第十一章第1讲数系的扩充与复数的引入.docx

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第十一章第1讲数系的扩充与复数的引入

知识点

考纲下载

复数

1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．

2．了解复数的代数表示法及其几何意义．

3．会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

算法与程序框图

1.了解算法的含义，了解算法的思想．

2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：

顺序、条件分支、循环；理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．

框图

1.了解程序框图、工序流程图（即统筹图）与结构图．

2．能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用．

3．会运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息．

合情推理与演绎推理

1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．

2．了解演绎推理的重要性；掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．

3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．

直接证明与间接证明

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．

2．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．

第1讲　数系的扩充与复数的引入

　　　　　　　　[学生用书P200]）

1．复数的有关概念

（1）复数的定义

形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．

（2）复数的分类

复数z＝a＋bi（a，b∈R）

（3）复数相等

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）．

（4）共轭复数

a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d（a，b，c，d∈R）．

（5）复数的模

向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝（r≥0，a、b∈R）．

2．复数的几何意义

（1）复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b）（a，b∈R）．

（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量．

3．复数的运算

（1）复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则

①加法：

z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i；

②减法：

z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i；

③乘法：

z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i；

④除法：

＝＝＝＋i（c＋di≠0）．

（2）复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）．

1．辨明三个易误点

（1）两个虚数不能比较大小．

（2）利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．

（3）注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．

2．复数的运算技巧

（1）设z＝a＋bi（a，b∈R），利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．

（2）在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．

3．复数代数运算中常用的几个结论

在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．

（1）（1±i）2＝±2i；＝i；＝－i；

（2）－b＋ai＝i（a＋bi）；

（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.

1.设m∈R，复数z＝m2－1＋（m＋1）i表示纯虚数，则m的值为（　　）

A．1　　　　　　　　　　　B．－1

C．±1D．0

　A　[解析]由题意得

即

所以m＝1.故选A.

2.设x，y∈R，若（x＋y）＋（y－1）i＝（2x＋3y）＋（2y＋1）i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

　D　[解析]由题意得

所以x＝4，y＝－2，

所以复数z＝4－2i位于第四象限，故选D.

3.复数的共轭复数为（　　）

A．2＋iB．2－i

C．－2＋iD．－2－i

　B　[解析]＝＝＝＝2＋i.

因为2＋i的共轭复数为2－i，故选B.

4．（2015·高考全国卷Ⅰ）设复数z满足＝i，则|z|＝（　　）

A．1B．

C．D．2

　A　[解析]由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1，故选A.

5.已知（1＋2i）z＝4＋3i，则z＝________．

[解析]因为＝＝

＝＝2－i，所以z＝2＋i.

[答案]2＋i

　复数的有关概念[学生用书P201]

[典例引领]

（1）（2016·高考全国卷乙）设（1＋2i）（a＋i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝（　　）

A．－3　　　　　　　　　　B．－2

C．2D．3

（2）若（1＋i）＋（2－3i）＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（　　）

A．3，－2B．3，2

C．3，－3D．－1，4

（3）若复数z满足z（1＋i）＝2i（i为虚数单位），则|z|＝（　　）

A．1B．2

C．D．

【解析】　

（1）（1＋2i）（a＋i）＝（a－2）＋（2a＋1）i，由已知条件，得a－2＝2a＋1，解得a＝－3.故选A.

（2）（1＋i）＋（2－3i）＝3－2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－2.

（3）z（1＋i）＝2i⇒z＝＝＝＝1＋i.

所以|z|＝＝.

【答案】　

（1）A　

（2）A　（3）C

解决复数概念问题的方法及注意事项

（1）复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可．

（2）解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部．　

[通关练习]

1．（2017·九江第一次统考）设复数z＝，则z的共轭复数为（　　）

A．－iB．＋i

C．1－3iD．1＋3i

　B　[解析]　z＝＝＝＋i.

2．（2017·郑州第一次质量预测）设i是虚数单位，若复数m＋（m∈R）是纯虚数，则m的值为（　　）

A．－3B．－1

C．1D．3

　A　[解析]依题意得m＋＝（m＋3）－i是纯虚数，于是有m＋3＝0，m＝－3.

　复数的几何意义[学生用书P202]

[典例引领]

（1）（2017·唐山模拟）复数z＝＋3i在复平面内对应的点所在的象限为（　　）

A．第一象限　　　　　　　　B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

（2）在复平面内与复数z＝所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为（　　）

A．1＋2iB．1－2i

C．－2＋iD．2＋i

（3）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1＋z2|＝（　　）

A．2B．3

C．2D．3

【解析】　

（1）z＝＋3i＝＋3i＝＋3i＝2－i＋3i＝2＋2i，故z在复平面内对应的点在第一象限，故选A.

（2）依题意得，复数z＝＝i（1－2i）＝2＋i，其对应的点的坐标是（2，1），因此点A（－2，1）对应的复数为－2＋i.

（3）由题图可知，z1＝－2－i，z2＝i，则z1＋z2＝－2，所以|z1＋z2|＝2.

【答案】　

（1）A　

（2）C　（3）A

复数的几何意义及应用

（1）复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi（a，b∈R）⇔Z（a，b）⇔.

（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．　

[通关练习]

1．（2017·长春质量检测）复数的共轭复数对应的点位于（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

　A　[解析]因为＝－i，所以其共轭复数为＋i，在第一象限．

2．（2016·高考全国卷甲）已知z＝（m＋3）＋（m－1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－3，1）B．（－1，3）

C．（1，＋∞）D．（－∞，－3）

　A　[解析]由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为（m＋3，m－1），

所以

解得－3＜m＜1，故选A.

　复数代数形式的运算（高频考点）[学生用书P202]

复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容，题型为选择题或填空题，难度很小．

高考对复数代数形式的运算的考查主要有以下三个命题角度：

（1）复数的乘法运算；

（2）复数的除法运算；

（3）利用复数相等求参数．

[典例引领]

（1）（2016·高考北京卷）复数＝（　　）

A．i　　　　　　　　　　B．1＋i

C．－iD．1－i

（2）（2016·高考全国卷丙）若z＝1＋2i，则＝（　　）

A．1B．－1

C．iD．－i

（3）已知i是虚数单位，则＋＝________．

【解析】　

（1）＝＝＝i.

（2）＝＝i.

（3）原式＝＋＝＋i6＝i1008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝1＋i2＝0.

【答案】　

（1）A　

（2）C　（3）0

复数代数形式运算问题的解题策略

（1）复数的乘法：

复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．　

（2）复数的除法：

除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．

[题点通关]

角度一　复数的乘法运算

1．已知i是虚数单位，则（2＋i）（3＋i）＝（　　）

A．5－5iB．7－5i

C．5＋5iD．7＋5i

　C　[解析]（2＋i）（3＋i）＝6＋5i＋i2＝5＋5i，故选C.

角度二　复数的除法运算

2．计算下列各式的值：

（1）；

（2）；（3）＋i3.

[解]

（1）＝＝＝2i.

（2）＝＝2－i.

（3）＋i3＝＋i3＝＋i3＝i－i＝0.

角度三　利用复数相等求参数

3．（2015·高考全国卷Ⅱ）若a为实数，且＝3＋i，则a＝（　　）

A．－4B．－3

C．3D．4

　D　[解析]因为＝3＋i，所以2＋ai＝（3＋i）（1＋i）＝2＋4i，所以a＝4，故选D.

　　　　　　　　　[学生用书P353（独立成册）]）

1．（2017·安徽皖南八校联考）复数在复平面上对应的点位于（　　）

A．第一象限　　　　　　　B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

　C　[解析]＝＝＝－－i，其在复平面上对应的点位于第三象限．

2．（2017·安徽安庆模拟）设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部相等，那么实数a的值为（　　）

A．B．－

C．3D．－3

　C　[解析]＝，由题意知2a－1＝a＋2，解得a＝3.

3．（2017·广东肇庆模拟）若复数z满足（1＋2i）z＝1－i，则|z|＝（　　）

A．B．

C．D．

　C　[解析]z＝＝⇒|z|＝.

4．（2017·福建基地综合测试）已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为（　　）

A．1＋2iB．1－2i

C．2＋iD．2－i

　D　[解析]＝（x－xi）＝1－yi，所以解得x＝2，y＝1，故选D.

5．（2017·安徽江南十校联