北京市海淀区高三年级一模数学试题理Word版 答案.docx
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北京市海淀区高三年级一模数学试题理Word版答案
海淀区高三年级第二学期期中练习
数学(理)参考答案与评分标准2018.4
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
B
A
D
D
B
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
题号
9
10
11
12
13
14
答案
2
48
注:
第12、14题第一空均为3分,第二空均为2分。
三、解答题共6小题,共80分。
解答题应写出解答步骤。
15.(本题满分13分)
(Ⅰ)
3分
(Ⅱ)
因为函数
的单调递增区间为
(
),
令
(
),
解得
(
),
故
的单调递增区间为
(
)13分
16.(本题满分13分)
(Ⅰ)设事件
:
从上表12个月中,随机取出1个月,该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播.用
表示事件抽取的月份为第
月,则
共12个基本事件,
共6个基本事件,
所以,
.4分
(Ⅱ)在第一季度和第二季度的6个月中,甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月,故
所有可能的取值为
,
,
.
,
,
随机变量
的分布列为
0
1
2
(Ⅲ)
的最大值为
,最小值为
.13分
17.(本题满分14分)
(Ⅰ)方法1:
设
的中点为
,连接
,
.由题意
,
,
因为在
中,
,
为
的中点
所以
,
因为在
中,
,
,
所以
因为
,
平面
所以
平面
因为
平面
4分
所以平面
平面
方法2:
设
的中点为
,连接
,
.
因为在
中,
,
为
的中点
所以
,
因为
,
,
所以
≌
≌
所以
所以
因为
,
平面
所以
平面
因为
平面
4分
所以平面
平面
方法3:
设
的中点为
,连接
,因为在
中,
,
所以
设
的中点
,连接
,
及
.
因为在
中,
,
为
的中点
所以
.
因为在
中,
,
为
的中点
所以
.
因为
,
平面
所以
平面
因为
平面
所以
因为
,
平面
所以
平面
因为
平面
4分
所以平面
平面
(Ⅱ)由
平面
,
,如图建立空间直角坐标系,则
,
,
,
,
由
平面
,故平面
的法向量为
由
,
设平面
的法向量为
,则
由
得:
令
,得
,
,即
由二面角
是锐二面角,
所以二面角
的余弦值为
9分
(Ⅲ)设
,
,则
令
得
即
,μ是关于λ的单调递增函数,
当
时,
,
所以
14分
18.(本题满分13分)
(Ⅰ)当
时,
故
令
,得
故
的单调递增区间为
4分
(Ⅱ)方法1:
令
则
由
,
故存在
,
故当
时,
;当
时,
↗
极大值
↘
故
故
,解得
13分
故
的值为
.
(Ⅱ)方法2:
的最大值为
的充要条件为对任意的
,
且存在
,使得
,等价于对任意的
,
且存在
,使得
,
等价于
的最大值为
.
,
令
,得
.
↗
极大值
↘
故
的最大值为
,即
.13分
(19)(本小题14分)
(Ⅰ)由题意
,
解得:
,
,
故椭圆
的标准方程为
5分
(Ⅱ)假设直线TP或TQ的斜率不存在,则P点或Q点的坐标为(2,-1),直线l的方程为
,即
.
联立方程
,得
,
此时,直线l与椭圆C相切,不合题意.
故直线TP和TQ的斜率存在.
方法1:
设
,
,则
直线
,
直线
故
,
由直线
,设直线
(
)
联立方程,
当
时,
,
14分
方法2:
设
,
,直线
和
的斜率分别为
和
由
,设直线
(
)
联立方程,
当
时,
,
故直线
和直线
的斜率和为零
故
故
故
在线段
的中垂线上,即
的中点横坐标为2
故
14分
20.(本题满分13分)
(Ⅰ)
是“
数表”,其“
值”为3,
不是“
数表”.3分
(Ⅱ)假设
和
均是数表
的“
值”,
①若
,则
;
②若
,则
;
③若
,
,则一方面
,
另一方面
;
矛盾.即若数表
是“
数表”,则其“
值”是唯一的.8分
(Ⅲ)方法1:
对任意的由
,
,
,…,
组成的
行
列的数表
.
定义数表
如下,将数表
的第
行,第
列的元素写在数表
的第
行,第
列,即
(其中
,
)
显然有:
①数表
是由
,
,
,…,
组成的
行
列的数表
②数表
的第
行的元素,即为数表
的第
列的元素
③数表
的第
列的元素,即为数表
的第
行的元素
④若数表
中,
是第
行中的最大值,也是第
列中的最小值
则数表
中,
是第
列中的最大值,也是第
行中的最小值.
定义数表
如下,其与数表
对应位置的元素的和为362,即
(其中
,
)
显然有
①数表
是由
,
,
,…,
组成的
行
列的数表
②若数表
中,
是第
列中的最大值,也是第
列中的最小值
则数表
中,
是第
列中的最小值,也是第
列中的最大值
特别地,对由
,
,
,…,
组成的
行
列的数表
①数表
是由
,
,
,…,
组成的
行
列的数表
②若数表
中,
是第
行中的最大值,也是第
列中的最小值
则数表
中,
是第
列中的最小值,也是第
列中的最大值
即对任意的
,其“
值”为
(其中
,
),则
,且其“
值”为
.
记
,则
,即数表
与数表
的“
值”之和为
,
故可按照上述方式对
中的数表两两配对,使得每对数表的“
值”之和为
,
故
的数学期望
.13分
方法2:
所有可能的取值为
.
记
中使得
的数表
的个数记作
,
,则
.
则
,则
,
故
,
.13分