勾股定理.docx
《勾股定理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股定理.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
勾股定理
勾股定理
1．1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
基础题
知识点1 认识勾股定理
1．下列说法正确的是（）
A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则c2＋b2＝a2
2．在Rt△ABC中，斜边长BC＝3，AB2＋AC2＋BC2的值为（）
A．18 B．9
C．6 D．无法计算
3．若一个直角三角形的两条直角边长都为1，则它的斜边长的平方是（）
A.
B．1
C．2D．4
4．（淮安中考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）
A．5
B．6
C．7
D．25
5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）若a＝3，b＝4，则c＝；
（2）若a＝6，c＝10，则b＝；
（3）若c＝25，b＝15，则a＝.
知识点2 勾股定理的简单应用
6．如图，做一个宽80厘米，高60厘米的长方形木框，需在相对角的顶点加一根加固木条，则木条的长为（）
A．90厘米B．100厘米
C．105厘米D．110厘米
7．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
8．已知等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，求等腰三角形的腰长．
知识点3 利用勾股定理求面积
9．（深圳校级期中）图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（）
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积为（）
A．150cm2
B．200cm2
C．225cm2
D．无法计算
中档题
11．（资阳中考）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（）
A．48 B．60 C．76 D．80
12．如图，若∠BAD＝∠DBC＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，则CD＝（）
A．5B．13C．17D．18
13．如图，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为（）
A．21
B．15
C．6
D．以上答案都不对
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a∶b＝3∶4，c＝100，其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则b的长为（）
A．30B．60C．80D．120
15．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：
从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（）
A．2B．4C．8D．16
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝．
17．如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为cm.
18．如图所示，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于点D，求CD的长．
综合题
19．在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC边上的高等于12，求△ABC的周长．
图1 图2
第2课时 验证勾股定理及其计算
基础题
知识点1 验证勾股定理
1．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：
其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD
2．用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼，摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，你能利用这个图形验证勾股定理吗？
知识点2 勾股定理的简单应用
3．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为2.5米的木梯，准备把梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离为（）
A．0.7米B．0.8米
C．0.9米D．1.0米
4．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？
请你通过计算、分析后给出正确的回答（）
A．一定不会B．可能会
C．一定会D．以上答案都不对
5．某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行，海监船乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距海里．
6．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸（单位：
mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm.
7．如图是某小区一健身中心的平面图，活动区是面积为200m2的长方形，休息区是直角三角形，请你求出半圆形餐饮区的面积．
中档题
8．如图1是边长分别为a，b的两个正方形，经如图2所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两正方形面积之和．利用这个方法可以推得或验证勾股定理．现请你通过对图2的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是（）
A．割⑤补⑥
B．割③补①
C．割①补④
D．割③补②
9．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）
A．4 B．6
C．8 D．10
10．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于（）
A．4.1米B．4.0米
C．3.9米 D．3.8米
11．如图，将一根20cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm、3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是cm.
12．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：
小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m．这辆小汽车超速了吗？
13．4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？
请试一试．
综合题
14．为了向建国六十八周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级
（1）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：
①先裁下了一张长BC＝20cm，宽AB＝16cm的长方形纸片ABCD；
②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处．
请你根据①②步骤解答下列问题：
计算EC，FC的长．
1.2 一定是直角三角形吗
基础题
知识点1 直角三角形的判别
1．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则该三角形为（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a2－b2＝c2，则下列说法正确的是（）
A．∠C是直角B．∠B是直角
C．∠A是直角 D．∠A是锐角
3．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上答案都不对
4．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线长为68cm，则这个桌面（填“合格”或“不合格”）．
5．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12.求：
（1）AC的长度；
（2）△ABC的面积．
知识点2 勾股数
6．下列几组数中，为勾股数的一组是（）
A．0.3，0.5，0.4B．－15，8，7
C．21，45，20D．15，20，25
7．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是．
8．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：
如
9．如图，四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，CD＝13，BD＝12，求这个四边形的面积．
中档题
10．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）
A．b2＝c2－a2
B．a∶b∶c＝3∶4∶5
C．∠C＝∠A－∠B
D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
11．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）
12．小红要求△ABC中最长边上的高，测得AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，则可知最长边上的高是（）
A．48cmB．4.8cm
C．0.48cmD．5cm
13．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为（）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
14．如图，方格中的点A，B称为格点（横线的交点），以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C的个数为（）
A．3B．4
C．5D．6
15．观察下列一组勾股数：
6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；…；a，b，c.根据你的发现，写出当a＝20时，b＝，c＝.
16．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足c＋a＝2b，c－a＝
b，则△ABC是什么特殊三角形？
综合题
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC与CD的长度之和为34cm，其中点C是直线l上的一个动点，请你探究当点C离点B有多远时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．
1.3 勾股定理的应用
基础题
知识点1 勾股定理在生活中的应用
1．如图，湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA＝130米，CB＝120米，则AB为（）
A．30米
B．40米
C．50米
D．60米
2．一个圆柱形的油桶高120cm，底面直径为50cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为（）
A．5cmB．100cm
C．120cm D．130cm
3．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）
A．20km
B．14km
C．11km
D．10km
4．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高0.9m，宽1.2m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需_m长．
5．一渔船从A点出发，向正北方向航行5公里到B点，然后从B点向正东方向航行12公里至C点，则AC长为公里．
6．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长，已知滑梯的高度CE＝3m，CD＝1m，求滑道AC的长．
7．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑竿顶端A下滑多少米？
知识点2 立体图形中两点之间的最短距离
8．如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是（）
A．80cmB．70cm
C．60cmD．50cm
9．如图是棱长为1的正方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B处有一食物，它想尽快吃到食物，设蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程为a，则a2＝.
中档题
10．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走________公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺（）
A．100 B．180
C．220 D．260
11．（济南中考）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）
A．12m B．13m
C．16m D．17m
12．（东营中考）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米．
13．如图是延安某地一个农家的窑洞的洞门示意图，其上方为半圆形，若长方形的对角线AC＝2.5米，AD＝1.5米，则洞口的面积为平方米（π取3）．
14．如图，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有一苍蝇从A点出发，沿长方体的表面到达C点处，则苍蝇所经过的最短距离为_cm.
15．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是BC上一点，且PC＝
BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是多少？
综合题
16．印度数学家什迦罗（1141年～1225年）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？
”请用学过的数学知识回答这个问题．
小专题
（一） 利用勾股定理解决最短路径问题
——教材P19T12的变式与应用
【教材母题】 （教材P19T12）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？
1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？
2．（青岛中考改编）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的平方是多少？
小专题
（二） 利用勾股定理解决折叠问题
1．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）
A．1cmB．1.5cm
C．2cmD．3cm
2．如图，长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，则FC等于（）
A．1B．2
C．3D．4
3．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5cm，BC＝10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）
A.
cmB.
cm
C.
cmD.
cm
4．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF＝
cm，则AD的长为（）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．7cm
5．（铜仁中考）如图，在长方形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（）
A．3B.
C．5D.
6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是cm2．
8．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，且B′C＝3，求AM的长．
章末复习
（一） 勾股定理
基础题
知识点1 勾股定理及其验证
1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠A＋∠C＝90°，则下列等式中成立的是（）
A．a2＋b2＝c2B．b2＋c2＝a2
C．a2＋c2＝b2D．c2－a2＝b2
2．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．10cm
3．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）
知识点2 直角三角形的判别
4．在△ABC中，AB＝12cm，AC＝9cm，BC＝15cm，则S△ABC等于（）
A．54cm2B．108cm2
C．180cm2D．90cm2
5．下列说法中，错误的是（）
A．在△ABC中，∠C＝∠A－∠B，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若a＝
c，b＝
c，则△ABC为直角三角形
D．在△ABC中，若a∶b∶c＝3∶2∶4，则△ABC为直角三角形
6．已知如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝14，BC边上的中线AD＝24，试说明△ABC是等腰三角形．
知识点3 勾股定理的应用
7．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为（）
A．440mB．460m
C．480mD．500m
8．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇．公路PQ上A处距离O点240米，距离MN这条铁路的距离是120米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是多少？
中档题
9．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是（）
A．100B．28
C．10或14D．100或28
10．在△ABC中，AB＝n2＋1，AC＝2n，BC＝n2－1（n>1），则这个三角形是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
11．某会会标如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和为5，则中间小正方形的面积是（）
A．1B．2
C．4 D．6
12．在△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一条直角边的比为13∶5，则这个三角形的三边长分别为．
13．（泰州中考）如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP,PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为.
14．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．请你说明理由．你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
解：
因为a2＝4m2，b2＝m4－2m2＋1，c2＝m4＋2m2＋1，a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形，∠C为直角．又m为大于1的整数，故2m，m2－1，m2＋1都是正整数，因此，a，b，c为勾股数．利用这个结论可以得出勾股数：
如4，3，5；8，15，17等．
15．小明把一根长为160cm的细铁丝弯折成三段，将其做成一个等腰三角形风筝的边框ABC，已知风筝的高AD＝40cm，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？
综合题
16．如图，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？
周末小测试（共100分）
基础题（每小题10分）
知识点1 勾股定理及其验证
1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠A＋∠C＝90°，则下列等式中成立的是（）
A．a2＋b2＝c2B．b2＋c2＝a2
C．a2＋c2＝b2D．c2－a2＝b2
2．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．10cm
3．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）
知识点2 直角三角形的判别（4、5题每题10分，第6题30分）
4．在△ABC中，AB＝12cm，AC＝9cm，BC＝15cm，则S△ABC等于（）
A．54cm2B．108cm2
C．180cm2D．90cm2
5．下列说法中，错误的是（）
A．在△ABC中，∠C＝∠A－∠B，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若a＝
c，b＝
c，则△ABC为直角三角形
D．在△ABC中，若a∶b∶c＝3∶2∶4，则△ABC为直角三角形
6．已知如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝14，BC边上的中线AD＝24，试说明△ABC是等腰三角形．
知识点3 勾股定理的应用（20分）
7．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为（）
A．440mB．460m
C．480mD．500
升级会员 