除以小于1的数（0除外），商大于被除数：
a÷b=c当b<1时，c>a（a≠0b≠0）
除以等于1的数，商等于被除数：
a÷b=c当b=1时，c=a
0除以任何数（0除外）都得0。
（三）分数混合运算：
运算顺序和整数混合运算的运算顺序相同。
“
”叫做中括号。
一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。
（四）分数除法应用题
1、分数乘除法应用题的对比
①已知单位“1”的量用乘法。
例：
甲是乙的，乙是25，求甲是多少？
即：
甲＝乙×—→25×=15
②未知单位“1”的量用除法（或方程）。
例:
甲是乙的，甲是15，求乙是多少？
即：
甲＝乙×—→15÷＝25（建议列方程答）x＝25
2、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是“的”：
单位“1”的量×分率=分率对应量
（2）分率前是“多或少”的意思：
单位“1”的量×（1
分率）=分率对应量
3、解法：
（建议：
最好用方程解答）
（1）列方程解决实际问题的一般步骤：
①找准单位“1”的量，设为x；②找出题目中的等量关系式；
③列出方程求解；④检验作答。
（2）用算术法解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的方法（用除法）：
①找出单位“1”；②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几；
③列出除法算式，即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量
3、“已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”的实际问题的结构特征：
单位“1”是未知的，已知比较量和比较量比单位“1”多（少）几分之几，求单位“1”。
解题方法：
先找准单位“1”的量，设为x，再找出题目中的等量关系式，接着列出方程求解，最后检验作答。
4、解答“已知两个量的和（差），其中一个量是另一个量的几分之几，求这两个量”的实际问题时需要注意：
（1）题中有两个未知数，可以先选择一个设为x，把另一个未知数用含有x的式子表示，列出方程。
（2）解方程求出x后，再求另一个未知数。
（3）通过列式计算，检验两个得数的和（差）及倍数关系是否符合已知条件。
5、工程问题的解决方法：
在实际生活中，有很多像盖房子、修公路这样的问题，它们统称为“工程问题”。
工作效率╳工作时间＝工作总量工作总量÷工作时间＝工作效率
工作总量÷工作效率＝工作时间
解决这类问题的一般步骤：
一设：
设工作总量为一个具体数量或者单位“1”；
二列：
根据“工作问题÷两队的工作效率和＝工作时间”列式；
三算：
计算并检验作答。
◆画线段图：
（1）找出单位“1”的量，先画出单位“1”，标出已知和未知。
（2）分析数量关系。
（3）找等量关系。
（4）列方程。
两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图。
第四单元比
（一）比的意义：
两个数的比表示两个数相除。
1、在两个数的比中，比号（∶）前面的数叫做比的前项，比号后面的项叫做比的后项，比号相当于除号，比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。
）
◆连比如：
3：
4：
5读作：
3比4比5
2、比表示的是两个数的关系，两个数的比也可以写成分数的形式，读作几比几。
3、比和比值的联系和区别：
（求比值：
比的前项÷比的后项＝比值）
联系：
比和比值都可以用分数表示，如
既可以表示3：
5，也可以表示3：
5的比值。
区别：
（1）比表示两个数的倍比关系；比值表示一个数。
（2）比只能写成a：
b或的
形式；比值可以是分数，也可以是小数或整数。
4、比和除法、分数的联系和区别：
ɑ:
b＝ɑ÷b=
（b不为0）
名称
联系（相当于）
区别
比
前项
比号
后项（不能为0）
是一种关系
除法
被除数
除号
除数（不能为0）
是一种运算
分数
分子
分数线
分母（不能为0）
是一个数
（二）比的基本性质：
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
商不变规律：
在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
分数基本性质：
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
（三）化简比：
化简之后结果还是一个比，不是一个数。
1、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
2、方法：
（1）整数比：
用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
（2）分数比：
用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。
（3）小数比：
向右移动小数点的位置，把小数比先化成整数比，再化简。
（或者先化成分数比再化简）
◆也可以先求出比的比值，再将结果写成比的形式。
（四）按比例分配：
把一个量按一定的比分配的方法叫做按比分配。
例如：
已知甲乙的和是56，甲、乙的比3∶5，求甲、乙分别是多少？
方法一：
56÷（3+5）＝7甲：
3×7＝21乙：
5×7＝35
方法二：
甲：
56×
＝21乙：
56×＝35
例如：
已知甲是21，甲、乙的比3∶5，求乙是多少？
方法一：
21÷3＝7乙：
5×7＝35
方法二：
甲乙的和21÷
＝56乙：
56×
＝35
方法三：
甲÷乙＝
乙＝甲÷
＝21÷
＝35
（五）比在几何里的运用
（1）已知长方形的周长，长和宽的比是ａ：
ｂ。
求长和宽、面积。
长=周长÷2×
宽=周长÷2×
面积＝长×宽
（2）已知已知长方体的棱长和，长、宽、高的比是ａ：
ｂ：
ｃ。
求长、宽、高、体积
长=周长÷４×
宽=周长÷４×
高=周长÷４×
体积＝长×宽×高
（３）已知三角形三个角的比是ａ：
ｂ：
ｃ，求三个内角的度数。
三个角分别为：
180o×
180o×
180o×
（４）已知三角形的周长，三条边的长度比是ａ：
ｂ：
ｃ，求三条边的长度。
三条边分别为：
周长×
周长×
周长×
第五单元圆
（一）圆的认识
1、定义：
圆是由曲线围成的封闭图形。
2、相关概念：
（1）圆心O：
用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心。
圆心一般用字母O表示。
圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。
圆心决定圆的位置。
（2）半径r：
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
半径的长度就是圆规两个脚之间的距离。
在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。
半径决定圆的大小。
（3）直径d:
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。
直径是圆内最长的线段。
◆同圆或等圆内直径是半径的2倍：
d＝2rr＝d÷2或r＝
（4）等圆：
半径相等的圆叫做等圆，等圆通过平移可以完全重合。
（5）同心圆：
圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
3、圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的直线叫做对称轴。
◆有1条对称轴的图形：
半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角
◆有2条对称轴的图形：
长方形
◆有3条对称轴的图形：
等边三角形
◆有4条对称轴的图形：
正方形
◆有无数条对称轴的图形：
圆，圆环
4、画圆
（1）圆规两脚间的距离是圆的半径。
（2）画圆步骤：
定半径、定圆心、旋转一周。
（二）圆的周长
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。
1、圆的周长总是直径的三倍多一些。
2、圆周率：
圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率，用字母π表示。
它是一个无限不循环小数，π＝301415926535……但在实际应用中常常只取它的近似值。
即：
圆周率π＝周长÷直径≈3.14
所以,圆的周长（c）＝直径（d）×圆周率（π）
周长公式：
C＝πdd=C÷π
或C＝2πrr=C÷π÷2
3、周长的变化规律：
半径扩大多少倍，直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。
4、半圆周长＝圆周长的一半＋直径
C半圆＝πr+2r＝（π+2）r或C半圆＝
πd＋d＝（
π+1）d
（三）圆的面积：
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
1、圆面积公式的推导：
把圆分成若干（偶数）等份，剪开后拼成的图形就会接近于长方形。
分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近于一个长方形。
◆圆与拼成的长方形有如下关系：
圆的半径是r，长方形的长近似于圆周长的一半（
），长方形的宽近似于圆的半径（r）。
因为长方形的面积＝长×宽
所以圆的面积＝圆周长的一半（πr）×圆的半径（r）
S圆＝πr×r＝πr2r2=S÷π
2、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。
反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，蒙古包、篮子、盘子等做成圆形。
3、圆面积的变化的规律：
一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如：
在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。
◆两个圆：
半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。
例如：
两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9
4、一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。
（R＝r＋环的宽度．）
圆环形的面积公式：
S环=πR²－πｒ² 或S环=π（R²－ｒ²）。
圆环是从一个较大的圆中去掉一个较小的同心圆得到的。
5、圆外最小正方形的面积：
S＝4r2
圆外最小正方形的面积与圆的面积比是4：
π
圆内最大正方形的面积：
S＝2r2
圆内最大正方形的面积与圆面积比是π：
2
（四）扇形
1、定义：
圆上任意两点（如点A、B）之间的部分叫做弧（读作“弧AB”），一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
2、圆心角：
顶点在圆心的角叫做圆心角。
（在同一圆内，扇形的大小与圆心角的大小有关）
3、扇形面积S＝πr2
扇形的周长：
C＝2πr×
+2r（n表示扇形圆心角的度数）
特殊扇形的面积（90︒、180︒）：
S＝
πr2S＝
πr2
（五）圆周长与圆面积的实际应用
1、跑道：
每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。
因为两条直跑道长度相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。
所以，起跑线不同。
每相邻两个跑道相隔的距离是：
2×π×跑道的宽度
2、任意一个正方形的内切圆的直径是正方形的边长，它们的面积比是4∶π。
3、外方内圆的间隙面积＝正方形的面积－圆的面积S＝0.86r2
外圆内方的间隙面积＝圆的面积－正方形的面积S＝1.14r2
4、常用数据
π≈3.142π＝6.283π＝9.424π＝12.565π＝15.7
6π＝18.847π＝21.988π＝25.129π＝28.2610π＝31.4
12π＝3.1422π＝12.5632π＝28.2642π＝50.24
52π＝78.562π＝113.0472π＝153.8682π＝200.96
92π＝254.34102π＝314
常用平方数：
=121
=144
=169
=196
=225
5、长方形的周长＝（长+宽）×2C＝2（a+b）或C＝2a+2b
长方形的面积＝长×宽S＝ab
正方形的周长＝边长×4C＝4a
正方形的面积＝边长×边长S＝a2
平行四边形的面积＝底×高S＝ah
三角形的面积＝底×高÷2S＝ah÷2
梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2S＝（a+b）h÷2
第六单元百分数
一、百分数的意义和写法
1、百分数的意义：
表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，因此也叫百分率或百分比。
2、千分数：
表示一个数是另一个数的千分之几。
3、百分数和分数的主要联系与区别：
（1）联系：
都可以表示两个量的倍比关系。
（2）区别：
①意义不同：
百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；
分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。
②百分数的分子可以是整数，也可以是小数；
分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。
4、百分数的写法：
通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。
二、百分数和分数、小数的互化
（一）百分数与小数的互化：
1、小数化成百分数：
把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
2.百分数化成小数：
把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。
（二）百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数：
先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是100的分数，能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数：
①用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。
②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
（三）小数与分数的互化
①小数化分数：
把小数成分母是10、100、1000等的分数再化简。
②分数化小数：
分子除以分母。
（四）常见的分数与小数、百分数之间的互化
=0.5=50%
=0.2=20%
=0.625=62.5%
=0.25=25%
=0.4=40%
=0.125=12.5%
=0.75=75%
=0.6=60%
=1.375=37.5%
=0.0625=6.25%
=0.8=80%
=0.875=87.5%
=0.04=4﹪
=0.08=8﹪
=0.12=12﹪
=0.16=16﹪
三、用百分数解决问题
（一）一般应用题
1、求常见的百分率如：
达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几。
常见的百分率的计算方法：
①合格率=
②发芽率=
③出勤率=
④达标率=
⑤成活率=
⑥小麦的出粉率=
⑦命中率＝
⑧海水的含盐率=
⑨任务的完成率＝
⑩花生的出油率＝
一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率等都能达到100%，出粉率、出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。
（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。
）
2、已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的百分之几是多少的问题：
数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是“的”：
单位“1”的量×分率=分率对应量
（求一个数的百分之几是多少？
）
（2）分率前是“多或少”的意思：
单位“1”的量×（1
分率）=分率对应量
（求一个数比另一个数多或少百分之几？
）
3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。
解法：
（建议：
最好用方程解答）
（1）方程：
根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。
（2）算术（用除法）：
分率对应量÷对应分率=单位“1”的量
4、求一个数比另一个数多（或少）百分之几，实际生活中，人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。
求一个数比另一个数少百分之几或多百分之几？
两个数的相差量÷单位“1”的量×100%
或：
①求谁比谁多百分之几：
（大数÷小数–1）×100%
②求谁比谁少百分之几：
（1-小数÷大数）×100%
5、题中没有给出单位“1”的量的具体数字，我们可以假设单位“1”的量是某一个固定数，也可以假设单位“1”的量是1。
假设单位“1”的量是1，计算更简便。
在前后增、减幅度相同时，两次增减的具体数量不同，减少的具体数量要多于增加的具体的数量。
第七单元、扇形统计图
一、扇形统计图的意义：
从扇形统计图中能看出各部分数量与总数之间的关系。
在扇形统计图中，用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分比。
二、常用统计图的优点：
1、条形统计图：
可以清楚直观地看出各种数量的多少，便于比较。
2
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