五年级数学思维训练圆与扇形.docx

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五年级数学思维训练圆与扇形

2021年五年级数学思维训练：

圆与扇形

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、解答题

1．已知一个扇形的圆心角为120°，半径为2，这个扇形的面积和周长各是多少？

（л取3.14）

2．已知一个扇形的面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，这个扇形的半径和周长各是多少？

（л取3.14）

3．

（1）根据图1所给的数值，求这个图形的外周长和面积．（л取3.14）

（2）如图2，有8个半径为1厘米的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．如果圆周率л取3.14，那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？

4．如图，求各图中阴影部分的面积．（图中长度单位为厘米，л取3.14）

5．如图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米．其中直角三角形竖直的直角边的长度是多少？

（л取3.14）

6．如图，在3×3的方格表中，分别以A、E为圆心，3、2为半径，画出圆心角都是90°的两段圆弧．图中阴影部分的面积是多少？

（л取3.14）

7．用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，如图所示：

裁出七个同样大小的圆铝板．问：

所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？

8．一条直线上放着一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方形I（如图）．让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，A点到达E点的位置．求A点经过的总路程的长度．（圆周率按3计算）

9．

（1）已知一个扇形的半径为2厘米，弧长为3.14，这个扇形的面积是多少？

（2）已知一个半圆形的面积是56.52平方厘米，求这个半圆形的周长．（л取3.14）

10．如图，直角三角形ABC的面积是45，分别以B、C为圆心，3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是35.58．请问：

角A是多少度？

（л取3.14）

11．图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？

12．如图中有一个等腰直角三角形ABC，一个以AB为直径的半圆，和一个以BC为半径的扇形．已知AB=BC=10厘米，那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米？

（л取3.14）

13．如图是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是4．图中阴影部分的面积是多少？

（л取3.14）

14．

（1）如图1，已知外面大圆的半径是4，求正方形以及里面小圆的面积．（答案用л表示）

（2）已知如图2中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，求图中阴影部分的面积．（答案用л表示）

15．如图中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形．请问：

两个阴影部分的面积之差是多少？

（л取3.14）

16．

（1）根据图1中给出的数值，求这个图形的外周长和面积．（л取3.14）

（2）如图2，有七根直径为5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？

（л取3.14）

17．如图，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米？

（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，л取3.14）

18．

（1）图1中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？

（л取3.14）

（2）图2中等边三角形的边长是3厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？

（л取3.14）

19．如图，边长为4的正方形中依次挖去了四个半圆．阴影部分的面积是多少？

（答案用π表示）

20．如图，直角三角形的三条边长度为6、8、10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积是多少？

（答案用л表示）

21．如图是一个半径为10厘米，中心角为135°（的扇形，D点、E是弧BC的三等分点，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？

（л取3.14）

22．平面上有7个大小相同的圆，位置如图．如果每个圆的面积都是10，那么阴影部分的面积是多少？

23．如图中阴影部分为一个空心零件的设计图，该零件由三个半圆套成，其中最大半圆的直径为12厘米，该零件的面积为多少平方厘米？

（л取3.14）

24．把一个等腰直角三角形绕直角顶点逆时针旋转90度．如果它的直角边长为10，求它的斜边扫过的面积．（л取3.14）

25．如图，在一个正方形中恰好放了四个相同的半圆，每个半圆的直径恰好都在边上，一些线段的长度如图所示，那么中间的阴影面积与四个角上的阴影面积之差是多少？

（л取3.14）

二、图形计算

26．如图，求各图形中阴影部分的面积．（图中长度单位为厘米，л取3.14）

27．求图中阴影部分的面积．（π取3.14）

28．如图，求各图中阴影部分的面积．（图中长度单位为厘米，л取3.14）

三、填空题

29．图（a）是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．让A点不动，把整个半圆逆时针转60°角，此时B点移动到B′点，见图（b），那么图中阴影部分的面积是　　平方厘米．（π=3.14）

参考答案

1．扇形的面积是4.19，周长是8.19．

【解析】

试题分析：

根据扇形的面积S=

进行计算即可；

先求出120度的圆心角占周角（360度）的几分之几，计算出扇形所在圆的周长，再求出扇形的弧长，用弧长加上两个半径就是扇形的周长，由此解答．

解：

因为r=2，n=120°

根据扇形的面积公式S=

得：

S=

≈4.19

120÷360=

2×3.14×2×

+2×2

≈4.19+4

=8.19

答：

这个扇形的面积是4.19，周长是8.19．

点评：

本题主要考查了扇形的面积和周长公式，正确理解公式是解题关键．

2．半径是6厘米；周长是18.28厘米．

【解析】

试题分析：

先求出60度的圆心角占周角（360度）的几分之几，根据扇形面积公式求出半径；计算出扇形所在圆的周长，再求出扇形的弧长，用弧长加上两个半径就是扇形的周长，由此解答．

解：

60÷360=

（1）设扇形的半径是r，则

πr2=18.84

r2=36

r=6；

答：

这个扇形的半径是6厘米．

（2）2×3.14×6×

+6×2

=6.28+12

=18.28（厘米）；

答：

这个扇形的周长是18.28厘米．

点评：

此题根据圆的周长和面积的计算方法，以及扇形的面积计算方法解决问题．

3．

（1）图形的外周长是14.28厘米和面积是15.16平方厘米．

（2）花瓣图的周长是31.4厘米．花瓣图形的面积是19.1416平方厘米．

【解析】

试题分析：

（1）根据图形可知圆的直径是2，半径是1，图形的周长是4个直径加上1个圆周；图形的面积等于中间正方形的面积、周围4个长方形的面积以及4个角上的

圆形的面积之和；据此得解．

（2）由图知，花瓣图形的周长是四个角上的四个

圆的周长，再加上四个半圆弧的长度；已知圆的半径为1厘米，据此根据圆的周长=2πr列式解答即可．

由图知，花瓣图形的面积是正方形的面积，加上四个

圆面积后，再减去四个半圆的面积；已知圆的半径为1厘米，正方形边长为4厘米，据此列式解答即可．

解：

（1）直径：

4÷2=2（厘米）

半径：

2÷2=1（厘米）

2×4+3.14×2=14.28（厘米）

2×2+4×2×1+3.14×12

=4+8+3.14

=15.16（平方厘米）

答：

这个图形的外周长是14.28厘米和面积是15.16平方厘米．

（2）3.14×2×1×

×4+3.14×1×2÷2×4

=18.84+12.56

=31.4（厘米）

42+π×12×

×4﹣π×12×

×4，

=16+3π﹣2π，

=16+π，

=19.1416（平方厘米）；

答：

这个花瓣图的周长是31.4厘米．花瓣图形的面积是19.1416平方厘米．

点评：

本题考查了组合图形的面积，求这种不规则图形的面积，一般都是把这个不规则图形的面积分割为几个规则图形的面积之和或差，然后根据规则图形的面积公式求出结果．

4．

（1）2.28平方厘米．

（2）4.56平方厘米．（3）13.965平方厘米．

【分析】

此题主要考查了组合图形的面积，解答此题的关键是把不规则图形转化为规则图形再解答．

（1）用2个半径是2厘米的

圆的面积减去正方形的面积，即可求出阴影部分的面积；

（2）用2个直径是4厘米的半圆的面积减去两个直角边均是4厘米的直角三角形的面积，即可求出阴影部分的面积；

（3）阴影部分A的面积等于空白部分C的面积，阴影部分B的面积等于空白部分D的面积，所以阴影部分A、B的面积和等于空白部分C、D的面积和，则图（3）阴影部分的面积等于半径是7厘米的

圆的面积减去直角三角形的面积．

【详解】

（1）2×

3.14×22﹣2×2

=6.28﹣4

=2.28（平方厘米）

答：

阴影部分的面积是2.28平方厘米．

（2）2×

3.14×（4÷2）2﹣4×4÷2

=12.56﹣8

=4.56（平方厘米）

答：

阴影部分的面积是4.56平方厘米．

（3）

=38.465﹣24.5

=13.965（平方厘米）

答：

阴影部分的面积是13.965平方厘米．

5．10厘米．

【解析】

试题分析：

由题意可知：

甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，则甲区域和乙区域分别加上阴影部分（公共部分），它们的面积差仍然是57平方厘米，也就是说，半圆的面积﹣直角三角形的面积=57平方厘米，于是分别利用圆和三角形的面积公式即可求解．

解：

（3.14×102÷2﹣57）×2÷（10×2）

=（157﹣57）×2÷20

=100×2÷20

=10（厘米）．

答：

直角三角形竖直的直角边的长度是10厘米．

点评：

解答此题的关键是推导出：

半圆的面积﹣直角三角形的面积=57平方厘米，于是问题得解．

6．1.075．

【解析】

试题分析：

首先求出半径为3的

圆的面积，然后求出右下角空白部分的面积，然后用边长是3的大正方形的面积求出半径为3的

圆的面积，以及右下角空白部分的面积，求出阴影部分的面积即可．

解：

3×

﹣（

）

=9﹣7.065﹣0.86

=1.075

答：

图中阴影部分的面积是1.075．

点评：

此题主要考查了圆的面积、正方形的面积公式及其应用，解答此题的关键是首先求出半径为3的

圆的面积，以及右下角空白部分的面积．

7．8平方厘米．

【解析】

试题分析：

余下的边角料的总面积=大圆的面积﹣7个小圆的面积；设这个面积为36平方厘米的圆形铝板的半径为r厘米，则这个7个小圆形的半径就是

r；根据圆的面积公式可得：

r2=

；由此即可推理解答．

解：

设这个面积为36平方厘米的圆形铝板的半径为r厘米，则这个7个小圆形的半径就是

r；

根据圆的面积公式可得：

r2=

；

所以剩下的边角料的总面积为：

36﹣7×π×（

r2）

=36﹣7π×

r2

=36﹣7π×

×

=36﹣28

=8（平方厘米）；

答：

余下的边角料的总面积是8平方厘米．

点评：

利用大圆的半径的平方为等量代换值，分别得出7个小圆的面积是解决本题的关键．

8．18.84厘米．

【解析】

试题分析：

可以分解为以上三个图形，根据图意可图1A点移动的距离是以长方形的长为半径的圆周长的

，图2A点移动的距离是以长方形的对角线为半径的圆周长的

，图3A点移动的距离是以长方形的宽为半径的圆周长的

，据此解答．

解：

（3.14×4×2+3.14×5×2+3.14×3×2）×

=（25.12+31.4+18.84）×

=75.36×

=18.84（厘米）

答：

A点走过的路程总长是18.84厘米．

点评：

本题的重点是让学生理解A点运动的轨迹是什么，再进行解答．

9．

（1）3.14平方厘米．

（2）30.84米．

【解析】

试题分析：

（1）根据扇形的面积公式S扇形=

lR即可得出答案．

（2）要求半圆形的周长，需先求得半径；已知这个半圆的面积是56.52平

方米，可根据“S半圆=πr2÷2”，求得半径，再利用半圆的周长=πr+2r=（π+2）r求得周长即可．

解：

（1）解：

S扇形=lR=

×3.14×2=3.14（平方厘米）；

答：

这个扇形的面积是3.14平方厘米．

（2）因为56.52×2÷3.14=36（平方米）

6×6=36

所以半径为：

6米

花坛周长：

3.14×6+6×2

=18.84+12

=30.84（米）；

答：

这个半圆形的周长是30.84米．

点评：

本题考查了扇形的面积的计算公式、半圆形的周长、半圆面积．解答此题要明确：

半圆形的周长=圆周长的一半+直径．

10．60°

【解析】

试题分析：

根据题意可以先求出以∠B、∠C为圆心角的两个扇形面积，已知扇形圆心角的半径为3，由此可以求出两个扇形面积占半径为3的圆面积的几分之几，又知周角是360°，根据一个数乘分数的意义，用乘法求出∠B和∠C的度数，三角形的内角和是180°，用180°减去∠B、∠C的度数即可．据此解答．

解：

45﹣35.58=9.42，

9.42÷（3.14×32）

=9.42÷28.26

=

，

180°﹣360°×

=180°﹣120°

=60°．

答：

角A是60°．

点评：

此题解答关键是求出∠B、∠C的度数，再根据三角形的内角和是180°，∠A=180°﹣∠B﹣∠C．

11．8平方厘米．

【解析】

试题分析：

此题直接求阴影部分的面积，这是一个不规则组合图形的图形，没法入手进行计算，所以可以在图中画出一些辅助线，将要求的图形转化成计算规则图形的面积．阴影部分的面积=四个圆的面积﹣四个白色部分的面积×2，图中四个白色部分的图形一样大小，只要求出图中四个白色部分的面积，然后利用圆的面积公式即可解决问题；

如上图，连接所得到的三角形是一个是一个直角边为圆的半径的直角三角形，红色部分的面积正好是白色部分的一半，红色部分的面积=圆心角为90°的扇形的面积﹣直角三角形的面积，

由此即可求得红色部分的面积，由此即可解决问题．

解：

如上图：

根据题意可得红色部分的面积为：

3.14×12×

﹣

×1×1，

=0.785﹣0.5，

=0.285（平方厘米），

四个白色部分的面积为：

0.285×2×4=2.28（平方厘米），

所以阴影部分的面积为：

3.14×12×4﹣2.28×2，

=12.56﹣4.56，

=8（平方厘米），

答：

阴影部分的面积是8平方厘米．

点评：

将不规则的阴影部分面积转化成，直角三角形，扇形以及圆的面积的计算中来，是解决本题的关键，也是解决此类问题的主要方法、思想．

12．28.5平方厘米．

【解析】

试题分析：

由题意可知：

阴影部分面积可以看成是以AB为直径的半圆面积加上以C为圆心BC为半径的扇形BCE的面积减去直角三角形ABC的面积．

解：

以AB为直径的半圆面积：

3.14×（10÷2）2÷2

=3.14×52÷2

=3.14×25÷2

=78.5÷2

=39.25（平方厘米）；

C为圆心BC为半径的扇形BCE的面积是：

3.14×102×

=3.14×100×

=314×

=39.25（平方厘米）；

等腰直角△ABC的面积是：

10×10÷2

=100÷2

=50（平方厘米）

所以整个阴影部分面积是：

39.52+39.52﹣50

=78.5﹣50

=28.5（平方厘米）

答：

图中阴影部分的面积是28.5平方厘米．

点评：

解答此题的关键是明白：

扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍，且半圆的面积加上扇形的面积减去直角三角形的面积即可．

13．7.28．

【解析】

试题分析：

通过观察，用圆的面积加上扇形面积减去三角形与半圆面积和的2倍即可．

解：

半径=4÷2=2

3.14×22+

×3.14×22﹣（

×3.14×22+4×2÷2）

=12.56+3.14﹣（6.28+4）

=15.56﹣8.28

=7.28

答：

图中阴影部分的面积是7.28．

点评：

本题的关键是找出各图形之间的面积关系，然后运用圆和三角形的面积公式进行解答即可．

14．

（1）正方形的面积为16，小圆的面积为12.56．

（2）2π﹣4．

【解析】

试题分析：

（1）连结正方形的对角线，即大圆的直径，即可求得大圆半径，正方形面积等于两个三角形的面积；内圆半径等于正方形边长的一半，即可求出内圆面积．据此解答．

（2）两弧所夹叶形部分，就是以正方形两个对角顶点为圆心、以边长为半径所作的两段圆弧圆与正方形的边围成的两个扇形扇的重叠的部分，所以，叶形部分的面积=两个扇形面积﹣正方形面积，一个扇形面积=2×2π÷4=π，正方形面积=2×2=4，进而解决问题．

解：

（1）连结正方形的对角线，即圆的直径．

正方形面积：

（4×2）×4÷2

=8×4÷2

=16

小圆的面积：

3.14×（4÷2）2

=3.14×4

=12.56

答：

正方形的面积为16，小圆的面积为12.56．

（2）S两弧所夹叶形部分面积：

2×2×2π÷4﹣2×2=2π﹣4

答：

图中阴影部分的面积是2π﹣4．

点评：

完成此题，关键在于作出辅助线，转化条件，解决问题．

15．6.485平方厘米．

【解析】

试题分析：

（1）只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．较大面积的阴影部分是图形1；小阴影部分是图形2；长方形中的不规则白色部分是图形3；

（2）图形1+3的面积等于大扇形减去小扇形；而图形2+3的面积等于矩形的面积；所以图形1+3﹣（图形2+3）=图形1﹣图形2的面积=大扇形减去小扇形，再减去长方形．

解：

π（52﹣22）﹣5×2

=

×3.14×21﹣10

=16.485﹣10

=6.485（平方厘米）

答：

两个阴影部分的面积差是6.485平方厘米．

点评：

观察图形得出左边阴影部分与长方形空白处的面积；右面阴影部分与长方形空白处的面积特点，两边相减，去掉相同的长方形空白部分，就是左右两个阴影的面积之差．

16．

（1）外周长是18.28厘米和面积是23.14平方厘米．

（2）橡皮筋的长度是45.7厘米．

【解析】

试题分析：

（1）根据图形可知圆的直径是6÷3=2，半径是1，图形的周长是6个直径加上1个圆周；图形的面积等于中间长方形的面积、周围4个长方形的面积以及4个角上的

圆形的面积之和；据此得解．

（2）7根直径5厘米的塑料管，用绳子把它们扎紧成一捆，只能是一根管子在中间，六根在周围；由下图可知：

6个类似AB的线段构成了一个边长是5毫米的正六边形；将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补，将会得到6个角的和是360°，所以BC弧所对的圆心角是60°，所以6个BC弧的长度就等于直径5厘米的圆的周长，所以橡皮筋的长度就正好等于正六边形的周长与一个塑料管周长的和，列式计算得解．

解：

（1）6÷3=2（厘米）

半径：

2÷2=1（厘米）

4×2+2×2+3.14×2=18.28（厘米）

2×4×2+2×1×2+3.14×12

=16+4+3.14

=23.14（平方厘米）

答：

这个图形的外周长是18.28厘米和面积是23.14平方厘米．

（2）5×6+5×3.14

=30+15.7

=45.7（厘米）

答：

此时橡皮筋的长度是45.7厘米．

点评：

（1）本题考查了组合图形的面积，求这种不规则图形的面积，一般都是把这个不规则图形的面积分割为几个规则图形的面积之和或差，然后根据规则图形的面积公式求出结果．

（2）关键是理解橡皮筋的长度正好等于6条线段AB的长度与6个BC弧的长度，进而列式解答即可．

17．310.232平方米．

【解析】

试题分析：

绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．如图所示：

正五边形的每个内角等于108°，每个外角等于72°，找出扇形a、b、c各半径和对应的圆心角，正五边形的边长为4，则扇形a的半径为10，扇形b的半径为6，扇形c的半径为2．求出各部分的面积，相加即可．

解：

正五边形的每个内角等于108°，每个外角等于72°，扇形a的半径为10，扇形b的半径为6，扇形c的半径为2．

3.14×[

×102+

×2+

+

×2]

=3.14×[

×100+40+7.2+1.6]

=3.14×98.8

=310.232（平方米）

答：

小狗的活动范围是310.232平方米．

点评：

关键是找出扇形a、b、c各半径和对应的圆心角，正五边形的边长为4米，则扇形a的半径为10米，扇形b的半径为6米，扇形c的半径为2米．

18．

（1）44.56平方厘米．

（2）30.56平方厘米．

【分析】

（1）根据题意和图形可知：

硬币扫过的面积是长4厘米，宽2厘米的四个长方形的面积+半径是2厘米的圆的面积，根据长方形的面积公式：

s=ab，圆的面积公式：

s=πr2，把数据代入公式解答即可．

（2）从图中可以看出圆经过的面积是环绕正三角形外面的一个带圆角的三角宽带，宽度等于圆的直径，可以在三角形的三个顶点分别作两边的垂线，这样，就把图形分割成6部分，三块长方形，三块扇形，而扇形的角可算出是120度，三块扇形合成一个半径为2厘米的圆，由此列式解答即可．

【详解】

（1）4×2×4+3.14×22

=32+12.56

=44.56（平方厘米）

答：

扫过的面积是44.56平方厘米．

（2）3块长方形的面积是：

3×2×3=18（平方厘米），

扇形的面积是：

3.14×22=3.14×4=12.56（平方厘米），

总面积是：

18+12.56=30.56（平方厘米），

答：

圆经过的面积是30.56平方厘米．

19．16﹣4π．

【分析】

如图，先看右下三角形和半圆，右下三角形部分的阴影面积为三角形面积减去半圆面积：

×4×4﹣

×π×（4÷2）2＝8﹣2π，同理求得其他部分的阴影面积，解决问题．

【详解】

如图：

右下部分的阴影为

×4×4﹣

×π×（4÷2）2＝8﹣2π

最上边三角形内阴影部分的面积为：

×4×4﹣

×π×（4×4÷8×2）＝4﹣π

剩下最左边的阴影部分的面积：

4×4×

﹣π×（4÷4）2＝4﹣π

阴影部分的面积是：

8﹣2π＋4﹣π＋4﹣π＝16﹣4π．

答：

阴影部分的面积是16﹣4π．

【点睛】

仔细观察图形，关键是半圆面积的求法，进而求得各部分阴影面积，解决问题．

20．24﹣4.5π．

【解析】

试题分析：

如图，连结OD、OA．则三角形AOB的面积+三角形AOC的面积=三角形ABC的面积，求出半圆的半径，然后用三角形ABC的面积减去半圆的面积，即为阴影部分的面积．

解：

连结OD、OA，则OB=OD=r，

所以，6×r÷2+10×r÷2=6×8÷2

6r+10r=48

6r=48

r=3

阴影面积：

6×8÷2﹣π×32÷2=24﹣4.5π

答：

图中阴影部分的面积是24﹣4.5π．

点评：

通过作辅助线，根据三角形AOB的面积+三角形AOC的面积=三角形ABC的面积，求出半圆的半径，是解答此题的关键．

21．78.5平方厘米.

【解析】

试题分析：

如图，连结AD、AE，阴影部分的面积为：

S扇形ABD+S三角形ADE+S扇形AEC﹣S三角形ABC，据此解答．

解：

如图，连结AD、AE

因为D、E是弧BC的三等分点，因此∠BAD=∠DAE=∠EAC=45°，

×2