数学文化与高考试题.docx

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数学文化与高考试题

高考数学题亲近国学

中华国学博大精深、包罗万象，是古代先贤智慧的结晶。

国学经典中蕴含着丰富的数学思想，深受高考数学命题者的青睐。

今年湖北的一道高考数学题就出现了《九章算术》中的“鳖臑”和“阳马”，让很多考生感觉“难出了新高度”，甚至有考生吐槽：

“老师，被闹了好吗？

这是数学题啊！

”下面看看原题。

   2015年高考湖北理科卷第19题，文科卷第20题．（本小题满分12分）

同出现在今年湖北文科卷第2题也出自《九章算术》，题目为：

    《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称世界数学名著。

《算数书》是目前已知最早的中国数学著作，比《九章算术》早进二百年，其内容丰富，全书约有200多支竹简，七千多字，有60多个小标题，如“方田”、“少广”、“金价”、“合分”、“约分”、“经分”、“分乘”、“相乘”、“增减分”、“贾盐”、“息钱”、“程未”、“囷盖”等等，被称为之为“中国数学史上的重大发现”。

    2014年湖北理科第8题文科第10题​

    在中国的传统文化中，数学的确是重要的不可缺失的一部分。

算术教学在中国有着悠久的历史。

两千多年前的中国古代就有了系统的论述，对后世中国数学和数学教育的发展产生了深远的影响。

充分挖掘中国古代数学丰富的知识宝藏和教育内容，继承和发扬中华古算的思想和传统，无疑对于指导今天的数学教学具有重要的意义。

在高考试卷中，有些试题虽未明确出自国学经典，却源于中国古代的数学成就。

例如2011年山东理科卷第13题，文科卷第14题。

高考数学引擎

    本题再现的是孙子定理，也被称为“中国剩余定理”．求一个数，其被3除余2，被5除余3，被7除余5．这个数便是68．

    最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：

    有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

问物几何？

    意思是：

一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

    宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。

明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：

    三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知

    这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。

意思是：

将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后除以105，得到的余数就是答案。

比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23．

    再如2015年山东理科卷第11题。

观察下列各式：

    中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。

这道关于归纳推理的试题就是要求归纳杨辉三角的一个性质。

由于不需证明，只是找规律，所以比较容易。

杨辉三角有很多重要性质，本题只是这些性质之一。

    杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。

在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。

故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。

以下是近年来在高考中出现的数学文化类试题

以下是近年来在高考中出现的数学文化类试题，仅供参考，数学文化包罗万象。

（1）数学名著中的立几题，例如：

2015年全国1卷文6理6题；

（2）数学名著中的数列题，例如：

2011年湖北卷文9理13题；

（3）数学名著中的算法题，例如：

2015年全国2卷文8理8题；

（4）数学名著中的统计题，例如：

2015年湖北卷文2理2题；

（5）杨辉三角，例如：

2004年上海春季卷11题；

（6）祖暅原理，例如：

2013年上海卷理13题；

（7）形数，例如：

2009年湖北卷文10理10题；、

（8）斐波那契数列，例如：

2009年福建卷理15题；

（9）阿波罗尼斯圆，例如：

2014年湖北卷文17题；

（10）伯努力不等式，例如：

2012年湖北卷理22题；

（11）回文数，例如：

2012年湖北卷文13题；

（12）数字黑洞，例如：

2014年湖北卷理13题；

（13）角谷猜想，例如：

2009年湖北卷理15题；

（14）四色定理，例如：

2003年全国卷理15题；

（15）格点问题，例如：

2013年湖北卷文17题；

（16）米勒问题，例如：

2005年天津卷理20题；

（17）摆线问题，例如：

2011年江西卷理10题；

（18）黄金分割，例如：

2009年四川卷文5题；

（19）逻辑推理，例如：

2014年全国1卷文14理14题；、

（20）算术-几何平均数，例如：

2010年湖北卷理15题

突出理性思维　弘扬数学文化——数学文化在高考试题中的渗透

摘要：

数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分，其内涵是一种理性思维方法在实践过程中不断探索、形成的数学史，数学精神及其应用。

高考试题主要从数学史、数学精神、数学应用三个方面渗透数学文化。

通过这种渗透，有效促进学生理性思维的发展。

　　关键词：

理性思维；数学文化；高考；数学应用

　　1

　　数学文化的内涵

　　近些年来，人们对数学的内在价值和认识不断 突破发展，对由此产生的数学文化研究更是得到了国内外数学家、教育家的关注。

李大潜院士曾提出：

“数学是一种先进的文化，是人类文明的重要基础。

它的产生和发展在人类文明的进程中起着重要的推动作用，占有举足轻重的地位。

”课程标准中也提出要了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观，提倡体现数学的文化价值。

　　数学文化是数学史、数学与文化学、社会学的 交叉学科。

关于数学文化概念界定的文章较多，黄秦安认为数学文化可以表述为以数学科学为核心，以数学的思想、精神、方法、内容等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有特定功能的动态系统，其基本要素是数学及与数学有关的各种文化对象。

郑毓信等对数学文化的定义还有另外一种解释，“即一种由职业因素联系起来的特殊群体，数学共同体所特有的行为、观念和态度等。

”顾沛给出的数学文化的定义为：

“数学文化”一词的内涵，简单说，是指数学的思想、精神、方法、观点，以及它们的形成和发展；广泛些说，除上述内涵外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。

”代钦则认为“数学文化是数学知识、思想方法及其在人类活动的应用以及与数学有关的民俗习惯和信仰的总和”。

这些定义从不同方面论述了数学文化的内涵，通过比较这些不同定义，我们可以发现数学文化的最主要内涵是一种理性思维方式在实践过程中的不断探索，形成的数学史、数学精神及其应用。

　　２

　　高考试题中的数学文化

　　数学文化体现了数学的人文价值和科学价值， 在培养学生数学素养的教育中扮演着重要角色。

近年来，高考数学科试题中也开始渗透数学文化，主要体现在以下三个方面。

　　2.1 渗透中国古代数学史考查

　　数学是一门层层递进发展的学科。

重大的数 学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原先的理论。

因此数学史对学生数学素养的培养起着重要的作用。

数学史作为试题背景，主要包括数学家生平故事，数学史事件，数学名著，数学名题，数学发展的历史等。

以数学史为试题情景材料，可以引导中学生理解数学、培养学习数学的兴趣起到积极的推动作用；可以让学生感受数学家的崇高品质以及探究解决数学问题的过程；可以弘扬中国优秀传统文化，并使潜移默化增加学生的爱国主义情感。

　　例2：

我国古代数学名著《数书九章》中有“天池 盆测雨”题：

在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水。

天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸。

若盆中积水深九寸，则平地降雨量是___寸。

　　中国古代数学取得了极其辉煌的成就，出现过 刘徽、祖冲之等伟大的数学家，以及众多数学名著，其中《九章算术》便是其中的代表作。

这些中国古代数学名著是我们的丰富宝库，是灿烂悠久的中华文明的重要组成部分。

中国古代数学遵循“经世致用”，涉及的研究大多与实际生活、生产结合紧密，具有浓厚的实际背景，其体现出明显的问题式、综合性和算法化的特征。

这样设计的试题，考查中学立体几何中空间几何体部分的重要知识与算法结合在一起进行考查，既符合考生的认知水平，又可以引导考生关注中华传统文化。

　　2.2渗透数学精神

　　数学是学习、培养理性思维的一个主要途径。

 数学精神其内涵是人们在依靠思维能力对感性材料进行一系列抽象、概括、分析和综合，形成概念、判断或推理的认识过程中反映出的，重视理性认识活动，以寻找事物的本质、规律及内部联系的精神。

它表现为一种信念，表现为对真理的追求，表现为一种基于事实的，正确合乎逻辑的推理形式。

在试题中渗透数学精神，可以从以下几个方面做起：

①体现反思性；②体现探究性；③体现独立思考。

　　例3：

（Ⅰ）正四棱锥的体积，求正四棱锥的表面 积的最小值；

　　（Ⅱ）一般地，设正 n 棱锥的体积 V为定值，试给 出不依赖于n的一个充分必要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值。

　　本题含有两个小问，都是求表面积的最小值。

 在第（Ⅰ）问中，给出的几何图形是具体的：

正四棱锥，所给的体积也是一个固定值，在这样的背景条件下，让考生求四棱锥的表面积，试题所给的内容知识是学生常见的。

第（Ⅱ）问则是在第（Ⅰ）问的前提下，更进一步，给出了正n棱锥这样一般几何图形，这样考生思考起来时，不大利于直观地画出几何图形进行思考。

但是通过与第（Ⅰ）问进行比较可以发现，学生可以通过类比方法解决问题。

在解题的过程中，学生会发现解题的思路是伴随着反思的，首先就一个特殊情况进行解题（第（Ⅰ）问），然后我们就一类普遍的情况进行研究（第（Ⅱ）问）。

当对普遍情况进行研究时，则需要我们对特殊情况的解题进行分析和反思。

通过这样的思维活动，也正好体现了数学的一般发展过程：

从特殊到一般。

　　试题以“不可到达两点”的距离测量为素材，要 求考生对解题策略、方法进行探究。

题目没有像传统的三角测量题目一样给出测量的方法和测量到的数值，要求考生用公式进行计算，而是给出了飞机航测可以测量的基本数据，为考生创设一个主动探究的学习环境。

要求考生对测量的要求有整体的把握和通盘的考虑，设计测量和计算的方案，然后自己确定需要测量的数据，并且可以利用这些数据和三角知识计算两点间的距离。

学生通过自主操作和合情推理提出猜想，通过演绎推理证实或证伪猜想。

　　独立思考指的是敢于冲破习惯思维的束缚打 破常规去思考问题，运用判断、归纳、演绎、比较、概括等方法辩证地讨论问题的各个影响因素，提出研究问题的新思路和方法步骤，或者提出新的观点、新的发现以及总结新的规律。

　　2.3 渗透数学应用

　　数学的发展与社会的进步有着密切的联系，这 种联系是双向的，即一方面，数学的发展依赖于社会环境，受社会经济、政治、文化等诸多因素的影响；另一方面，数学的发展又反过来对人类社会的进步起推动作用，包括对人类物质文明和精神文明两大方面的影响。

科学研究的发展和进步使得现代数学的抽象程度越来越高，数学概念与方法空前广泛地渗透到数学之外的其他学科领域和我们的生活。

在试题中渗透数学应用，可以通过设计适合的试题情境，要求学生能够利用所学数学知识分析、解决实际生活、生产中的问题。

　　（A）0.8（B）0.75

　　（C）0.6（D）0.45

　　本题以当前社会关心的空气质量问题为背景， 给出了两个实际的随机事件及其概率，引导学生分析各事件及相应概率间的相互关系。

试题的设计源于社会实际，体现了新课程内容与我们社会生活的密切相关性。

试题设计了几个事件，要求学生能分析清楚各事件间的相互关系,利用事件间的关系及相应计算公式解决概率的计算问题。

　　例7：

为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为 A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：

h）。

试验的观测结果如下：

　　服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

　　0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5

　　2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4

　　服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

　　3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4

　　1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5

　　（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果 看，哪种药的疗效更好？

　　（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图 看，哪种药的疗效更好？

　　合理安排试验以获取多个样本，并对多个样本 进行比较，以对所考查的问题作出统计结论是统计学中常见的问题，也是生产和生活中经常遇到的问题。

对两样本的比较方法有多种，在中学阶段所学的统计知识中，可以用直方图、茎叶图作出直观的比较，也可以通过计算平均数、标准差等作出初步判断，还可以用列联表的独立性检验方法作出统计推断。

本题以比较两种治疗失眠症的药的疗效为背景，设计实际问题，考查学生处理数据及运用统计知识解决问题的能力。

试题贴近生活，具有现实意义，在提高学生学习数学与统计知识的兴趣，培养学生的应用意识，提升学生解决实际问题的能力等方面有着很好的引导作用。

体现了新课程注重情感态度价值观，过程、实践与能力的教学理念。

　　３

　　思考及建议

　　数学是一门思维的学科。

数学文化在本质上 体现了文化整体育人的基本要求，也是素质教育的基本要求。

高中数学课程的总目标也明确指出：

使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。

要提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度；具有一定的数学视野，初步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值，逐步形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，从而进一步树立辩证唯物主义世界观。

在高考试题中渗透数学文化，可以适当引导中学数学教学，使得更多的教师关注数学文化，研究数学文化，将数学的本质教授给学生。

学生通过数学文化的熏陶，可以促进对健全人格的养成。

一方面，可以学到数学家不畏艰辛、不怕失败的精神；另一方面，又能学到以退为进、逐步调整的方法和策略，形成能进能退的开阔胸襟。

这正是一种文化的迁移，一种文化的教育。

　　值得我们注意的是，数学文化是数学学科的一 个有机组成部分，高考试题在渗透数学文化时，应当注意与数学知识有机结合，注重体现其理性思维的本质内涵。

可以通过创设新的情境、改变设问方式，选取适合的知识内容等多种方法渗透数学文化。

近几年来，高考数学试题作出了大胆的尝试，高考中编制的数学试题，除了要实现能力考查的要求以外，还应当注重对数学文化的渗透，特别是对中国古代传统优秀文化的渗透，从而促进学生理性思维的发展。

这应当是新时期数学科内容与能力改革考查的目标之一。

2017高考数学考纲解读及备考建议（附最全数学文化解析）

一、数学学科修订内容

1.在能力要求内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求，增加了数学文化的要求。

同时对能力要求进行了加细说明，使能力要求更加明确具体。

2.在现行考试大纲三个选考模块中删去“几何证明选讲”，其余2个选考模块的内容和范围都不变。

考生从“坐标系与参数方程”“不等式选讲”2个模块中任选1个作答。

二、修订内容解读

1.在现行考试大纲三个选考模块中删去“几何证明选讲”，其余2个选考模块的内容和范围都不变.考生从“坐标系与参数方程”“不等式选讲”2个模块中任选1个作答。

其中，这两个选修模块的分数都为10份，基本上考察的点有以下几个：

1.极坐标系与直角坐标系的坐标和方程的互化，点与线，线与圆的位置关系；

2.参数方程与普通方程的互化，圆、椭圆、直线参数方程的几何意义；

3.直线与圆锥曲线的位置关系，弦长和割线长等计算；

4.普通方程、极坐标与参数方程结合综合考查；

5.解绝对值不等式；

6.不等式证明：

比较法、综合法和分析法及柯西不等式和排序不等式；

7.不等式最值和范围。

针对数学文化，相信听到这个词大家一定会比较迷惑：

考什么？

怎样考？

首先从他的意义谈起：

（1）增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.

（2）能力要求：

经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法；在内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求.

下面从高考实例进行解析和预测：

例1：

《九章算术》为背景

近年来在全国高考数学试题中，从《九章算术》中选取与当今高中数学教学相映的题材背景．

（1）2015年高考全国卷Ⅰ

此题源于《九章算术》卷第五《商功》之[二五]，将古代文化“依垣”和现代教育元素“圆锥”结合．

（2）2015年高考全国卷Ⅱ

此题源于《九章算术》卷第一《方田》之[六]：

“又有九十一分之四十九．问约之得几何？

”“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”，后人称之为“更相减损木”．

（3）2015年高考湖北卷 

此题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之[一五]．今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何；之[一六]今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七尺．问积几何．考题将“阳马”，“鳖臑”相结合，以《选修2－1》P109例4为源进行有机整合．巧妙嫁接，精典设问，和谐优美的考题呼之即出.

例2：

课后阅读或课后习题阿波罗尼圆为背景

从2005-2013年多次涉及考题

（1）全国卷2011年16题

以此为命题背景的其他省市：

江苏：

2008年13题、2013年17题.2009-2013年湖北高考连续出现等等.

数学文化题型背景预测：

1.《九章算术》

2.数书九章

3.高等数学衔接知识

微积分：

初等数学和高等数学的桥梁，由高中向大学的知识过渡衔接.

4.课本阅读和课后习题的数学文化

必修3中：

辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术等。

。

。

以上几点都应在学习中深思和探究！

三、几点复习备考建议

1.研究“考题”、明确“考情”

高考考什么、考多难、怎样考，而高考试题是考试说明的具体体现，因此要认真研读高考考试说明，认真分析高考数学试题，不仅要明确考试的内容，更要对知识点的能力要求了然于心，找准高考数学命题的特点，把握高考数学命题的方向，让我们的复习更有针对性、有效性，有的放矢，减少盲目性，使宝贵的复习时间发挥最大的效用。

2.落实基础知识，以不变应万变

（1）回归教材

教材是高考考试内容的具体化

教材是解题能力的基本生长点

教材是知识的载体，在复习过程中，应以高考说明中要求的能力层次为依据，以考试说明所列出的知识点条目为线索，以历年高考真题为范例，对照课本中的有关知识点和内容逐条复习，以明确考试目的、能力要求和考查内容。

（2）把握常规：

“注重通性通法，淡化特殊技巧”

在复习过程中，切忌“高起点、高强度、高要求”，要清楚基础题、中档题通过训练可以达到要求、拿到分数，而高档题通过训练还不一定达到效果，题海战术也未必起效。

要重视课本、重视基础，切实落实好“四基”（基础知识、基本技能、基本数学思想和方法、基本数学活动经验）。

（3）适度训练

学数学离不开做题，高三复习更要做题，不做一定量习题是不可能学好数学的，但是要注意以下几个问题：

（1）控制难度

（2）精选例题、练习题---

在复习过程中提高阅读理解能力和解决实际问题的能力，这是高考改革的方向之一。

（3）重视纠错

不能只重视解题的数量而轻视质量，表现在做题后不问对错，错了不仅要改，还要记下来，分析造成错误的原因和启示，尤其是真题更要注意。

（4）注意总结：

题型、方法、规律等的总结。

●专题练与整体练相结合

对重点、热点问题不断强化、反复练习、落实到位，同时也要注重整体试卷在单位时间内的练习。

●讲“规范”

（1）思路规范——常规题型很快找到最优解题思路、解题方法。

（2）运算规范——准确、简洁、快速，掌握必要的运算技巧，立足一次成功。

（3）表达规范——步骤齐全（不多不少）、表达准确、推理清楚、卷面整洁。

4激发兴趣，把探究性教学进行到底

准确把握高考数学命题的特点和方向是提高复习效率的必要条件。

附录

《数学文化的概念及特征》

1.数学是一种文化

关于文化，英国人类学家爱德华·泰勒早在他的《原始文化》一书中提出了文化的定义:

“所谓文化或文明，就其广泛的民族学意义来说，即是知识、信仰、艺术、道德、法律、习俗和任何人作为一名社会成员而获得的能力和习惯在内的复杂整体。

”上述文化的定义，强调了文化的非自然性即文化对人的依赖性以及文化广泛的涵盖性。

一般来说，文化有狭义、广义之分。

狭义的文化，是指社会的意识形态以及与之相适应的制度和组织机构，即人们精神生活领域；广义的文化，则是与自然相对的概念，它是指通过人的活动对自然状态的变革而创造的成果，即一切非自然的、由人类所创造的事物或对象，是人类在社会实践中所创造的物质财富和精神财富的总和。

[7]广义的文化概念强调的是文化对人类创造活动的依赖性，而狭义的文化概念则强调文化对人的行为、态度、观念、精神等非智力因素的影响。

根据上述广义的文化概念，就可把一切非自然的事物或对象都看成文化物。

由于数学对象并非物质世界中的真实存在，而是人类抽象思维的产物、是人类文化的组成部分，数学不仅是关于数的世界、形的世界或更广阔世界的科学，数学还是一门充满人文精神的科学，因此，数学是人类的一种文化，本文称之为数学文化。

那么，什么是数学文化呢？

许多学者都有自己的见解：

最早系统提出数学文化观的学者是美国怀尔德（R.Wilder，1896—1982），他的两部经典著作《数学概念的进化》和《作为文化系统的数学》从文化生成的理论、发展理论等方面提出数学文化系统的理论。

他认为：

“数学是一个由于其内在力量与外在力量共同作用而处于不断发展和变化之中的文化系统。

”也就是说数学文化由数学传统和数学本身组成。

美国著名数学史家、数学教育家克莱因（M.Kline）认为：

“数学在人类文明中一直是一种主要的文化力量，数学是一种理性精神。

”数学是人类精神文明的硕果，它不仅闪耀着人类智慧的光芒，而且它的发展也充分体现了人类为真理而生生不息、孜孜以求的精神。

黄秦安先生认为，数学文化是超越（扩大并包含）数学科学范围的数学观念、意识、心理、历史、事件、人物和数学传播的总和。

[8]李兴怀先生在《试论数学文化与中学数学教育》中指出：

“数学文化是社会群体在各种数学活动中所创造的物质财富和精神财富的总和。

”[9]其中的物质财富指的是数学知识体系，精神财富是指数学的思想、方法和观念等人类精神方面的内容。

郑毓信、王宪昌等人在合编的《数学文化学》中提出，数学文化是一种由职业因素联系起来的特殊群体即数学共同体所特有的行为、观念和态度等，数学文化是数学共同体产生的文化效应，同时还强调数学文化并非是自生自灭的封闭系统，而是一个开放的系统。

[3]

南开大学顾沛教授在谈及数学文化的内涵时，从狭义和广义两个方面做了阐释。

他讲到，从狭义上说，数学文化即