构造等腰三角形的常用方法.docx
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构造等腰三角形的常用方法
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构造等腰三角形的常用方法(总13页)
构造等腰三角形的常用方法
几何图形中添加辅助线往往能把分散的条件集中起来,使隐蔽的条件显现,将复杂的问题简单化,
在解题的过程中有时需要构造等腰三角形,利用等腰三角形的性质从而使问题迎刃而解.
本节主要来介绍下常用构造等腰三角形的方法.
方法一作“平行线”来构造等腰三角形
1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AB上,点E在AC的延长线上,DE交BC于点F,
且DF=EF.
求证:
BD=CE.
证明:
过点D作DG∥AE,交BC于G点,则∠GDF=∠E.
∵∠GDF=∠CEF,∠DFG=∠EFC,DF=EF,
∴△DGF≌△ECF(ASA),
∴GD=CE.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵DG∥AE,
∴∠DGB=∠ACB,
∴∠DBG=∠DGB,
∴GD=BD,
∴BD=CE.
2.已知△ABC为等边三角形,点D为AC上的一个动点,点E为BC延长线上一点,且BD=DE.
(1)如图①,若点D在边AC上,猜想线段AD与CE之间的关系,并说明理由;
(2)如图②,若点D在AC的延长线上,
(1)中的结论是否还成立,请说明理由.
解:
(1)AD=CE.
理由如下:
过点D作DP∥BC,交AB于点P.
∵△ABC是等边三角形,
∴△APD也是等边三角形,
∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDA=60°,
∵DB=DE,
∴∠DBC=∠DEC,
∵DP∥BC,
∴∠PDB=∠DBC.
∴∠PDB=∠DEC.
又∵∠BPD=∠A+∠ADP=120°,∠DCE=∠A+∠ABC=120°,
∴∠BPD=∠DCE.
在△BPD和△DCE中,
∠BPD=∠DCE,∠PDB=∠CED,DB=DE,
∴△BPD≌△DCE(AAS),
∴PD=CE,
∴AD=CE;
(2)
(1)中的结论成立.
理由如下:
过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P.
∵△ABC是等边三角形,
∴△APD也是等边三角形,
∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°,
∵DB=DE,
∴∠DBC=∠CED.
∵DP∥BC,
∴∠PDB=∠DBC,
∴∠PDB=∠CED.
在△BPD和△DCE中,
∠P=∠DCE,∠PDB=∠CED,DB=DE,
∴△BPD≌△DCE(AAS),
∴PD=CE,
∴AD=CE.
方法二利用“三线合一”构造等腰三角形
3.如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,且AP⊥BP于点P,连接CP.
若BC=4,点P到BC的距离为1,求△ABC的面积.
解:
延长AP交BC于点E.
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABP=∠EBP.
∵AP⊥BP,
∴∠APB=∠BPE.
在△APB和△EPB中,
∠ABP=∠EBP,BP=BP,∠BPA=∠BPE,
∴△APB≌△EPB(ASA),
∴S△ABP=S△BPE,AP=PE.
∵△APC与△PCE等底同高,
∴S△APC=S△PCE,
∴S△ABC=S△ABP+S△BPE+S△APC+S△PCE=2S△BPC,
∵BC=4,点P到BC的距离为1,
∴S△BPC=1/2×4×1=2,
∴S△ABC=2×2=4.
4.如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,CE⊥BD,
交BD的延长线于点E.
求证:
BD=2CE.
证明:
延长BA,CE交于点M.
∵CE⊥BD,
∴∠BEC=∠BEM=90°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠MBE=∠CBE.
又∵BE=BE,
∴△MBE≌△CBE(ASA),
∴EM=EC=1/2MC.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠MAC=90°,AB=AC,
∴∠ABD+∠BDA=90°.
∵∠BEC=90°,
∴∠ACM+∠CDE=90°.
∵∠BDA=∠CDE,
∴∠ABD=∠ACM.
在△ABD和△ACM中,
∠ABD=∠ACM,AB=AC,∠BAD=∠CAM,
∴△ABD≌△ACM(ASA),
∴DB=MC,
∴BD=2CE.
方法三利用“倍角关系”构造等腰三角形
5.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,且∠ABC=2∠C.
求证:
AB+BD=AC.
证明:
在边AC上截取AP=AB,连接PD.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠PAD.
在△ABD和△APD中,
AB=AP,∠BAD=∠PAD,AD=AD,
∴△ABD≌△APD(SAS).
∴∠APD=∠B,PD=BD.
∵∠B=2∠C,
∴∠APD=2∠C.
又∵∠APD=∠C+∠PDC,
∴∠PDC=∠C,
∴PD=PC,
∴AB+BD=AP+PC=AC.
方法四利用“截长补短法”构造等腰三角形
6.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于点D,且AB+BD=DC,求∠C的度数.
方法一:
截长法
如图,在CD上截取点E,使DE=BD,连接AE.
∵AD⊥BE,DE=BD,
∴AB=AE.
∵AB+BD=DC,
∴AE+DE=DC.
又∵DE+CE=DC,
∴CE=AE=AB.
∴∠B=∠AED=∠C+∠CAE=2∠C.
∵∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+3∠C=180°,∠BAC=120°,
∴∠C=20°;
方法二:
补短法
如图,延长DB至点F,使得BF=AB,则AB+BD=BF+BD=DF=CD,
∴AF=AC,∠C=∠F=1/2∠ABC.
∵∠BAC+∠ABC+∠C=∠BAC+3∠C=180°,∠BAC=120°,
∴∠C=20°.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是△ABC外一点,且∠ABD=60°,∠ACD=60°.
求证:
BD+DC=AB.
证明:
延长BD至点E,使得BE=AB,连接AE,CE.
∵∠ABE=60°,BE=AB,
∴△ABE为等边三角形,
∴∠AEB=60°,AE=AB.
又∵∠ACD=60°,
∴∠ACD=∠ABE.
∵AB=AC,AB=AE,
∴AC=AE,
∴∠ACE=∠AEC,
∴∠DCE=∠DEC,
∴DC=DE,
∴AB=BE=BD+DE=BD+DC,
即BD+DC=AB.