房价问题的数学建模.docx
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房价问题的数学建模
一问题重述
房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。
我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。
请根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析；根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析。
二问题分析
住房问题关系国计民生，既是经济问题，更是影响社会稳定的重要民生问题。
近年来，随着我国经济的飞速增长，房价过快增长，且一直居高不下。
介于此种现象，通过下面的工作对以下问题进行分析及预测。
2.1问题一分析
选择北京、渭南两类城市，调查近些年房价的变化情况，并依此数据，建立典型城市合理房价的数学模型，预测未来阶段该地区的房价走势。
首先，根据网络资源，我们可以确定房地产业发展的关键是社会经济的各项指标综合决定的。
但是，要去逐一分析每一种经济因素是不可能办到的，只能抓住主要因素去着重分析。
所以我们经互联网搜索及查阅相关资料，大致得出影响房价的客观因素主要有市场因素和非市场因素。
其中，由房屋自身因素和环境因素组成的非市场因素在总影响中所占比重较小，且相对较稳定，可忽略其对房价涨落的影响；市场因素是房价的主要决定因素，其中主要包括政治因素、经济因素、行政因素和社会因素。
目前的中国，社会局势相对稳定，故政治因素以及社会因素的影响便可以忽略，而其中经济因素中的土地成本和人们的收入水平是目前的主导因素，在行政因素中主要是国家地区通过颁布法令调节税率来，达到影响房价的目的，按国家的规定营业税为商品房售价的5%，土地交易契税税率为3%，设定土地贷款年利率为5.4%相应贷款年限设为两年。
房地产商对利益的追求即利润是形成房价的一个主观原因。
在地价指数中，利润被设定为商品房售价的10%。
2.2问题二分析
通过进一步定量分析，研讨得出北京、渭南三类城市合理房价的具体措施，并预测可能对三城市经济发展产生的影响。
根据题目要求，我们要先搜集到房价调控政策出台的时间与该时间段里某地区房价的变化情况。
由这个地区在这个时间段里的房价的变化情况来分析房价调控政策在对价格的调控中所起到的作用。
因为在前面我们分析知道，房价是由诸多社会经济因素制约着的，单看政策对房价的调控起到什么作用比较片面。
例如政策对银行货款是否宽松的影响，对利率是否上调的影响，对房屋的供应量的影响，对居民购房欲望的影响等等。
但是从直观上和结合我们对本问题研究所要达到的目的上看，直接研究房产价格与新政策出台的时间关系又是最为直接的。
所以，我们将搜集到的数据与时间建立一个坐标关系，便可以很直观的从波动上看出房价的变化，从而了解到新政策的调控力度。
企业的根本目的是利润的最大化。
因而，就房地产商而言，高房价与高销售量成就的高销售额是他们所追求的终极目标。
然而，房价可由房地产商决定，但他们却决定不了销售量。
销售量无法提高，赢取利润便是空谈。
因此，确定合理的房价对于房地产来说十分必要。
因为，房价在很大程度上决定了销售量的多少。
对于普通老百姓而言，房价当然是尽可能越低越好。
（不考虑靠“炒房”谋生的人群）。
当下，房价的居高不下令许多买房者望而生畏，整个社会中降低房价的呼声越来越高。
针对政府来看，房价高，房地产业兴盛必然会带动多产业的发展与壮大，从而促进整个国家的经济发展。
但是，过高的房价又必定会引起百姓的怨言。
所以，怎样确定一个既能保持房产业的繁荣又能满足百姓的住房需求的合理房价是政府不得不考虑的问题。
综上所述，合理房价的确定不仅要参考历年房价的走势，也要将以上三个因素考虑在内。
三模型的建立与求解
3.1问题一模型的假设与符号说明
在模型中，通过对搜集得到的数据的拟合，模拟出房价与地价、居民收入以及税率和综合成本（除了土地出让金以外，开发商完成楼盘开发所支付的费用）之间的一个数学关系。
3.1.1假设
假设一、房地产产品具有一定的生产周期
假设二、房价的计算只考虑地价、居民收入以及税率和综合成本（除了土地出让金以外，开发商完成楼盘开发所支付的费用）
假设三、理想房价是仅基于成本得到的房价，不考虑供求
假设四、成本的花费包括地价（地面地价）、各种税率；且每一个周期的地价、税费率都维持不变
假设五、容积率在每个周期维持不变
假设六、需求量受到本周期的实际房价和理想房价的影响。
实际价格与理想价格的比值越大，需求量越少；反之，实际价格与理想价格的比值越小，需求量越多
假设七、供应量受到地产商预测的本周期的房价和理想房价的影响。
预测价格与理想价格的比值越大，供应量越多；反之，预测价格与理想价格的比值越小，供应量越少
3.1.2符号说明
g:
地价指数
G:
地价
h:
房价指数
H:
房价
R:
营业税
C:
综合成本
S:
利润
V:
容积率
Q:
土地交易契税税率
T:
土地贷款年利率
t:
贷款年限
x:
居民年收入
3.2问题一的模型建立与求解
3.2.1北京市房价模型的建立
通过分析我们知道以下关系，其中地价指数满足如下关系：
g=[H-R-C-S]*α*V/[1+Q+T*t]…………………………………………….
（1）
式中，α=666.67/100000；
首先，在计算地价对房价的影响时，按国家的相关规定可知，我们可以假设某年Q=H*3%，T=H*5.4%，t=2，故
（1）式中分母为一常数，设其为β，另假设A=β/α；R=H*5%；S=H*10%；V=1；由所查得的数据可知，北京地区的综合成本在2000~3000元，可先假设其为2500。
通过查得的地价与土地指数的数据，利用软件做出拟合，运用线性回归法得出二者之间的数学关系，代入
（1）式便可得出地价对房价的影响；
其次，在研究居民收入对房价的影响时，可先将地价对房价的影响关系设定为一常数，通过对查得的居民收入与房价数据进行拟合，得出二者之间的数学关系，并联合第一步以及房屋价格、土地价格和居民收入的实际查得数据，确定出常数M；
最后，房价与综合地价、居民收入以及各年间政府调控所带来的利率等的上下波动，确定出最后的房价模型。
3.2.2北京市房价模型的求解
由
（1）式g=[H1-R-C-S]*α*V/[1+Q+T*t]可得：
H1=A/V*g+S+C+R……………………………………………
（2）；
假设各变量间相互独立；
由表一数据：
表一地价—地价指数
地价指数（g）
100
100
100.6
102.5
103.8
105.2
109.4
111.6
地价（G）/元
2208
2271
2331
2384
3288
3636
3799
4285
作图拟合出图形如图1—1：
由软件分析拟合得出之间满足如下关系式：
二元线性回归方程：
G=A+B1*g+B2*g2…………………………………（3）；
式中，A=-113133,B1=2030,B2=-8.7689;
将（3）式求解得出g的表达式：
g1=[2030-（152883.68-35.02G）1/2]/17.54………………………（4）;
g2=[2030+（152883.68-35.02G）1/2]/17.54（舍去）；
因g2所得解时的G超出实际值，故将其舍去。
将（4）式代入
（2）式得：
H1=A/V*{[2030-（152883.68-35.02G）1/2]/17.54}+S+C+R..…….（5）;
由假设知，在确定的某一年份，
R=H1*5%；S=H*10%；V=1；C=2500;
代入可得：
H1={17.07*[2030-（152883.68-35.02G）1/2]/17.54+2500}/0.4……（6）;
接下来求解人均收入与房价的关系:
由表二数据：
人均收入（x）/元
11577.8
12464
13882.6
17116.5
19533.3
22417
24576
27678
房价（H2’）/元
4716
4767
4456
4747
5853
8792
11377
15000
作图拟合得出图形如图1-2：
由软件分析拟合得出之间满足如下关系式：
二元线性回归方程：
H2’=A+B1*x+B2*x2…………………………………………………………（7）;
式中，B1=-1.632;B2=6E-05;A=15860；
注：
H2=H2’+M-A（其中M为由人均收入与地价共同确定的常数）；
由式H=H1+H2经H1和H2’整合得出
…………………………………………（8）;
由表三数据：
表三各年地价、房价与人均收入
年份
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
地价（G）
2208
2271
2331
2384
3288
3636
3799
4285
房价（H）
4716
4767
4456
4747
5853
8792
11377
15000
人均收入（x）
11577.8
12464
13882.6
17116.5
19533.3
22417
24576
27678
由（8）式得
……………………………………………（9）
由表三数据得出M在不同年份的值如表四：
表四不同年份M值
年份
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
M/元
5284.79
5531.60
5349.88
5072.65
4796.84
5314.10
5468.52
4501.91
平均值/元
5165.04
将M值代入（8）式得：
………………………（10）
（注：
模型中地价G有一最大值，超过此限，在一定范围内可按4365.61计算）为此，我们已得出房价与地价、人均收入之间的关系。
接下来，我们利用已知年份的地价及人均收入来求出各年份的房价计算值，得出数据如表五：
表五各年份房价实际值——计算值
年份
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
H实际值
4716
4767
4456
4747
5853
8792
11377
15000
H计算值
4596.2
4400.4
4271.2
4839.4
6221.2
8642.9
11073.5
15663.1
作图比较H实际值与计算值得出图1-3：
图1—32000—2008年北京房价走势图
由图表可知，根据所建模型求得的房价计算值与实际值基本一致，误差范围在0.017—0.077之间，拟合程度较高。
由所得模型可看出，在房价形成过程中，地价与人均收入占主导因素，地价的升高以及人均收入的增长都对房价的升高具有促进作用。
而在地价与人均收入中，地价占有较大比重。
房地产商投机通过囤积土地，造成土地资源短缺，进而通过地价来影响房价。
通过所得模型及已知数据，可先根据时间与地价、人均收入的数据如表六：
表六时间与地价、人均收入表
时间
2001
2001
2003
2004
2005
2006
2007
2008
地价
2208
2271
2331
2384
3288
3636
3799
4285
人均收入
11577.8
12464
13882.6
17116.5
19533.3
22417
24576
27678
将数据拟合做图1—4：
图1—4
拟合出线性回归方程得：
G=-641231+321.4y…………………………………………（11）；
x=-5E+06+2396.2y（y代表年份）………..................（12）；
预测：
当y=2009,2010时，将其代入式（11）、（12）可求的相应的G与x的值，
将二值代入式（10）得：
H2009=18787.4元H2010=23386.6元
实际值H2009=19725元H2010=24942.5元
百分误差w2009%=4.75%w2010%=6.23%
据此可看出此模型预测性可信度较高。
3.2.3渭南市房价模型的建立与求解
表七房价与年份、地价、人均收入表
年份
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
人均收入（x）/元
4922
5560
6399
7842
9116
10879
13475
16737
地价（G）
254
278
283
300
450
486
692
728
房价（H2’）/元
1261
1437
1640
1957
2244
2489
2801
3096
图1—5渭南市人均收入——房价
图1—6渭南市地价——房价
图1—7渭南市房价走势图
综上所述，在得到的二元线性拟合方程：
人均收入与房价的关系：
…………（13）
地价与房价的关系：
………………（14）
以上的房价定制模型只是单纯的基于地价和人均收入因素。
通过网上收集信息及向渭南市相关单位咨询，可从以下两个方面对确定2010年该地区合理房价的模型进行修改。
通过“房价收入比”确定合理房价。
所谓“房价收入比”是指住房价格与城市居民家庭年收入之比。
国际上通用的房价收入比的计算方式，是以住宅套价的中值，除以家庭年收入的中值。
通过网上查得的数据，截至2009年，全国城镇人均住房面积为27平方米，以每一个家庭有三人（父母及儿女）计算，一个家庭的平均住房面积为81平方米，即一套住房的面积平均为81平方米。
以预测的2010年房价3928元/平米计算，一套房屋的平均价格为31.8168万元。
而这个家庭的年收入以预测的2010年平均年收入2.1547万元乘以2计算（夫妻共同年收入），为4.3094万元。
用房屋套价31.8168万元除以家庭平均年收入4.3094万元，其比值约为7.4。
而合理的房价收入比应在4~6之间。
7.4>6，可知该地区2010年房价偏高。
若分别以房价收入比为4和6确定房价，经计算，房价分别为2168元/平米和3192元/平米。
所以，以“房价收入比”确定合理的房价，则渭南市2010年的平均房价应介于2168~3192元/平米。
经过对渭南市相关单位咨询，得知普通居民住宅的每平米基本造价约为房屋实际每平米销售价格的25%。
由此可知，房地产商能得到相当于投资金额3倍的利润。
以预测的2010年房价3928元/平米计算，房地产商每平米的实际总投资为982元。
若按“房价收入比”确定的2168~3192元/平米的房价作为最终销售价格，房地产商可获得相当于其总投资1.2~2.3倍的利润，房地产商依然能够获取十分丰厚的利润。
3.3问题二模型的建立与求解
3.3.1问题二的模型建立
近年，我国楼市异常火爆，居民对购置房产的热情空前高涨，从而导致了很多地方房源不足。
很多地产商便趁此机会哄抬房价，致使商品房价格成倍的增长。
使很多本来有能力购房的人成为了门外看客。
为此，国家连续出台了多项商品房房价调控政策，以此来干预地产商对商品房价格的制定。
为了方便突显国家房价调控政策对房价调控的能力和起到的作用，我们特意选取了三个不同时间点出台的调控政策来加以说明。
从2008年3月至2010年6月，从时间的跨度上来讲这样的选取是可行的。
从2008年3月至2010年6月，国家和有关地方出台的房价的主要调控政策的大致内容见附录。
经分析我们需要选取对相关经济指标有直接影响的调控政策，这样能更为直观的看出政策调控作用。
同时，由于2008年开始的金融风暴等相关因素的影响，我国的房贷利率在这一年经过了多次调整（两率下调政策），并在2009年开始呈现平稳上升的趋势。
随着时间的推移，房价持续的上涨给人民生活带来了巨大的经济压力，针对愈演愈烈的房价风暴，2009年末至2010年初，国家出台了一系列强势的调控政策，以求减缓房价过快的上涨速率，方便给于中低收入家庭以更多的购房空间。
理据以上分析，我们分别选取了2008年9月16日发布的“两率”下调政策，2009年12月17日中国五部委联合发布的收紧土地受让政策，2010年1月10日国务院出台的严格控制二套房贷款管理政策。
通过这三条政策的发布时间与发布前后房价的波动情况来分析，观察国家调控房价政策对各地房价过快上涨的控制作用。
3.3.2问题二的模型求解
以下为数据分析过程：
从2008年3月至2010年6月北京内城四区的房价：
时间
房价（元）
时间
房价（元）
08年3月
21051
09年5月
21008
08年4月
21051
09年6月
21113
08年5月
21135
09年7月
21177
08年6月
21198
09年8月
21473
08年7月
21009
09年9月
21752
08年8月
21031
09年10月
21839
08年9月
20996
09年11月
21970
08年10月
20939
09年12月
22959
08年11月
20343
2010年1月
23533
08年12月
20282
2010年2月
23721
09年1月
20387
2010年3月
24196
09年2月
20492
2010年4月
24825
09年3月
20883
2010年5月
25048
09年4月
20925
2010年6月
25048
图1-8时间——房价关系曲线图
最近，国家出台了一系列新的政策，如：
在商品价格过高、上涨过快、供应紧张的地区，商业银行可根据风险状况，暂停发放购买第三套及以上住房贷款；
对不能提供1年以上当地纳税证明或社会保险缴纳证明的非本地居民暂停发放购买住房贷款；
二套房首付款不得低于50%，贷款利率不得低于基准利率的1.1倍（工商银行已于2010年4月16日率先实行此政策）。
而当政府调控楼市的政策出台之后不久，深圳、上海纷纷出现楼市投资者抛盘的情况，更有浙江投资者将上亿元的在京楼市投资抛售而出。
由此分析得出，这一系列的新政策极大地影响了人们在房产上的消费倾向，在一定程度上削弱了住房的购买量，从而使房地产商会以减少楼市的投资或以降低房价的手段促进楼盘的买卖。
四结果分析
4.1问题一的结果分析
中国社会的高速发展，社会财富的迅猛增加，在中国高速发展的大背景下，导致房价在长期趋势中的单边上升是必然的趋势，道理很简单，社会财富以每年10%左右的速度增加，单位货币就以相同的速度缩水，以该货币标价的房价自然应该上涨。
然后国家对货币投放量的增加，使社会资金供应十分充裕，2009年房价上涨过快和2009年货币投放量太大有直接关系，货币投放量增加一是导致单位币值的货币加速贬值，二是使市场流动性增加，这些都加速了房价的上涨。
还有一个很关键的因素是国家出台的相关政策。
08年底09年初，国家各种鼓励投资和消费的政策出台，包括二手房的税收优惠，大力支持“房贷”，甚至对于按揭降低首付款比例、降低利率，这一切都是国家政策引导资金流向房地产业。
综上所述，以理论模型结合实际情况进行分析可得出以下结论：
就当前我国的经济发展状况来看，我国人均GDP会继续保持增长趋势，平均房价也会随之增长。
但是，由于国家政策的干预，平均房价的增长速度可能会逐渐减慢甚至呈负增长状态，不过，这将是政策被实际且广泛实行一段时间后才可能出现的结果，在短期内房价不会大幅度下降。
从上面的分析我们可以明确的看出，2011年北京的房价依然存在上涨空间，只是上涨的速率将会变缓。
对开发商方面来说，国家取消了相关的税收优惠，以及拿地首付要求提高到了50%。
这样就抑制了开发商大量屯地建房的势头。
当然，房价上涨是经多种社会因素相互作用的，以上列举了一些主要影响因素。
4.2问题二的结果分析
据题目与背景分析，加上对具体数据的软件处理，我们得到了如图1-8的结果。
根据图中所得到曲线，我们可以清楚的发现，我们选取的于2008年9月发布的“两率”下调政策颁布之后的时间段里，房价有明显的波动。
但是，联系当时的社会经济大环境，即2008年爆发的全球金融风暴，对我国楼市的影响十分严重的情况，我们可以理解曲线在短时间内急剧下降的原因了。
但下降之后，房价在短期内又迅速升温，即下降过程得到有效遏制。
这些因素说明，“两率”下调政策有效调控了房价波动的不规律性。
但从此后的曲线来看，房价的的波动又有了明显变化，即开始了持续上涨的过程。
由于房价持续无节制地上涨，于2009年12月，国家又出台收紧土地受让政策，次年1月，又出台了二套房贷款管理政策。
国家连续的出台房价调控政策，表达出了国家对房价调控的决心。
从图1—8的曲线上看，2010年以后曲线上升有减缓的趋势，在4月开始，减缓趋势愈加明显。
综上所述，国家宏观调控政策在短期内可以取得一定的成效，即在一定程度上能够有效控制市场经济中房价的异常变动，但由于价格是由市场决定的，在长期效果和整体趋势上，政府调控不能够改变价格变动的本质和性质。
我们可以得出这样的结论：
由于国家政策的干预，平均房价的增长速度可能会逐渐减慢甚至呈负增长状态，不过，这将是政策被实际且广泛实行一段时间后才可能出现的结果，在短期内房价不会大幅度下降。
在市场经济环境下，除非改变国家基本经济政策与市场的本质定位，才可能改变市场对价格的绝对作用。
五模型的优缺点分析与改进方向
1、本模型依赖于线性方程构建的想法，模型建立之后进行了修正，得到的结果比较符合实际。
方案简洁明了，易于操作；
2、本模型建立过程中运用了多种方式进行评估，如：
多元线性回归法、excel软件求解等以保证结果有高的精度；
3、本模型建立过程中忽略了众多因素对房价的影响，如供需关系、人们的心理波动等，导致模型的结果与真实值之间存在一定误差；
4、本模型建立过程中考虑各个因素与房价呈2次关系，但实际上2次关系不一定是最好的选择，还可以考虑3次、多次等关系，所建立的模型会更加复杂。
5、模型建立过程中，适当在加入一些参数可能会使模型更加精细，更符合实际情况。
六参考文献
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【2】冉启康张振宇张立柱常用数学软件教程人民邮电出版社2008.10
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【5】李东月.房价预测模型的比较研究【J】.工业技术经济，2006,25（9）
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