离散数学第七章二元关系课后练习习题及答案.docx
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离散数学第七章二元关系课后练习习题及答案
离散数学-第七章二元关系课后练习习题及答案
第七章作业
评分要求：
1.合计100分
2.给出每小题得分（注意:
写出扣分理由）.
3.总得分在采分点1处正确设置.
1设R={|x,y∈N且x+3y=12}.【本题合计10分】
（1）求R的集合表达式（列元素法）;
（2）求domR,ranR;
（3）求R◦R;
（4）求R↾{2,3,4,6};
（5）求R[{3}];
解
（1）R={<0,4>,<3,3>,<6,2>,<9,1>,<12,0>}【2分】
（2）domR={0,3,6,9,12},ranR={0,1,2,3,4}【2分】
（3）R◦R={<3,3>,<0,4>}【2分】
（4）R↾{2,3,4,6}={<3,3>,<6,2>}【2分】
（5）R[{3}]={3}【2分】
2设R,F,G为A上的二元关系.证明:
理定律
⇔x（R◦F）y∧x（R◦G）y复合定义
⇔x（R◦F∪R◦G）y∪定义
得证
（3）∀,
∈R◦（F◦G）
⇔∃s（∈R∧∈（F◦G））◦定义
⇔∃s（∈R∧∃t（∈F∧∈G）））◦定义
⇔∃s∃t（∈R∧∈F∧∈G）辖域扩张公式
⇔∃t∃s（（∈R∧∈F）∧∈G）存在量词交换
⇔∃t（∃s（∈R∧∈F）∧∈G）辖域收缩公式
⇔∃t（∈（R◦F）∧∈G）复合定义
⇔∈（R◦F）◦G复合定义
得证
3设F={|x－y+2>0∧x－y－2<0}是实数集R上的二元关系,问F具有什么性质并说明理由.
【本题合计10分：
每种性质2分----答对得1分，正确说明理由得1分】
解F={|x－y+2>0∧x－y－2<0}={|－2自反性:
∀x∈R,∈F显然.
对称性:
∀,
∈F⇔－2∈F.
不具有反自反性:
反例<2,2>∈F
不具有反对称性:
反例<2,3>,<3,2>∈F,显然2≠3
不具有传递性:
反例<2,3.5>,<3.5,5>∈F,但<2,5>不属于F.
4设A={a,b,c},R={,},
（1）给出R的关系矩阵;
（2）说明R具有的性质（用关系矩阵的判定方法说明理由）
【本题合计12分：
第
（1）小题2分；第
（2）小题10分----答对性质得1分，说明理由得1分】
解
（1）R的关系矩阵M（R）为
011
000
000
（2）
不具有自反性:
M（R）的主对角线不是全为1
是反自反的:
M（R）的主对角线全为0
不具有对称性:
M（R）不是对称的
是反对称的:
M（R）对称的位置至多有一个1
是传递的:
M（R2）如下
000
000
000
显然满足:
如果M（R2）任意位置为1,则M（R）对应位置也为1
5设A≠ø,R⊆A×A,证明
（1）r（R）=R∪IA
（2）s（R）=R∪R-1
【本题合计12分，每小题6分----证明格式正确得2分，过程错误一步扣1分】
证明
（1）只要证明r（R）⊆R∪IA和R∪IA⊆r（R）即可
先证r（R）⊆R∪IA:
IA⊆R∪IA
⇒R∪IA自反（自反性的充要条件）
⇒r（R）⊆R∪IA（自反闭包的最小性）
再证R∪IA⊆r（R）:
R⊆r（R）∧IA⊆r（R）（自反闭包的性质及自反性的充要条件）
⇒R∪IA⊆r（R）
得证
（2）只要证明s（R）⊆R∪R-1及R∪R-1⊆s（R）即可
先证s（R）⊆R∪R-1:
（R∪R-1）-1=R∪R-1（理由如下:
∀,
∈（R∪R-1）-1
⇔∈R∪R-1（逆运算定义）
⇔∈R∨∈R-1（∪定义）
⇔∈R-1∨∈R（逆运算定义）
⇔∈R∪R-1（∪定义,∪交换律）
所以（R∪R-1）-1=R∪R-1）
⇔R∪R-1是对称的（对称性的充要条件）
⇒s（R）⊆R∪R-1（对称闭包的最小性）
再证R∪R-1⊆s（R）:
R⊆s（R）（闭包定义）∧R-1⊆s（R）（后者理由如下:
∀,
∈R-1
⇔∈R（逆运算定义）
⇒∈s（R）
⇒∈s（R）（s（R）是对称的）
所以R-1⊆s（R））
⇒R∪R-1⊆s（R）
得证
6设A={a,b,c,d},R={,,,,,},用Warshall算法求t（R）.
【本题合计8分】
解依次求出W0,W1,W2,W3,W4=t（R）【2分】
W0=M（R）=0001
1010
1001
0010
【1分】
W1=0001
1011
1001
0010
【1分】
W2=0001
1011
1001
0010
【1分】
W3=0001
1011
1001
1011
【1分】
W4=1011
1011
1011
1011
【1分】
即t（R）={,,,,,,,,,,,}.【1分】
7设R为A上的自反和传递的关系,证明R∩R-1是A上的等价关系.
【本题合计10分】
证明
自反性:
∀x∈A,
xRx∧xR-1x⇒x（R∩R-1）x【3分】
对称性:
∀x,y∈A,
x（R∩R-1）y⇔xRy∧xR-1y⇔yR-1x∧yRx⇒y（R∩R-1）x【3分】
传递性:
∀x,y,z∈A,
x（R∩R-1）y∧y（R∩R-1）z⇔xRy∧xR-1y∧yRz∧yR-1z
⇔（xRy∧yRz）∧（xR-1y∧yR-1z）⇒xRz∧xR-1z⇔x（R∩R-1）z【4分】
得证.
8设A={1,2,3,4},在A×A上定义二元关系R,
∀,∈A×A,R⇔u+y=v+x
（1）证明R是A×A上的等价关系;
（2）确定由R引起的对A×A的划分.
【本题合计10分】
解
（1）自反性:
∀∈A×A,R显然成立.【2分】
对称性:
∀,∈A×A,
R⇔x+v=y+u⇔u+y=v+x⇔R【2分】
传递性:
∀,,∈A×A,
R∧R⇔x+v=y+u∧u+t=v+s⇒x+t=y+s⇔R【2分】
因此R是A×A上的等价关系.
（2）根据R的定义,R⇔x+v=y+u⇔x－y=u－v,因此
[]R={|∈A×A∧u－v=x－y},【2分】所以R引起的划分如下:
{{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>},
{<1,2>,<2,3>,<3,4>},
{<2,1>,<3,2>,<4,3>},
{<1,3>,<2,4>},
{<3,1>,<4,2>},
{<1,4>},
{<4,1>}}【2分】
9设R,S是A={1,2,3,4}上的等价关系,其关系矩阵分别为【本题合计5分】
.
求包含R与S的最小的等价关系.
分析:
设包含R与S的最小等价关系为T，则R⊆T,S⊆T,所以R⋃S⊆T.而T是等价关系，根据等价关系的定义，T应该具有自反性、对称性和传递性。
由于R与S是等价关系，具有上述三个性质，由第四节关系运算与关系性质的关系知，R⋃S具有自反性、对称性，但不一定有传递性。
为此，需要使R⋃S有传递性。
又题目要求T是包含R⋃S的最小等价关系，所以，T应是包含R⋃S且具有传递性的最小关系，从而由传递闭包的定义，T应是R⋃S的传递闭包，即T=t（R⋃S）。
如此，只需求出MT=Mt（R⋃S）即可。
求解过程：
，
，
所以
（
指对应元素逻辑或），【2分】
故由Warshall算法，
。
【3分】
10设R是集合A上的等价关系,|A|=n,|R|=r,|A/R|=t,证明:
rt≥n2.【本题合计5分】
证设A/R={B1,B2,…,Bt},|B1|=x1,|B2|=x2,…,|Bt|=xt,显然有1≤xi≤n,xi∈N,1≤i≤t.
由于A/R是A的划分,因此
x1+x2+…+xt=n,
（1）.【1分】
根据Bi是等价类,对任意s,t∈Bi,有∈R,从而
x12+x22+…+xt2=r,
（2）【2分】
根据算术-均方根均值不等式有
代入
（1）
（2）可得rt≥n2,得证.【2分】
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