上海高考押题.docx

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上海高考押题

2014届高考数学指导试题

——高考考前冲刺的方向与策略

一、填空题：

1．已知是虚数单位，计算复数＝．1－2i．

1－1若，其中是虚数单位，则实数a的值为．2．

2．渐近线为y＝±2x且过点（2，6）的双曲线方程为．

2－1在平面直角坐标系xOy中，“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的充要条件是“实数k∈”．

3．若样本a1，a2，a3的方差是2，则样本2a1+3，2a2＋3，2a3＋3的方差是．

3－1某地区在连续7天中，新增某种流感的数据分别为4，2，1，0，0，0，0，则这组数据的方差s2=▲．

4．已知，则＝．

4－1已知角是锐角，求sin＋cos的取值范围．（1，2]

4－2若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________．．

5．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，AB，CC1的中点，给出下列3对线段所在直线：

①D1E与BG；②D1E与C1F；③A1C与C1F．

其中，是异面直线的对数共有

对．2

5－1设m，n是两条不同的直线，，，是两个不同的平面，有下列四个命题：

①∥；②m⊥；

③⊥；④m∥．

其中真命题的是（填上所有真命题的序号）．①③

6．用红、黄两种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，则“有同一个面上的三个顶点同色”的概率等于_________．．

6－1将A，B，C，D四个人平均分成两组，则“A，B两人恰好在同一组”的概率为．

7．右图是一个算法的流程图，最后输出的n＝．100．

8．设正数数列的前n项之和为，数列的前n项之和为，且，则｜c100－a100｜＝．1．

8－1设Sn表示等差数列{an}的前n项和，已知a5＝3a3，则=__________．

9．已知cos＝，coscos＝，coscoscos＝，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是．

．

9－1已知函数是定义在上的单调增函数，当时，，若，则f（5）的值等于．

10．已知f（x）＝x3－3x，过A（1，m）可作曲线y＝f（x）的三条切线，则m的取值范围是．（－3，－2）．

11．已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4围成的区域与区域D的公共部分的面积为．．

12．过圆x2＋y2＝1上一点P作圆的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，则OA＋8·OB的最小值是．．

12－1在平面直角坐标系中，设直线：

与圆：

相交于A、B两点，以OA，OB为邻边作□OAMB，若点M在圆上，则实数k＝．0．

12－2在直角坐标平面内，点A（1，2）到直线l的距离为1，且点B（4，1）到直线l的距离为2，则这样的直线l最多的条数为_________．4．

13．在□ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠DAC＝60°，点M为AB的中点，点P在BC与CD上运动（包括端点），则的取值范围是．[，1]．

13－1在正六边形ABCDEF中，AB＝1，，则x＋y的取值范围是________．

13—2已知||＝2，||＝3，||＝4，且＋＋＝0，则向量与的夹角的余弦值＝．

13－3在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D为AC中点，点E满足，则＝__________．

13－4设点O为△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则＝_____．

14．已知正数x，y满足（1＋x）（1＋2y）＝2，则4xy＋的最小值是．12．

14－1将所有3的幂，或者是若干个3的幂之和，由小到大依次排列成数列1，3，4，9，10，12，13，…，则此数列的第100项为▲．981．

二、解答题

15．已知＝（，），＝（cos，sin），＝3，求：

（1）的值；

（2）向量与的夹角θ的余弦值．

15．解

（1）||＝1，||＝1，由＝3，

得2＝9，∴．则．

则2＝，∴＝．

（2）∵，

∴cosθ＝．

15－1已知向量m＝（a，cos2x），n＝（1＋sin2x，），，记f（x）＝mn．若y＝f（x）的图象经过点（，2）．

（1）求实数a的值；

（2）设x∈[－，]，求f（x）的最大值和最小值；

（3）将y＝f（x）的图象向右平移，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝g（x）的图象，求y＝g（x）的单调递减区间．

16．已知△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，且EC，DB在平面ABC的同侧，CE＝CA＝2BD＝2．

（1）求证平面CAE⊥平面DAE；

（2）求：

点B到平面ADE的距离．

16－2在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；

（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；

（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．

17．如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路．已知AB＝120km，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．

有一辆车（称甲车）以每小时96（km）的速度往返于车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120（km）的速度从车站B开往另一个城市E，途经车站C，并在车站C也停留10分钟．已知早上8点时甲车从车站A、乙车从车站B同时开出．

（1）计算A，C两站距离，及B，C两站距离；

（2）若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C处利用停留时间交换．

（3）求10点时甲、乙两车的距离．

（参考数据：

，，，）

（1）在△ABC中，∠ACB＝60°．∵，

∴，

．

（2）甲车从车站A开到车站C约用时间为（小时）＝60（分钟），即9点到C站，至9点零10分开出．

乙车从车站B开到车站C约用时间为（小时）＝66（分钟），即9点零6分到站，9点零16分开出．

则两名旅客可在9点零6分到10分这段时间内交换到对方汽车上．

（3）10点时甲车离开C站的距离为，乙车离开C站的距离为，两车的距离等于

＝．

17－1某企业有两个生产车间分别在A，B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A，B，C中任意两点间的距离均有1km，设∠BDC＝α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．

（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；

（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？

17．

（1）在△BCD中，∵，

∴，．

则．

S＝＝．

其中≤α≤．

（2）

＝．

令＝0，得．

当时，＜0，S是α的单调减函数；

当时，＞0，S是α的单调增函数．

∴当时，S取得最小值．

此时，，

＝．（答）

18．已知椭圆C：

＝1（a＞b＞0）的右准线l的方程为x＝，长轴长为4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过定点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于P，Q（异于A1，A2）两点，设直线PA1与直线QA2相交于点M（2x0，y0）．

①试用x0，y0表示点P，Q的坐标；

②求证：

点M始终在一条定直线上．

18．解

（1）由得

∴椭圆C的方程为；

（2）A1（－2，0），A2（2，0），

方程为MA1的方程为：

，

即．代入，

得，即．

∴=，

则=．

即P（，）．

同理MA2的方程为，

即．代入，

得，即．

∴=．

则=．

即Q（，）．

∵P，Q，B三点共线，∴，即．

∴．

即．

由题意，，∴．

．

∴．则或．

若，即，则P，Q，M为同一点，不合题意．

∴，点M始终在定直线上．

18－1已知椭圆C：

＝1（a＞b＞0），直线l过点A（a，0）和B（0，b）．

（1）以AB为直径作圆M，连接MO并延长，与椭圆C的第三象限部分交于N，若直线NB是圆M的切线，求椭圆的离心率；

（2）已知三点D（4，0），E（0，3），G（4，3），若圆M与△DEG恰有一个公共点，求椭圆方程．

数列问题

19．已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为－2的等差数列；am＋1，am＋2，…，a2m是首项为，公比为的等比数列（其中m≥3，m∈N*），并对任意的n∈N*，均有an＋2m＝an成立．

（1）当m＝12时，求a2010；

（2）若a52＝，试求m的值；

（3）判断是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥2010成立？

若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．

19．解

（1）m＝12时，数列的周期为24．

∵2010＝24×83＋18，而a18是等比数列中的项，

∴a2010＝a18＝a12＋6＝．

（2）设am＋k是第一个周期中等比数列中的第k项，则am＋k＝．

∵，∴等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项．

∴a52最多是第三个周期中的项．

若a52是第一个周期中的项，则a52＝am＋7＝．

∴m＝52－7＝45；

若a52是第二个周期中的项，则a52＝a3m＋7＝．∴3m＝45，m＝15；

若a52是第三个周期中的项，则a52＝a5m＋7＝．∴5m＝45，m＝9；

综上，m＝45，或15，或9．

（3）2m是此数列的周期，

∴S128m＋3表示64个周期及等差数列的前3项之和．

∴S2m最大时，S128m＋3最大．

∵S2m＝

，

当m＝6时，S2m＝31－＝；

当m≤5时，S2m＜；

当m≤7时，S2m＜＝29＜．

∴当m＝6时，S2m取得最大值，则S128m＋3取得最大值为64×＋24＝2007．

由此可知，不存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥2010成立．

19－1已知数列的前n项和满足：

（a为常数，且）．

（1）求的通项公式；

（2）设，若数列为等比数列，求a的值；

（3）在满足条件

（2）的情形下，设，数列的前n项和为Tn．

求证：

．

解

（1）∴

当时，

，即是等比数列．∴；

（2）由

（1）知，，

若为等比数列，

则有而

故，

解得，再将代入得成立，

所以．

（3）证明：

由

（2）知，所以

，

由得

所以，从而

＜．

函数问题

20．设函数f（x）＝（其中常数a＞0，且a≠1）．

（1）当a＝10时，解关于x的方程f（x）＝m（其中常数m＞2）；

（2）若函数f（x）在（－∞，2]上的最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围．

20．解

（1）f（x）＝

①当x＜0时，f（x）＝＞3．因为m＞2．

则当2＜m≤3时，方程f（x）＝m无解；

当m＞3，由10x＝，得x＝lg．

②当x≥0时，10x≥1．由f（x）＝m得10x＋＝m，

∴（10x）2－m10x＋2＝0．

因为m＞2，判别式＝m2－8＞0，解得10x＝．

因为m＞2，所以＞＞1．

所以由10x＝，解得x＝lg．

令＝1，得m＝3．

所以当m＞3时，＝＜＝1，

当2＜m≤3时，＝＞＝1，解得x＝lg．

综上，当m＞3时，方程f（x）＝m有两解x＝lg和x＝lg；

当2＜m≤3时，方程f（x）＝m有两解x＝lg．

（2）（Ⅰ）若0＜a＜1，

当x＜0时，0＜f（x）＝＜3；

当0≤x≤2时，f（x）＝ax＋．

令t＝ax，则t∈[a2，1]，g（t）＝t＋在[a2，1]上单调递减，

所以当t＝1，即x＝0时f（x）取得最小值为3．

当t＝a2时，f（x）取得最大值为．

此时f（x）在（－∞，2]上的值域是（0，]，没有最小值．

（Ⅱ）若a＞1，

当x＜0时，f（x）＝＞3；

当0≤x≤2时f（x）＝ax＋．

令t＝ax，g（t）＝t＋，则t∈[1，a2]．