件，
由CF
CP
（0
1），得OFOC
CP0,1
2
a,a
2
∴BF
0,1
2
a,a
3a,0,0
3a,1
2
a,
a
2
2
2
2
依题意，则有BFn2
∴
3a,1
2a,a1,0,30
3a
3a0
1
2
2
2
2
∴点F为PC中点时,满足题设条件.
第9页共15页
一.选择题：
（10小题共40分）
1.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A、B、
C一
定共面的是
（）
A.OM
OA
OB
OC
B.OM
2OA
OB
OC
C.OM
OA
1OB
1OC
D.OM
1OA
1OB
1OC
2
3
3
3
3
2.直三棱柱ABC—A1B1C1
中，若CAa,CB
b,CC1
C,则A1B
（）
A.abcB.
abc
C.abc
D.abc
3.若
向
量
m垂直向量a和b,向量na
b（,
R且
、
0）则
（
）
A.m//nB.mnC.m不平行于n,m也不垂直于nD.以上三种情况都
可能
4.以下四个命题中,正确的是
（）
A.若OP1OA1OB,则P、Ａ、Ｂ三点共线
23
B.设向量{a,b,c}是空间一个基底，则{a+b，b+c，c+a}构成空间的另一个基底
C.（ab）cabc
D.△ABC是直角三角形的充要条件是ABAC0
5.对空间任意两个向量a,b（bo）,a//b的充要条件是
（）
第10页共15页
A.a
b
B.a
b
C.b
a
D.a
b
6.
已知向量a
（0,2,1）,b
（
1,1,
2）,则a与b的夹角为
（
）
A.0°
B.45
°
C.90°
D.180°
7.
在平行六面体ABCDA1B1C1D1
中，M为AC与BD的交点，若
A1B1a,A1D1
b,A1Ac，
则
下
列
向
量
中
与
B1M
相
等
的
是
（
）
A.
1a
1b
1cB.
1a
1b
1cC.
1a
1bcD.-
1a
1bc
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8.
已
知
a
（
1,0,2
）,b
（6,2
1,2）,若a//b,则与的
值
分
（
）
A.
1
1
B.5，2
C.
1,
1
D.-5，-2
5
2
5
2
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