全国高中数学联赛福建赛区预赛试题扫描版含详解.docx
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全国高中数学联赛福建赛区预赛试题扫描版含详解
2020年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛
暨2020年福建省高中数学竞赛试卷
（考试时间：
2020年6月27日上午9：
00-11：
30）
一、填空题（共10小题.每小题6分，满分60分.谓直接将答案写在答题卷相应位置上）
1.己知复数三满足|z-l|=|z-i|.若为正实数，则Z
2.l2J®/（a）=3cos（o>x>0»|切<兀），K/（—）=0,/（―^）=3・且/（n）的J5
8S
小正周期大FN.则9=★★★
3.己知［x］农示不超过工的眾大整数，集合/!
={N|,7-6vo},x|2x2-3［.x）-5^0；,则ACB=★★★・
4.己知函数/（t）是泄义在代上的偶函数.X对任意实数I都有八卄12/（1-.r）成立.\\根，则"的取値范闱为★★★.
2j
5.设斤、斤为双曲线C：
二一耳=1（0・/>>0）的左、右焦点，过耳的克线/交双
"Zr
曲线C的右支F八B两点・H不•正r・只斤+2吊二0・则取曲钱C的肉心率为_★★.
6.在以凸卜八边形的顶点为顶点构成的三角形中，任取一个二角形•则所取的三角形与该
十八边形无公共边的概率为★★★.
7・如图，在止力休4BCD-&BCD中.点、E、F、G分別任棱“、上，E为“中点，2£二陛二丄.记平面EFG
D|G3与平面A^CD的交线为刊，则W线加与平面AHCf）所成角的止切值为★★★・
8.已知"、力、e>〃为正数.H«4-2（）力=c+2（W=2.则一
abed的最小tn为★★★•
9・已知实数刊満足：
芳关丁丫的实系数一元二次方程有实根的，（a-b）:
4-（ft-c）+（c-a）2匕阳'总成立，则加的最大fft为★★★,
10•仗止幣数刃为合数.f\n）^n的取小的二个止约数之和，”⑺）为〃的最大的两个止约数Z和.若&（〃）=/"），则”的所有可能值为★”
二、解答题（共5小题.毎小題20分，满分100分要求写岀解题过程，写在答题卷相应位置上）
11.己知数列満足q二I•a:
^5•兔・2二仇“—3%（fieN9）.
（I）求数死｛%｝的1M公式*
⑵设®二」一•7；是数列｛◎｝的前”项的和•求氐7；<7・叽八4
Z▼I
12.LSlWlRiC：
I（a>h>Q）的离心率为;.右他点尸到H绒x-y+20的
a2
和离为2迈.4>4分别为橢側Q的左.右序点.
（1）求tffilSiC的方程：
（2）过点F的YA.〃网点（点辂上方）.卩为/1J?
的交点.
"16.T的纵坐标为M时.求rt线/的方乩
13.如图./\AR（中.AB「山N.理ND、NO并址长分
（第13題图）
别殳GO丁点0、"•连GE并込丁点八
（“求址：
bNIGs'NDl；
⑵求iiT：
MF//AC.
14.己知儿2卜'+（“-1）—1］八>；/（〃+/"恒成立.求实数"的取值电1"・
15.将个2020x2020力恪左的毎个小力格染职白两伸颜色之・■満足以F条件：
力由渋中的任盘•个卜方•它所在的行与列的所有小方榕中.勺”斤色的小方格多于峪*同色的小力格.iiHJ：
塢色厉.力恪找中毎行■毎列期种加t色的小力格•样枚
2020年全国高中数学联赛（福建赛区）预赛
@2020年福建省高中数学竞赛试卷参考答案
（考试时间*2020年6月27日上午9,00-11：
30.満分100分）
一.填空題（共10小毎小題6分•満分60分.谓自接将答案写左題中的横线上）
1.LlWVfiriA足|一1卜|一f|・若一V为正实也龙£・
z—I
【答刻2+2i
【解笛】|li|r-l|=|r-i|tok:
旳实沛耳煽瀝和拿ttr=y+w.reR.
4-z-6555[（x-l）-xi]
则z-—-x-i4-—-A4.U—I*-（x-1）4XI4丄:
7^•
r-1r-lx^.r/-l（x-l）2♦x3
__5x_].
（7w
心壬力g恥"需古'尿厂。
’解"匕
所以，"2Q・
2.已知"k）=3cos（0Hp）<（o>O・|e|
加小正周期大『2用，则仔
【答知晋
【解答】H/（—）=0■二3•FJ—（o^q>二&爪+=•11^树♦卩二2//tr（k・meZ）・
88828
两武川筱.ft#—w=2//w-.m.AcZ・
4232
Wlh^x）的域小止川期人]得普>2”・O5VI.j池0v*2—*-令<1・—<2m-A<—.[tlm.AeZ•W2/w••Jt■1.
内此.oj=—・将a>=—代入+=（meZ）•得卩=2nvr-丄丸（meZ）•结
33812
3•Ll111[x]不境过才的笛大番教.Utm-x|x'-x-6<0
fl=（x2r:
-3[x]-5=O|,则z（r）B=
【解答】舄知八（-2・3）・/7reJ.刘[丫卜-2・・1.0.1.2・
当[才]=・2时・¥ixeB•则2十+6-5=0.ar不存在■
当[*卜-1时・若"B•刺2“・35«0.x»±l.x・1不符合娶求.*・丨符合咚求.
"i[x]=0时,若“3,则2a'・O-5=O,工=±斗°,均不符合整求.
%丫卜1时.若“乩则2H35-0.r-±2.均不符介！
5求・
x]=xeB.则2x2-6-5=0.x=x=符合绘求•x不
1J222
符合盘求・
所以.A0B
4.ui知除数/V）是定义4R1：
的偶廉数•IL对任点实ftx.部冇/（x+IW/Xl-x）成t
当丄戈<2时・/（x）=hix.nXJ-x的方«/（.O^ar-l=Od.x€|3e5|±忆则“的耽值他闌力
（第4题答题图）
【答案】（0§
【解答】知图.分别作N俩数
=/（T）与VMFT+1的图像•1C中
P（0.l）.Q（丄・0）・
a
rti羽像可知.qix6=丄25.即
05=时.两皿数图像丘"[3・5]1巾两个不同的交点所以.“的取航范皿为（（）£•
5・汝耳为贡曲线C：
（0.Z>>0）的左、右依点.过打的1•仔JU交双
曲线C的右支F/T占网点•II花•正=0.丽・2耳5=0•则銀曲线C的出心率为
【答案】平
【解WJtalhH.设阴■八则依通总冇«Fj»2/.pJJ|-3/.|/f^|・2m•阿|■加+力・
山祷疋一0・知・4杠丄”匕•所以.
〔丨旳'+|件if昭r
|[|,"；「+|,4糾、|£纠
即（（加M+八（御‘
•|〔+打）‘=（2“+2/）‘
"•・
肉心率e»~-
因此.
6.在以凸十八边形的顶心为顶白构成的••佝形中.仟取个们E.则所取的・.角形与该I八边彤无公八边的槪举为・
【解答】戏凸十八边形的顶点为顶血的：
角形个数为C；；・
对「•凸I讥边彤的任您个顶点/・亚什为厶凸边卜八形无公共边的三角形的个域点.则加形曲刃外两个頂点B、（'不能为顶点花凸卜八边形屮的两条边的刃外两个「頁点.只能定具它15个顶九中的不相邻的两个頂山•人力U-14种不同的选取方人所以•与原口
卜八边形无公人也的=角彤的人出为jx|8x（C^I4h
因”匕所求的辄率为
Jxl»x（Ci-14）
91
136
7.如图.在止方体48C0-佔GQ中•点职F、G分别在枚42•AGE为/M屮穴.竺匕加」・记半面ERbY血人印⑦的交线为加.呵门线加"厂卩面Q|43
abcd^iA角的正仞值力・
【钿＜
58
【解答】如图.&AyD.FF的交点为P•足长GF.R\
交J点Q.则PQ为TltilEFG^TllllAB’CD的交线为m・
不妨设止方体咬K为“则山出■加・1知.
DdX3
图）
AXQ=JjF=2・
住AW丄A}D.iH.则PH丄T|M|.连信0H・
就是鬥线P09半面A^C.D所成的何.
设PH-x・则AJ!
-x•由=^7"»FJ斗二2JEA、F&S2
6
x»—
7
PH
以.tanZPO//=—=・
QH58
ihTifciARCD〃Timi佔s知・立线PQ与rifciA弘5、以.r（找』丿丫血肋cd所成血的m切値为咿.
«.C知―h.c.d为il数.ll^420fr=r*2（W=2.则丄■丄；的加小们为,atnd
【答案】斗
【解苦】山条nmov,y吟弋.斫以•
丄+丄討+込丄（丄+筠如206）=L（40!
+洱鸣2「40“=
abedah2ah2ab2Vub
if1仅*1c»20
ab2!
20
所以.亠丄的/小值为兰1.
abed2
y・l!
知I实3&刖淆足：
I*r'“i千/m-0fi'丈爪时•
（a-h）+（fr—r）*♦（r-o）2iw"总成“：
•则m的赧人仃为
【答案】9
8
【解答】设“」3".）土仏-少“£厂我，英中“、/>、r为实散.半方軒加—0“实檢时•设其两根为斗、心.由韦达定理知.
bc
片4■斗■一一.斗AT.a—•
aa
丁是.
“二2"八9・宀七・沙二（|丄），+分+（J厅
auaaa
=（1+斗+x,）2+（-X,-x,—令（xt.r:
-1）2
二2（彳+斗+i）（€+®+n
"339
22x—x-■一.
448
当且仅当戈严七二一右.师“二厶二纵"0时零号成正・因此“的杲小値为？
.所以，加的
-S
9
城人值为?
X
10.设止熬敗”为合数./"）为〃的址小的=个1E约数Z40,£5）为〃的眾人的网个止
约散Z和.若矶町■厂"）•曲斤的所仃可淹值力
【答案】144
【解答】解法一：
设lEttftn満足条件.
显然卯的垠小、最人的正釣数分别为1・n.iJtp是/r的址小余因子•则"的剤第:
人的lEfJtt分别为/>、乍.
对丁F的那二小的正約数•4以下两变情形：
（1）片谢二小的F釣数为p：
・Wp:
\n,/（»）=.g（i»）»+—.
illP：
|w.力|£（刃）=”十3为P的侪敌.g（^r）-OP
乂/（n）«14p/r-I（modp）•/&）二丨（mod“）.[•处•x（n）*/"）•仃条件不符.
（2）若第二小的if钓数址某•素数g（q>p）・则/（n）=l+/F+^«l+p（mod?
）•
厂5）三（1+p,（mode/）・
illpijn.tolx（/>）=—为q的倍敌.mod?
）・j足.（UpfaO（mod
P
ill4/Aftfelt丘2・q・3・乂p=2・g=3时./（/i）=6.£5）=：
・山X（/O=/'（”）・得¥144.
经砂证n・U4符“婴求.所以.“的所冇训能血为"144.
解法二卄歼肚令数.则片的止约故部定奇数•Fti/s）Ux（m的定义知八m为奇教.m为偶数.故■不淌址条件.
凶此只祇电”足偶效的情;兄，此时丨.2肛的般小的两个正为数・".泸“的啟人的两个止约St.
md是”的弟Y小的止约数•则/（h）—l+2l
二3・：
•所以.
22
3・#=1孑〒3）»从制・孑（3M）'=3彳0（mod3）・
22
丁足.3|
小的圧约数只能足3•此时他0-6・故斗6'.即n-144.
WJt."的所仃可能値为rr-144・
11.已如散列淄足q・l・a2^5.兔*匚如…・M.（虫V）・
（1）求数列｛a」的通顶公式I
（2）设®—」_•7：
足散列他｝的厨I顶的和.求址：
7；＜4-
叭八4
【解答】⑴山“••厂也・1-丸•得5厂4.・|■如…・兔）•乂馮-q・4・0•因此.数列｛a,（-“.｝为爭比毁列•
所以•4•厂耳三43….5分
所以.心2时・a.・（％绻.…+g-ajat
=4x3「2+4x3°'+・・・+4+l=4（l-^—\l=2x3-*-|・
1-3
乂聘・丨呵.2x3—-|«|»a1.
所以.对切疋整数"a.=2xV*-1.10分
20分
15分
所以.
」（卜亠）V》.
42"-14
12.Lilli椭圖C：
4-4=1（u>6>0）的芮心半为丄.厶住点F到M找X-3+2—0的距离为2近・心鸟分别为椭凰亡的圧、右朋点.
（1）求WlWIC的方秤：
⑵过点F的玄线/交HMCJA./?
曲点（点*在x|FI.方）.m线£八的交虑.Mr的纵坐标为6的时.求f｛找/的方程.
【績答】（I）中右*山“・•（））到“线X-严2=0的曲出为2逅・知"-y匚2逅・
结f?
c>0.Wr=2•乂帥IMI的离心皋为g.快I此.“二力=4.2価・
所以.TOC的方种为—+^-«L
1612
⑵解法一：
如图.易知山线/斜率不为0.役/方柠为
*=砂・+2・
|x^my^2
illy*%,»••fj（3”厂+」）厂+12w—36=0.•‘
L—4—=I\1612
方梅①的判别式△>0・①书啊个不相等的实根-
没川旺，川几Bg.〉》虬y厂乔1丁■儿“
-36
Sm:
¥
段7".6JJ）・山人・7J"戈得.迈磐-斗.UU
/+4斗♦
“4」盹fM（炳+5，
（第12题斧题图）
山儿、3、7•共线紂.亜二2=21二2・up
f-4Xj-4
一4二過曰=6岛m-Z）.
>1>2
10分
于d
“■4）-3（f・4）二6v^3（ni4—3/w>—>-6\/3（-2m4-6・山*丄二）二6土C2m+6・一卜巴）二0
4（0.20・
所以・I"线朋方柑即厲线/方丹为y■-*2爲■即“"〉・2存・0・20分
所以.N线f方（V为x二・半，.2,UPV3a•♦-v-2^3=0.
解法三:
如图.籾丄■轴.MM（2・3）・&2・-3）・協得点7•的纵坐杯为6.不符合趣匕若/斜率存任.设/方种为y=A（x・2）・A^O.
[y^k（x-2）
山｝?
V2•得（3+4F）F-16Tx+16F-48=0.
L—+■-=1
'I1612
①的刃.别式△「576（A:
和）>0•①右两个不郴等的实根.
lg、1411I6A!
16A--4X
«川儿・.片）•8七•儿）•則斗"勺二^―p"•耐心=m7"
由人、A.卩共线ftj――=^°.即了宀炉心勺
3・^^）・七・2k（X!
-2Xx2-2）
由・2•佃♦10（工*x,）-32=-2x^7"~+IOxJ纱尸-32=0.得（f*4）-3（/7）二0・
3令4十3+4A
山此吋得.r=8・15分
所以.7（».6>/3>.血线仲方艸为」•・”（“4）・与誦列Q的方?
/—X.IIRm.W21612
&0,2血
所以.ftttAFAF?
即fl线/力軒为厂V5jt・2万.即73x4y2>5・0・20分
所以.A.G./.忙艸点共恻・
所以•ZAEG«"Ki工90°-ZG4/=90°・/GAN«9（F-ZGWV・乙MNG・ZWFG•所以.MF//AC・20分
13.
如图.在aBC屮.ABJ点只
（1）求证8△MGsUD八
（2）求illMF//AC.
11・=\Hr/八小—（）怕成匕求实数a的取｛ftiulM.
【解答】尸（n_（2"a-l）*+[+•（—讥+1了=（"“卄4”・i^g（^）=.V；4-（<|-1|X+1.
①勻-IS4S3时.方h.r24（n-l）r+l-0的判别式厶・（a-l）2-4SO.此时£（对二0忸成立./（x）+€,・0jt）・R*M>0領成立・
5分
•2）,zla>3H*|•a<-aidLx>-1时./*（.1>>0：
-avxv—1时・/<（x）<0・
/⑴4•区间（y>l“]・卜i+oc）上为愴宙如化卜“•"]上为减曲数・
"1*S-a时.g（x）■x;4（a-1）.r41■x（x4a）fI-x>0./（x）^r>0jJt工.
%l4jr>-aUtf/GO的最小值为/（-l>=（3-a）e•
由/（jc）・#20加城屯知.（3-a）c'+e‘20・a因此.”“sd.io分
-o时,/*（a>>0：
-1”间（n],卜“片8）上为埔函敢A:
[-i.-a]1:
为磁常敌.
*1tS-I时.g（x）»x3*（a-1）x-Fl>（<71）r>0•f（x）^e2>0成J・
当27时./⑴的最小值为/（-a）.
由丿（“♦I*15分
设片（x）M（*+1）er>e:
•则¥（r）=-xe*.r<-I时・/f（x）>0.
所以.h（对在（y,_1）上为增瞒数・
ZM-2）0.丁足A（x）iO/t（-oo.-l）h的炉集为卜2.-1）.
惻此.a<-\时./（p）+，・（xW+/20・的解集为卜2.-1）.
综合①.②.③得-25“'+3・
所以.“的取徂他也为卜2•八3].20分
15.将•个2020x2020方怡农的阿个小方恪染黑、门曲种帧色之一•満圮以卜条件：
H格衣中的仟总-个小力格A•它所布的fj与列的所有小方格中•与*并色的小方格多十与A同色的小方格.i£i»：
染色氐力格友中每仏每列两种颜色的小方格样多.
【证明】対熬格与门恪分别h记-1和1.
ill条汁知.为+J-4•勺Q"异号・5分
所以.叫匕+f,—a.）M—I•
乂<=E因此％匕“）SO.匕“）"•10分
j・i
AMKOOJ•池MOIttXih»
对任盘八丿（IV八；<2020）.设和为―第丿列k»（Z和为第Hj与那丿列交义格中的数为叫.则位十第f行或第/列I:
的全部数之和为・
另一方面.£工以—）二弘£%+匕龙叫犬>*匕：
20・15分
»•!
/•!
/•!
<•!
/-I/••
所以•）=£彳+£宀。
・
<-|/-I/-If-i
Wit.对仟意的八J.均冇yo・/广0・
所以.険每列中的脚种麒色的小方格一样名・20分
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