中考数学中二次函数压轴题分类总结超经典无重复附复习资料.docx
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中考数学中二次函数压轴题分类总结超经典无重复附复习资料
中考数学专题训练二次函数压轴题
一、抛物线关于三角形面积问题
例题二次函数
的图象，其顶点坐标为M（1，
）.
（1）求出图象与
轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使
若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在
轴下方的部分沿
轴翻折，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：
当直线
与此图象有两个公共点时，
的取值范围.
练习：
1.如图．平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（－2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，线段AB交y轴与点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与O、B重合），直线EF与抛物线交与M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求
BON的面积的最大值，并求出此时点N的坐标；
2.如图，已知抛物线
交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．
（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
（2）设
（
）是直线
上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF．若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
（3）在
（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．
二、抛物线中线段长度最小问题
例题如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（－3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴，QD交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
练习：
1.如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（
，0）、（0，4），抛物线
经过B点，且顶点在直线
上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．
三、抛物线与线段和最小的问题
例题如图，已知抛物线
与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在
（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
练习：
1.如图，已知二次函数
的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）在
（2）的条件下，在x轴上找一点M，使得△APM是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
2.如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出H的坐标；
C
E
D
G
A
x
y
O
B
F
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？
并求出最大面积．
四、抛物线与等腰三角形
例题：
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？
若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
练习：
1..如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．
2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．
3.如图，已知抛物线于x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由：
（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。
五、抛物线与直角三角形
例题如图，抛物线
经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？
若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
练习：
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣
），点M是抛物线C2：
的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？
若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b，c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在
（2）的条件下：
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？
若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．
六、抛物线与四边形
例题1.如图，抛物线经过A（－1，0），B（5，0），C（0，－
）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？
若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
练习：
1.如图，在平面直角坐标系中，直线
与
轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线
经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）.
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交
轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M、F、B、P为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.
2.如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线
与二次函数的图像交于A、B两点，其中点A在y轴上.
（1）二次函数的解析式为y=；
（2）证明点
不在
（1）中所求的二次函数的图像上；
（3）若C为线段AB的中点，过C点作
轴于E点，CE与二次函数的图像交于D点.
①y轴上存在点K，使以K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是；
②二次函数的图像上是否存在点P，使得
？
若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
例1.解：
（1）A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）
（2）故P点坐标为（-2，5）或（4，5）
（3）b的取值范围为
练1.
（2）∴y=1/4x2-1/2x，
（3）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立，得出关于x的一元二次方程，当△=0时，△BON面积最大，N（3，3/4）；此时△BON面积=27/4
练2.解：
（1）所以直线AB的解析式为
；
（2）
；
（3）①当
时，
，
，
，
②当
时，
，
，
，综合①②得，当
时，
。
例二：
（1）点A（-3，0），点B（1,0）
（2）点P的坐标（4,21）、（-4,5）
（3）x=-3/2，QD最大值9/4.
二练1.
（1）
（2）
（3）
例三．
（1）a=4；
（2）
（3）
三练1、
（1）
（2）要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小；因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点；点P（2，-3）
三练2、
（1）
（2）由于CD是定长，若△CDH的周长最小，那么CH+DH的值最小，由于EF垂直平分线段BC，那么B、C关于直线EF对称，所以BD与EF的交点即为所求的H点；
例四：
（1）
（2）
（3）
练四1、
（1）y=-1/2x^2-1/2x+3；
（2）M坐标（0,0）或（3√2-3,0）
2、
（1）
（2）
（3）
3、
五．
（1）
（2）
练五1、
（1）
（2）
练五2、
（1）
（2）
（3）
例六、
（1）
（2）
（3）
练六1、
（1）抛物线的解析式为y=x^2-2x-3，点B坐标为（3，0）；
（2）直线BCy=x-3，设M（x，x-3）E（x，x^2-2x-3），ME=x-3-（x^2-2x-3）=（x-3/2）^2+9/4，ME的最大值为9/4；
（3）当ME取最大值时，M的坐标为（3/2，-3/2），F的坐标为（3/2，0），FB=3/2，抛物线的对称x=1，所以点M不在对称上，故在抛物线x轴下方不存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形。
练六2、
（1）
（2）
（3）
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