中考数学压轴题二次函数的动点问题压轴题专题练习含答案.docx

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中考数学压轴题二次函数的动点问题压轴题专题练习含答案

二次函数的动点问题压轴题专题练习

1.如图①，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），顶点C，D在第一象

限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E（4，0）出发，

沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）求正方形ABCD的边长．

（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函

数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P，Q两点的运动速度．

（3）求

（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点

P的坐标．

⎪

（4）若点P，Q保持

（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使∠OPQ=90的点P有个．

2⎛-b

4ac-b2⎫

（抛物线y=ax

+

bx+c（a≠0）的顶点坐标是ç

，．

2a4a

⎝⎭

图①图②

[解]

（1）作BF⊥y轴于F．A（0，10），B（8，4），

∴FB=8，FA=6．∴AB=10．

（2）由图②可知，点P从点A运动到点B用了10秒．又AB=10，10÷10=1．

∴P，Q两点的运动速度均为每秒1个单位．

（3）方法一：

作PG⊥y轴于G，则PG∥BF．∴GA=AP，即GA=t．

FAAB610

∴GA=3t．∴OG=10-3t．OQ=4+t，∴S=1⨯OQ⨯OG=1（t+4）⎛10-3t⎫

5522

ç5⎪

．

19

即S=-3t2+19t+20．-b=-5

⎝⎭

=19，且0≤19≤10，

105

2a2⨯⎛-3⎫33

ç10⎪

⎝⎭

∴当t=19时，S有最大值．此时GP=4t=76，OG=10-3t=31，

3

点P的坐标为⎛7631⎫．

51555

ç，⎪

⎝155⎭

方法二：

当t=5时，OG=7，OQ=9，S=1OGOQ=63．设所求函数关系式为

22

63⎧100a+10b+20=28

S=at2+bt+20．抛物线过点（10，28），⎛5，⎫，∴⎪63

ç2⎪⎨25a+5b+20=.

⎝⎭⎪⎩2

⎧a=-3，

⎪

∴

⎨

⎪b=

⎩

10

19.

5

∴S=-3t2+19t+20．105

19

-b=-5=19，且0≤19≤10，∴当t=19时，S有最大值．

2a2⨯⎛-3⎫333

ç10⎪

⎝⎭

此时GP=76，OG=31，∴点P的坐标为⎛7631⎫．

155

ç，⎪

⎝155⎭

（4）2．

2.如图①，Rt△ABC中，∠B=90，∠CAB=30．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点

B的坐标为（5，53），AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同

时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）求∠BAO的度数．

（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数

图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P的运动速度．

（3）求

（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．

（4）如果点P，Q保持

（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90的点P有几个？

请说明理由．

y

C

B

Q

P

D

OAxt

（第29题图

（第29题图②）

解:

（1）∠BAO=60．

（2）点P的运动速度为2个单位/秒．

1⎛9⎫2121

22

（3）P（10-t，3t）（0≤t≤5）S=（2t+2）（10-t）=-çt-⎪+．

⎝⎭4

∴当t=9时，S有最大值为121，此时P⎛1193⎫．

24ç2，2⎪

⎝⎭

（4）当点P沿这两边运动时，∠OPQ=90的点P有2个．

①当点P与点A重合时，∠OPQ<90，当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度，

作∠OPM=90交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，

由△OPH∽△OPM得：

OM=203=11.5，所以OQ>OM，从而∠OPQ>90．

3

所以当点P在AB边上运动时，∠OPQ=90的点P有1个．

②同理当点P在BC边上运动时，可算得OQ=12+

3

=17.8．

而构成直角时交y轴于⎛0353⎫，353=20.2>17.8，

ç3⎪3

⎝⎭

所以∠OCQ<90，从而∠OPQ=90的点P也有1个．

第29题图①

所以当点P沿这两边运动时，∠OPQ=90的点P有2个．

3.如图12，直线y=-4x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经

3

过点A、C和点B（-1,0）.

（1）求该二次函数的关系式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；

（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D

3

以每秒2个单位长度的速度沿折线

OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→

A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒时，∆ODE的面积为S.

①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

③设S0是②中函数S的最大值，那么S0=.

解：

（1）令x=0，则y=4；令y=0则x=3．∴A（3，0）．C（0，4）

∵二次函数的图象过点C（0，4），∴可设二次函数的关系式为y=ax2+bx+4

⎨0=a-b+4．

又∵该函数图象过点A（3，0）．B（-1，0）∴⎧0=9a+3b+4

⎩

解之，得a=-4，

3

b=8．

3

∴所求二次函数的关系式为y=-4x2+8x+4

33

（2）∵y=-4x2+8x+4

33

=-4（x-1）2+16

33

∴顶点M的坐标为⎛116⎫

ç，⎪

⎝3⎭

过点M作MF⊥x轴于F

∴S四边形AOCM=S△AFM+S梯形FOCM

=1⨯（3-1）⨯16+

23

1⨯⎛4+

2⎝

16⎫⨯1=10∴四边形AOCM的面积为10

⎭

（3）①不存在DE∥OC

∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时1

AC=5．

设点E的坐标为（x，y）∴

=4t-4，∴x

=12t-12∵DE∥OC，

113515

∴12t-12=3t∴t=8∵t=8>2，不满足1

5233

②根据题意得D，E两点相遇的时间为

3+4+5=24（秒）现分情况讨论如下：

3+411

2

ⅰ）当0

22

ⅱ）当1

5-（4t-4）

∴

45

，∴y2

=36-16t

5

∴S=1⨯3t⨯36-16t=-12t2+27t

22555

ⅲ）当2

24时，设点E的坐标为（x

，y），类似ⅱ可得y

=36-16t

11

设点D的坐标为（x4,y4）

3t-3

3335

∴=2，

45

∴y4

=6t-12

5

∴S=S△AOE-S△AOD

=1⨯3⨯36-16t-1⨯3⨯6t-12=-33t+72

2

③S0

52

=243

80

555

47.关于x的二次函数y=-x2+（k2-4）x+2k-2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x

轴上方．

（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；

（2）设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直于x轴于点B，再过点A

作x轴的平行线交抛物线于点D，过点D作DC垂直于x轴于点C，得到矩形ABCD

．设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；

（3）当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．

参考资料：

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是⎛-

b4ac-b2⎫

，⎪，对称轴是直线

x=-b．

2a

⎝2a

4a⎭

解：

（1）据题意得：

k2-4=0，∴k=±2．当k=2时，2k-2=2>0．当k=-2时，2k-2=-6<0．

又抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴k=2．

∴抛物线的解析式为：

y=-x2+2．

函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）

（2）解：

令-x2+2=0，得x=±．

不0

=2x，A1B1

=-x2+2，

∴l=2（AB+AD）=-2x2+4x+4．

1111

当x>时，A2D2=2x，

A2B2=-（-x+2）=x-2．

22

∴l=2（AD+AB）=2x2+4x-4．

2222

∴l关于x的函数关系是：

（第26题）

当0

l=-2x2+4x+4；当

x>时，

l=2x2+4x-4．

（3）解法一：

当0

1111

解得x=-1-（舍），或x=-1+．将x=-1+代入l=-2x2+4x+4，

得l=8

-8．当x>时，令AB=AD

，得x2-2x-2=0．

2222

解得x=1-（舍），或

x=1+．将

x=1+代入

l=2x2+4x-4，得

l=8+8．

综上，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1时正方形的周长为8-8；当

x=+1时，正方形的周长为8+8．

解法二：

当0

∴正方形的周长l=4A1D1=8x=8-8．

当x>时，同“解法一”可得x=1+．

∴正方形的周长l=4A2D2=8x=8+8．

综上，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1时正方形的周长为8-8；当

x=+1时，正方形的周长为8+8．

解法三：

点A在y轴右侧的抛物线上，∴x>0，且点A的坐标为（x，-x2+2）．令AB=AD，则-x2+2=2x．∴-x2+2=2x，①或-x2+2=-2x②

由①解得x=-1-（舍），或x=-1+；由②解得x=1-（舍），或x=1+

．

又l=8x，∴当x=-1+时l=8

-8；当x=1+时l=8

+8．

综上，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1时正方形的周长为8-8；当

x=+1时，正方形的周长为8+8．

5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB

0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点

E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

第26题图

解：

（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8

∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC

∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2

∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）

（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上

∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得

第26题图（批卷教师用图）

Error!

解得Error!

x－x

∴所求抛物线的表达式为y＝－228＋8

33

（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，

∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10

∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC

∴EF＝BE

EF8－m

AC

∴EF

AB

40－5m

即10＝8

＝4

过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB4

FG4

＝

5

440－5m

∴EF＝∴FG＝·＝8－m

∴S＝S△BCE－S△BFE＝1（8－m）×8－1（8－m）（8－m）

22

1112

＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m＋4m

222

自变量m的取值范围是0＜m＜8

（4）存在．

理由：

∵S

12＋4m

1m－4）2＋81

＝－m

2

＝－（

2

且－＜0，

2

∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8

∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）

∴△BCE为等腰三角形．

6.（14分）如图：

抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.

（1）求抛物线的解析式.

（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单

位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t

秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

（3）在

（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？

若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

（注：

抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-b）

2a

（1）解法一：

设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-4）

因为B（0，4）在抛物线上，所以4=a（0+3）（0-4）解得a=-1/3

所以抛物线解析式为y=-1（x+3）（x-4）=-1x2+1x+4

333

解法二：

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

⎧a=-1

⎧9a-3b+4=0

依题意得：

c=4且

⎩16a+4b+4=0

解得⎪3

⎪b=

⎪⎩3

所以所求的抛物线的解析式为y=-1x2+1x+4

33

（2）连接DQ，在Rt△AOB中，AB===5

所以AD=AB=5，AC=AD+CD=3+4=7，CD=AC-AD=7–5=2

因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB所以∠CQD=∠CBA。

∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽△CAB

DQ=CD即DQ=2,

DQ=10

ABCA577

所以AP=AD–DP=AD–DQ=5–10=25，t=25÷1=25

7777

所以t的值是25

7

（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小

理由：

因为抛物线的对称轴为x=-b=1

2a2

所以A（-3，0），C（4，0）两点关于直线x=1对称

2

连接AQ交直线x=1于点M，则MQ+MC的值最小

2

过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900DQ∥AB，∠BAO=∠QDE，△DQE∽△ABO

10

QE=DQ=DE即QE=7=DE

BOABAO453

所以QE=8

7

，DE=6

7

，所以OE=OD+DE=2+6

7

=20

7

，所以Q（20，8）

77

设直线AQ的解析式为y=kx+m（k≠0）

⎧208

⎧k=8

则⎪7

k+m=7由此得⎪41

24

⎪⎩-3k+m=0

⎪m=

⎩41

⎧x=1

所以直线AQ的解析式为y=8x+24联立⎪2

⎧x=1

4141

⎨

⎪y=

⎩

8x+24

4141

由此得⎪

⎪y=

⎩

2

8x+24

4141

128

（,）

241

则：

在对称轴上存在点M128），使MQ+MC的值最小。

241

7.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象的顶点为D

点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），

OB＝OC，tan∠ACO＝1．

3

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，

使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相

切，求该圆半径的长度．

（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？

求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

（1）方法一：

由已知得：

图C9（0，－3），A（－1，0）…1分

⎧a-b+c=0

⎪

图10

将A、B、C三点的坐标代入得⎨9a+3b+c=0……………………2分

⎩

⎪c=-3

⎪

⎧a=1

解得：

⎨b=-2……………………3分

⎩

⎪c=-3

所以这个二次函数的表达式为：

y=x2-2x-3……………………3分方法二：

由已知得：

C（0，－3），A（－1，0）………………………1分设该表达式为：

y=a（x+1）（x-3）……………………2分

将C点的坐标代入得：

a=1……………………3分

所以这个二次函数的表达式为：

y=x2-2x-3……………………3分

（注：

表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）方法一：

存在，F点的坐标为（2，－3）……………………4分理由：

易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：

y=-x-3

∴E点的坐标为（－3，0）……………………4分

由A、C、E、F四点的坐标得：

AE＝CF＝2，AE∥CF

∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3）……………………5分

方法二：

易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：

y=-x-3

∴E点的坐标为（－3，0）………………………4分

∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F，坐标为（2，－3）………………………5分

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），

代入抛物线的表达式，解得R=

…………6分

y

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），

则N（r+1，－r），1R

代入抛物线的表达式，解得r=-1+

2

17………7分

R

AOBx

r

r