《高等数学一》第五章一元函数积分学课后习题含答案解析.docx
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《高等数学一》第五章一元函数积分学课后习题含答案解析
第五章一元函数积分学
[单选题]
1、
设函数f（x）连续，
则
=（ ）
A、xf（x）
B、af（x）
C、-xf（x）
D、-af（x）
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
本题考察积分上限函数应用.
.
[单选题]
2、
如果
是
的原函数，则另一个原函数是 （ ）
A、
B、
C、sin2x
D、cos2x
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
且
[单选题]
3、
已知
且
，则y= （ ）
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
故
故
.
[单选题]
4、
微分方程cosydy=sinxdx的通解是（）
A、sinx+cosy=C
B、cosx+siny=C
C、cosx-siny=C
D、cosy-sinx=C
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
分离变量，两端积分得siny=-cosx+C,即cosx+siny=C.
[单选题]
5、下列广义积分收敛的是（ ）.
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
6、
（ ）.
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
7、计算
（ ）.
A、e
B、0
C、1
D、e+1
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
8、
（ ）.
A、ln2
B、ln4
C、0
D、1
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
9、
下列积分中不能直接使用牛顿—莱布尼兹公式的是（ ）.
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
10、
设
是连续函数，且
，则
（ ）.
A、0
B、
C、1
D、2
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
11、
计算
（ ）.
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
12、
微分方程
的解为（ ）.
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
原方程可化为
，
即，
由公式和通解可得：
[单选题]
13、
设
，则下列结论中错误的是（ ）.
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
根据定积分的性质：
，且
都是任意常数，
[单选题]
14、
（ ）.
A、-1
B、1
C、2
D、-2
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
15、
设D是由直线
和
所围成的平面图形，其面积A =（ ）.
A、
B、0
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
.
[单选题]
16、
用换元法计算
（ ）.
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
令
[单选题]
17、若
（）
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
18、
若
（）.
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
?
[单选题]
19、
=（）.
A、0
B、1
C、2
D、5
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】被积函数是奇函数，所以在对称区间上的积分为0.
[单选题]
20、
（）.
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
21、
（ ）.
A、
B、
C、0
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
给定函数对关于t的定积分，当x求导，原式相当于常数.
.
[单选题]
22、
=（）.
A、
B、
C、0
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】被积函数是奇函数，所以在对称区间上的积分为0.
[单选题]
23、已知生产某商品x个的边际收益为30-2x，则总收益函数为（ ）
A、30-2x2
B、30-x2
C、30x-2x2
D、30x-x2
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】D
【您的答案】您未答题
【答案解析】R=
当x=0时，R=0，所以C=0，此时R=30x-x2
[单选题]
24、
无穷限积分
（ ）.
A、
B、
C、-1
D、1
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
.
[单选题]
25、积分
的值为（）
A、0
B、4
C、10
D、20
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】D
【您的答案】您未答题
【答案解析】本题用到奇函数在对称区间上的积分为0。
由于x3cos2x，x2sinx都是奇函数，所以在[-2，2]上的积分为0，
从而
[单选题]
26、
若f（x）是g（x）的一个原函数，则下列选项正确的是（ ）
A、
=g（x）+c
B、
=f（x）+c
C、
=g（x）
D、
=f（x）
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】根据原函数的定义，可以知道B符合题意.
[单选题]
27、设
，则f（x）＝（ ）．
A、x2cos（x2）
B、x2sin（x2）
C、2xcos（x2）
D、2xsin（x2）
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
因为
，所以选择C．
参见教材P122～125．（2015年4月真题）
[单选题]
28、设函数f（x）在区间[a，b]上连续，则当x在[a，b]上变化时，是
是（ ）．
A、确定的常数
B、任意常数
C、f（x）的一个原函数
D、f（x）的全体原函数
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】D
【您的答案】您未答题
【答案解析】
本题考查原函数，因此选择D．
参见教材P119～120。
（2014年10月真题）
[单选题]
29、 微分
（ ）。
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】 根据积分和导数的关系可知
。
参见教材P121。
[单选题]
30、
不定积分
（ ）.
A、secx+x
B、secx+c+C
C、tanx+x
D、tanx+x+C
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】D
【您的答案】您未答题
【答案解析】
。
参见教材P122。
[单选题]
31、函数
的微分
（ ）.
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
32、已知
是f（x）的一个原函数，则不定积分
=（ ）.
A、sinx+C
B、cosx+C
C、-sinx+C
D、-cosx+C
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
33、反常积分
=（ ）.
A、1
B、2
C、3
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
34、若
，则f（x）=（ ）.
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】根据不定积分的基本性质，
选C.参见教材P121。
[单选题]
35、定积分
（ ）.
A、－1
B、0
C、1
D、2
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】奇函数在对称区间的积分为0。
参见教材P160。
[单选题]
36、设函数
（ ）.
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
参见教材P152。
[解答题]
37、
某商品需求量Q与价格P的函数关系为Q=150-2P2，则P=6时的边际需求为_________.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】-24
【您的答案】您未答题
【答案解析】
边际需求
，当p=﹣6时，
.
[解答题]
38、
定积分
_________.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】0
【您的答案】您未答题
【答案解析】
因为被积函数
为奇函数，且积分区间关于原点对称，
故
=0.
[解答题]
39、
微分方程
的通解为__________．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
由
[解答题]
40、
若
，则f（x）=__________．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
根据题意
.
[解答题]
41、
求不定积分
．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
42、
设函数
，计算定积分
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
43、计算定积分
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
44、
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
45、
设平面图形由曲线y=1－x2（x≥0）及两坐标轴围成，
（1）求该平面图形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积；
（2）求常数a的值，使直线y=a将该平面图形分成面积相等的两部分.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
46、
生产x个某产品的边际收入为
，
求：
（1）生产x个单位时的总收入函数；
（2）该商品相应的价格.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
（1）总收入函数为
又x=0时，R=0，求出
，
故
（2）由
【您的答案】您未答题
[解答题]
47、
设
在
上具有连续的导数,a证明：
当
，有
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
证明：
因为
，
所以
【您的答案】您未答题
[解答题]
48、计算
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
49、求微分方程
的通解
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】由通解公式，通解
【您的答案】您未答题
[解答题]
50、求
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
51、在抛物线x2=2（y-1）上求一点，使抛物线在该点的切线的斜率等于-2，并计算由抛物线，切线及y轴围成的平面图形的面积
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】y’=x,切线为:
y-3=-2（x+2）
【您的答案】您未答题
[解答题]
52、
求抛物线
与它在点（2,4）处的法线l及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周生成的旋转体体积.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
故法线l的斜率为-1，法线方程为
，
故旋转体体积为
【您的答案】您未答题
[解答题]
53、求
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
54、求
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】由于被积函数为偶函数，所以
【您的答案】您未答题
[解答题]
55、计算
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
因为
【您的答案】您未答题
[解答题]
56、
求解微分方程
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
化简微分方程可得：
即将x视为y的函数，
则
，
故通解为
【您的答案】您未答题
[解答题]
57、求定积分
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
58、求曲线y=ln x在区间（2，6）内的一条切线，使得该切线与直线x=2，x=6及曲线
所围成的图形的面积最小.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
59、求不定积分
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
60、计算
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】设t=
，则x=1时，t=1，x=4时，t=2，
【您的答案】您未答题
[解答题]
61、
计算
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
令
【您的答案】您未答题
[解答题]
62、
求曲线
?
及直线y=1所围平面图形的面积A以及其绕y轴旋转所产生的旋转体的体积
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
（1）因为左边和右边是对称的，所以S=
（2）设Vy1为y=
绕y轴旋转产生的旋转体体积。
设Vy2为y=x2绕y轴旋转产生的旋转体体积。
则所求图形绕y轴旋转所产生的旋转体体积为
Vy=Vy1-Vy2=
【您的答案】您未答题
[解答题]
63、
求不定积分
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
64、
设曲线y=sinx（0≤x≤
）与x轴所围成的平面区域为D.
（1）求D的面积A；
（2）求D绕x轴一周的旋转体体积Vx．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
（1）
（2）
【您的答案】您未答题
[解答题]
65、
计算定积分I=
．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
令
原积分=
【您的答案】您未答题
[解答题]
66、
求微分方程
满足初始条件y|x=1=1的特解．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
，
，
y|x=1=1代入有
所以满足初始条件y|x=1=1的特解为
【您的答案】您未答题
[解答题]
67、求不定积分
．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
参见教材P122～125．（2015年4月真题）
[解答题]
68、计算定积分
．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
令
，
，x＝－1时，t＝0，x＝3时t＝2．
参见教材P149～151．（2015年4月真题）
[解答题]
69、求微分方程xydy＝（1＋x2）dx的通解．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
将已知的方程xydy＝（1＋x2）dx
分离变量得：
等式两边同时积分
则
（C为任意常数）
故通解为
（C为任意常数）．
参见教材P140～142．（2015年4月真题）
[解答题]
70、
设曲线
与直线x＝2及x轴、y轴所围成的平面图形为D．
（1）求D的面积A；
（2）求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
（1）由图可以看出，区域D是简单的上下结构，x的取值范围为0≤x≤2．
D的面积为：
（2）绕x轴旋转一周所得的旋转体体积：
参见教材P168～172．（2015年4月真题）
[解答题]
71、设函数f（x）满足
，且f
（1）＝2，求f（x）．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
由不定积分的性质有
，（C为任意常数）
则有
，
再由题目条件f
（1）＝2，
即
，
解得C＝－1，
则
．
参见教材P121。
（2014年4月真题）
[解答题]
72、求微分方程
的通解．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
则有
对方程两边同时积分，
（C为任意常数）
参见教材P140～142。
（2014年4月真题）
[解答题]
73、计算定积分
．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
参见教材P149～151。
（2014年4月真题）
[解答题]
74、
设D是由抛物线y＝1－x2与x轴所围成的平面区域，如图所示．求：
（1）D的面积A；
（2）D绕x轴旋转一周所得的旋转体体积Vx．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
（1）
；
（2）
【您的答案】您未答题
【答案解析】
（1）由图可以看出，区域D是简单的上下结构
D的面积为：
（2）绕x轴旋转一周所得的旋转体体积
参见教材P168～172。
（2014年4月真题）
[解答题]
75、计算定积分
．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】3ln3
【您的答案】您未答题
【答案解析】
令
，则x＝t3，
当x＝0时，t＝0；
当x＝8时，t＝2．
从而
参见教材P158～161。
（2014年4月真题）
[解答题]
76、求不定积分
．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
（C为任意常数）
【您的答案】您未答题
【答案解析】
（C为任意常数）
参见教材P122～125。
（2014年10月真题）
[解答题]
77、求微分方程
的通解．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
（C为任意常数）
【您的答案】您未答题
【答案解析】
将已知的方程
分离变量得：
等式两边同时积分
则
（C为任意常数）
故通解为
（C为任意常数）．
参见教材P140～142。
（2014年10月真题）
[解答题]
78、
设D是由曲线
与直线x＝3及两坐标轴所围成的平面区域，如图所示．
（1）求D的面积A；
（2）求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
（1）由图可以看出，区域D是简单的上下结构，x的取值范围为0≤x≤3．
D的面积为：
（2）绕x轴旋转一周所得的旋转体体积
参见教材P168～172。
（2014年10月真题）
[解答题]
79、设函数f（x）在区间[0，1]上连续，且满足
，求f（x）．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
设
（a为常数）
则有
即
解得 a＝2（e－1）
参见教材P149～151。
（2014年10月真题）
[解答题]
80、求微分方程
的通解。
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】 由
可得
，两边同时积分可得
，因此微分方程的通解为
。
参见教材P141。
[解答题]
81、计算反常积分
。
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
。
参见教材P164。
[解答题]
82、计算定积分
。
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
参见教材P138。
[解答题]
83、设
是由曲线
与直线
所围成的平面区域，如图所示.求:
（1）
的面积
；
（2）
绕
轴旋转一周所得的旋转体体积
。
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
（1）
；
（2）π
【您的答案】您未答题
【答案解析】
（1）
（2）
参见教材P170。
[解答题]
84、
设函数
，求导数
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
设
，
所以
.
参见教材P152。
[解答题]
85、
求微分方程
的通解.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
分离变量得
两边积分
得通解
参见教材P141。
[解答题]
86、
设曲线
与直线
及
轴所围成的平面图形为
.
（1）求
的面积
（2）求
饶
轴一周的旋转体体积
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
（1）
；
（2）
【您的答案】您未答题
【答案解析】
（1）
（2）
参见教材P168。
[解答题]
87、
求不定积分
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
参见教材P134。
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