A．{0,1,2}
B．{0,1}
C．{0}
D．{1}
2．设复数z满足（1+i）z=2，则复平面内z表示的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知向量a=（1,2），b=（x2+1,-x），则“x=1”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
⎧2x-y≥0
⎨
4．已知实数x,y满足约束条件⎪x+2y≤2，则z=x+3y的最大值为（）
⎩
⎪x+y≥0
14
A．B．4C．2D．0
5
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知13a3+S13=52，则S9=（）A．9B．18C．27D．36
2
6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）=x3+3x，
3
b=f（log
1），c=f（
）的大小关系为（）
则a=f（22）,327
A．a>b>c
C．b>a>c
B．a>c>b
D．b>c>a
7．现有一组数据如茎叶图所示，若平均数为115，且方差达到最小，则mn的值是（）
A．27B．32C．35D．36
8．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A>0,ω>0,ϕ
<π）的部分图象如图所示，
2
若f（a+x）+f（a-x）=0，则a的最小值为（）
ππ
A．B．
126
x2y2
π5π
C．D．
312
9．已知椭圆C:
+=1的左焦点为F，点M在椭圆C上且位于第一象限，
94
O为坐标原点，若线段MF的中点N满足NF⋅NO=0，则直线MF的方程为（）
5
5
A．3x-y+3=0B．2x-y+2=0
5
5
C．x-y+=0D．x-2y+=0
10．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等
2
边体的棱长为，则该二十四等边体外接球的表面积为（）
A．4πB．6πC．8πD．12π11．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：
以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如
图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:
3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为（）
12
A．B．
99
11
C．D．
63
12．已知函数f（x）=2lnx（e-1≤x≤e2）,g（x）=mx+1，若f（x）与g（x）的图象上存在关于直线y=1对称的点，则实数m的取值范围是（）
3
A．[-e-2,e]
3
B．[-2e-2,3e]
C．[-e-3,e2]D．[-2e-3,3e2]
第II卷非选择题
二、填空题：
本大题共4小题，每题5分，共20分．
13．曲线y=ex（x2+2）在点（0,2）处的切线方程为.
14．执行如图所示的程序框图后，输出S的值为.
15．已知双曲线C:
x
2y2
-
=1（a>0,b>0）的左右焦点分别为F，F，直线l过点F交双
a2b2
122
曲线右支于P，Q两点，若PF1
=3PF2
，PQ=4PF2
，则双曲线C的离心率为.
5
16．如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，BD=，AB⊥AC，AC=2AB，
则CD的最小值为.
三、解答题：
共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分
17．（本小题满分12分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a1=2，且a1,a2,a4成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
11
（2）记bn=+a，求数列{bn}的前n项和Tn.
Sn2n-1
如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，且AC=AA1=4，∠CAB=∠CAA1=60︒.
（1）求证:
平面AB1C⊥平面ABB1A1；
（2）求点A到平面A1B1C的距离.
19．（本小题满分12分）
已知A,B是抛物线C:
y2=4x上两点，线段AB的垂直平分线与x轴有唯一的交点P（x,0）.
0
（1）求证:
x0>2；
（2）若直线AB过抛物线C的焦点F，且AB=10，求PF.
20．（本小题满分12分）
已知函数f（x）=axlnx+2x+a+1（a∈R）.
（1）若f（x）在[1,+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若对∀x∈（1,+∞），f（x）+x2>0恒成立，求a的取值范围.
某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数x（单位:
百．人．）对年产能y（单位：
千万元）的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统计量表.
x
y
lny
1
x
n
∑（xi-x）
2
i=1
n11
∑（-）2
i=1xix
n
∑（xi-x）（yi-y）
i=1
n11
∑（x-x）（lnyi-lny）
i=1i
n
∑（xi-x）（lnyi-lny）
i=1
5.825
3.612
-0.154
1.077
328
27.87
150.80
-55.74
126.56
y=ex
（1）根据散点图判断:
y=a+blnx与b+a
哪一个适宜
作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型？
并说明理由？
（2）根据
（1）的判断结果及相关的计算数据，建立y关于x
的回归方程；
（3）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得人均年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金
（单位：
千万元）？
附注：
对于一组数据（s1,t1），（s2,t2），…，（sn,tn），其回归
n
∑（si-s）（ti-t）
n
直线t=bs+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1,a=t-bs，（说明:
f（x）=e
b+ax
∑
i=1
（si
-s）2
的导函数为f
'（x）=
-b⋅
b+a
ex）
x2
（二）选考题：
共10分，请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.
22．[选修4-4：
坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
⎧x=1+cosα
⎪
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为⎨
⎪y=
⎪⎩
1-cosα
2sinα1-cosα
（α为参数）.以O为极点，x轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=θ0（θ0∈（0,π）），将曲线C1向左平移2个单位长度得到曲线C.
OB
（1）求曲线C的普通方程和极坐标方程；
OA
（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求
1+1的取值范围.
23．[选修4-5：
不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数f（x）=x2-x+1，且m,n∈R．
（1）若m+2n=2，求f（m）+2f（n）的最小值，并求此时m,n的值；
（2）若|m-n|<1，求证:
|f（m）-f（n）|<2（|m|+1）．
2020届高三下学期第三次阶段质量检测
数学（文）答案及评分标准
一、单选题
1．B解：
M={0,1,2,3,4}，N={x|-2B.
2．D解：
因为（1+i）z=2，所以z=2=
2（1-i）
=1-i，
1+i（1+i）（1-i）
则复平面内表示z的点位于第四象限.选D．
3．C解：
∵a⊥b⇔x2+1-2x=0⇔x=1，
∴“x=1”是“a⊥b”的充要条件.故选：
C.
⎧2x-y≥0
4．A解：
如图，作出可行域，由⎨
⎛24⎫
得A,，
55
⎝⎭
⎩x+2y≤2ç⎪
当直线l:
x+3y=0平移至经过点A（2,4）时，
55
z=x+3y取得最大值14，故选:
A.
5
13⨯（a1+a13）
13⨯2a7
5．B解：
因为S13=
==13a7所以
22
13a3+S13=13a3+13a7=52，∴a3+a7=4，
a3+a7
9（a1+a9）
9⨯2a5
∴a5==2，∴S9===9a5=9⨯2=18，故选：
B
222
6．C解：
函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴b=f（log
1）=f（-3）=f（3），
327
3
2
0<2<22=2
<3，
当x≥0，f'（x）=3x2+3>0恒成立，
∴f（x）=x3+3x在[0,+∞）上单调递增，
2
13
∴f（log3）>f（22）>f（
27
），即b>a>c.故选：
C.
7．D解：
数据的平均数为
1⨯（6+4+9+9+m+n+2+1+5+2+200+660+240）=115，
10
∴m+n=12，要使方差最小，
2
则（110+m-115）2+（110+n-115）2=（m-5）2+（n-5）2≥（m-5+n-5）
2
=2，
ϕ
<π2
当且仅当m-5=n-5，即m=n=6时取等号，此时方差最小，mn=36.故选：
D．8．A解：
由图象易知A=2，f（0）=1，即2sinϕ=1，
，∴ϕ=π，
6
11ππ
由图可知⋅ω+=2kπ（k∈N*），
126
∴ω=24k-2，
⎧11π
⎪
T>
⎪12
⎨
，又T=2π（ω>0），∴18<ω<24，
11⎪3T<11πω
⎪⎩412
1111
∴由k=1得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+π），
6
f（a+x
）+f（a-x）=0，∴f（x）关于点（a,0）对称，
πkππ
即有2a+=kπ，a=-，k∈Z，
6
∴a的最小值为π
12
212
，故选：
A.
9．D解：
设椭圆C的右焦点为F1，M（x,y）（x>0,y>0），
NF⋅NO=0
，∴NF⊥NO，
N,O
5
分别是MF和FF1的中点，
5
∴MF⊥MF1，由已知可得F（-
0），F1（
0），
5
∴（x+
y）⋅（x-
y）=0，即x2+y2=5，
5
⎧x2
⎪
y2
35
45
+=1
由⎨94
⎩
⎪x2+y2=5
得M（,），
55
45
MF
∴k=5=1，
5
35+2
5
5
5
∴直线MF的方程为y=1（x+
2
），即x-2y+=0.故选：
D.
2
10．C解：
由已知根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为，
2
2
侧棱长为2的正四棱柱的外接球，
2
∴（2R）2=（
）2+（
）2+22,∴R=,
2
∴该二十四等边体的外接球的表面积S=4πR2=4π⨯（）2=8π.故选：
C.
11．A解：
设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a，
22
则小勒洛三角形的面积S
=3⨯πa
-2⨯
3a2=（π-
3）a，
1642
因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:
3，
（π-3）（3a）2
9（π-3）a2
所以大勒洛三角形的面积S2==，
22
若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率P=S1=1．
故选A．
12．B解：
g（x）=mx+1关于直线y=1对称的直线为y=h（x）=1-mx，
∴直线y=1-mx与y=2lnx在[1，e2]上有交点．
e
作出y=1-mx与y=2lnx的函数图象，如图所示：
若直线y=1-mx经过点（1，-2），
e
S29
则m=3e，
若直线y=1-mx与y=2lnx相切，
设切点为（x,y）．
⎧⎧3
⎪y=1-mx
⎨
则⎪y=2lnx
⎪
⎪x=e2
⎨
，解得⎪y=3．
-
⎪3
⎪2=-m
⎩x
⎪⎩m=-2e2
-3
2
m3e
∴-2e
f'（x）=
二、填空题
．故选B．
13．y=2x+2
解：
令f（x）=ex（x2+2），
ex（x2+2x+2），所以f'（0）=2，
又f（0）=2，∴所求切线方程为y-2=2x，即y=2x+2.
故答案为：
y=2x+2.
+2n=2（1-2）
1-2
n
14．126解：
由图可知S=2+22+=2n+1-2，
S≥63
10
，∴S=126.故答案为：
126
15．
2
解：
设PF2
=m，则PF1
=3m，PQ=4m，
∴QF2
⎧⎪PF1-PF2
=3m，由双曲线的定义，得⎨
=2m=2a
⇒⎧QF1
=5a
，
⎨
11
则此时满足PF2+PQ2=QF2，
⎪⎩QF1-QF2
=QF1-3m=2a
⎩m=a
10
10
∴∆PQF1是直角三角形，且∠QPF1=90︒，
222
222
∴PF1
+
PF2
=F1F2
⇒（3a）+a
=（2c）
，得e=.故答案为：
.
22
5
16．
解：
设∠ADB=θ，在∆ABD中，
由正弦定理得
AB=BD，即
AB
sinθ
sinθ
=5
sin∠BAD
sin∠BAD
⇒AB⋅sin∠BAD=
5
sinθ，由余弦定理得
5
AB2=AD2+BD2-2⋅AD⋅BD⋅cosθ=6-2
∵AB⊥AC，∴∠BAD=π+∠DAC，
2
cosθ，
在∆ACD中，由余弦定理得
CD2=AD2+AC2-2AD⋅ACcos∠DAC=1+4AB2-4ABsin∠BAD
5
=25-8
cosθ-4
sinθ
5
=25-20sin（θ+ϕ），
5
5
∴当sin（θ+ϕ）=1时，CDmin=.故答案为：
三、解答题
17．解：
（1）
a1=2
2
a1,a2,a4成等比数列，∴a2=a1⋅a4，，
∴（2+d）2=2（2+3d），解得d=2或d=0（舍去），…………………2分
∴an=2+（n-1）⨯2=2n，………………………4分
S=n（2+2n）=n（n+1）………………6分
n2
1=1
=1-1
111
n
2n-1
（2）由
（1）得Sn（n+1）
nn+1，a
==，
2⋅2n-12n
b=1-
1+1
，………………8分
nnn+12n
+（1-
1
nn+1
1（1-1）
∴Tn
=（1-1）+（1-1）+
223
）+22n
1-1
2
=1-
1+1-
1=2-1
-1………………12分
A1B=O
n+12nn+12n
18．解：
（1）连接A1B，设AB1
，连接CO，AC=AC，∠CAB=∠CAA1，
AB=AA1，∴∆CAB≅∆CAA1，∴CB=CA1，
O
为A1B的中点，∴A1B⊥CO.………………2分
四边形ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1
又CO,AB1⊂平面AB1C，COAB1=O，
A1B⊂
∴A1B⊥平面AB1C，………………4分平面ABB1A1，
∴平面AB1C⊥平面ABB1A1.………………6分
（2）
CA=AA1=4，∠CAA1=60︒，∴CA1=4，
2
在Rt∆COA1中，又OA1=2，
2
∴CO=2
，又AO=2
，AC=4，
2
∴OA2+OC2=AC2，∴CO⊥AO，………………8分
平面AB1C⊥平面ABB1A1，平面AB1C
平面ABB1A1=AB1，
∴CO⊥平面ABB1A1，∴CO为三棱锥C-AA1B1的高，………………10分
∴V=1S
⋅CO=1⨯1⨯4⨯4⨯2
=162
C-AA1B1
3∆AA1B1
2
323
CA1=A1B1=B1C=4，∴S
∆CAB=
1⨯4⨯4⨯sin60︒=4，
3
11
2
162
43
46
11
3VC-AAB
S
3
∴点A到平面A1B1C的距离d===
∆CA1B1
.………………12分
19．解：
（1）设A（x1,y1），B（x2,y2）（x1≠x2），
P（x0,0）
在线段AB的垂直平分线线上，∴PA=PB，………………2分
2222
∴（x1-x0）
+
y1
=（x2-x0）
+
y2
………①
A（x1,y1
2
），B（x2,y2）在抛物线C上，
1
∴y2
=4x1，y2
=4x2，
代入①得（x-x）2+4x
=（x
-x）2+4x，化简得x
=x1+x2+2，………………4分
10120202
x1≥0
，x2≥0，x1≠x2，
∴x1+x2>0，∴x0>2.………………6分
（2）由已知可得直线AB斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为
y=k（x-
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