高等数学不定积分讲义1教学文稿.docx
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高等数学不定积分讲义1教学文稿
第3、4次课4学时
课程安排：
1学期，周学时2,共48学时.
主要内容：
不定积分，定积分，微分方程
本次课题：
不定积分的概念与性质
教学要求：
1.理解不定积分的概念2.理解不定积分的性质；3.熟记基本积分表。
重点：
不定积分的性质和基本积分表
难点：
不定积分的概念
教学手段及教具：
讲授法
讲授内容及时间分配：
1.不定积分的概念（25）
2.不定积分的性质（30）
3.基本积分表（30）
4.习题（90）
课后作业
参考资料
不定积分的概念与性质
1、复习13个基本导数公式.
2、原函数与不定积分的概念.
（1）定义1在区间I上，如果可导函数的导函数为，即对任一x∈I，都有
或=，
那么函数就称为（或）在区间I上的原函数.
（2）原函数存在定理如果函数在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数,使对任一x∈I都有F'（x）=.
注：
1、如果函数在区间I上有原函数,那么就有无限多个原函数.都是的原函数.（其中C是任意常数）
2、的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果Φ（x）和都是的原函数,则
（为某个常数）.
简单地说就是,连续函数一定有原函数.
定义2在区间I上,函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间I上的不定积分.记作,其中记号称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量.
3、例题讲解.
例1因为是的原函数,所以.
因为是的原函数,所以.
例2.求函数的不定积分
解：
当时，（lnx）'，（）.
当时，[ln（x）]'，（）.合并上面两式,得到（x≠0）.
例3.求
解由于，所以是的一个原函数，因此.
4、变式练习
5、积分曲线函数的原函数的图形称为的积分曲线,从不定积分的定义,即可知下述关系
或.
又由于是的原函数,所以或记作.
6、基本积分表（略）.
例4..
例5..
7、不定积分的性质.
性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即
.
这是因为,=f（x）+g（x）.
性质2求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即
（是常数,）
例6..
.
例7.
.
8.变式练习
（1）
（2）（3）
（4）（5）（6）
（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）
第5次课2学时
课程安排：
1学期，周学时2,共48学时.
主要内容：
不定积分，定积分，微分方程
本次课题：
第一类换元积分法
教学要求：
1.掌握第一类换元积分法
重点：
第一类换元积分法
难点：
凑微分
教学手段及教具：
讲授法
讲授内容及时间分配：
1.第一类换元积分法理论（25）
2.练习（65）
课后作业
参考资料
第一类换元积分法
1、回顾旧知
（1）复习13个常见积分公式
（2）思考：
对吗？
2、第一类换元法.
设有原函数,,且可微,那么,根据复合函数微分法,有
即==.
定理1设具有原函数,可导,则有换元公式
.
3、讲授例题.
例1
=
例2
.
例3=.
例4求
解
4、变式练习.
１） ２）
３）４）
５） ６）
７） ８）
第6次课2学时
课程安排：
1学期，周学时2,共48学时.
主要内容：
不定积分，定积分，微分方程
本次课题：
第一类换元积分法
教学要求：
1.掌握第一类换元积分法
重点：
第一类换元积分法
难点：
凑微分
教学手段及教具：
讲授法
讲授内容及时间分配：
1.练习（90）
课后作业
参考资料
第一类换元积分法
1、复习旧知.
（1）13个常见的积分公式.
（2）第一类换元积分法.
2、例题讲解（较难的积分）.
例1.
.
例2..
例3.
=ln|cscx-cotx|+C.
即=ln|cscx-cotx|+C.
例4.=ln|secx+tanx|+C.
即=ln|secx+tanx|+C.
3、变式练习.
1）2）
3） 4）
5） 6）
7）8）
9）10）
4、小结
（1）分项积分：
利用积化和差;分式分项;；
（2）降低幂次：
利用倍角公式,如.
（3）统一函数:
利用三角公式;配元方法.
（4）巧妙换元或配元
第7次课2学时
课程安排：
1学期，周学时2,共48学时.
主要内容：
不定积分，定积分，微分方程
本次课题：
第二类换元积分法
教学要求：
1.理解第二类换元积分法
重点：
第二类换元积分法
难点：
第二类换元积分法
教学手段及教具：
讲授法
讲授内容及时间分配：
1.第二类换元积分法理论（25）
2.练习（65）
课后作业
参考资料
第二类换元积分法
1、复习第一类换元积分法.
2、第二类换元法.
（1）定理1设=是单调的、可导的函数,并且'≠0.又设f[]'具有原函数F,则有换元公式.
其中=是=的反函数.这是因为.
3、例题讲解.
例1.求（a>0）.
解:
设，,那么,
于是.
因为,,所以
.
例2求
解原式.
例3求
解为了消去根号，设，则.所以
.
4、变式练习.
１） ２）
３）４）
５） ６）
７） ８）
第8次课2学时
课程安排：
1学期，周学时2,共48学时.
主要内容：
不定积分，定积分，微分方程
本次课题：
分部积分法1
教学要求：
1.掌握分部积分法
重点：
分部积分法
难点：
分部积分法
教学手段及教具：
讲授法
讲授内容及时间分配：
1.分部积分法理论（25）
2.练习（65）
课后作业
参考资料
分部积分法
1、提出问题：
求解（让学生试着求解）.
2、分部积分公式.
设函数u=u（x）及v=v（x）具有连续导数.那么,两个函数乘积的导数公式为
（uv）'=u'v+uv',移项得uv'=（uv）'-u'v.
对这个等式两边求不定积分,得,或,
这个公式称为分部积分公式.
思路分析：
严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。
”的原则进行分部积分的练习。
3、例题讲解.
例1求.
解设那么于是
.
例2求
解令则.
原式.
例3求
解设.则原式.
再令.则.
故原式.
故.
说明:
也可设为为三角函数,但两次所设类型必须一致.
注：
（1）.
（2）应较易积分.
（3）熟悉了分部积分的步骤后，可以不明确写出，而是直接用公式来做.
例5求.
解.
例6求.
解
.
4、变式练习.
１） ２）
３）４）
上海市劳动和社会保障局所辖的“促进就业基金”，还专门为大学生创业提供担保，贷款最高上限达到５万元。
５） ６）
1、作者：
蒋志华《市场调查与预测》，中国统计出版社2002年8月§11-2市场调查分析书面报告７） ８）
附件
（二）：
培养动手能力□学一门手艺□打发时间□兴趣爱好□
2003年，全年商品消费价格总水平比上年上升1%。
消费品市场销售平稳增长。
全年完成社会消费品零售总额2220.64亿元，比上年增长9.1%。
（四）大学生对手工艺制品消费的要求
市场环境所提供的创业机会是客观的，但还必须具备自身的创业优势，才能使我们的创业项目成为可行。
作为大学生的我们所具有的优势在于：
木质、石质、骨质、琉璃、藏银……一颗颗、一粒粒、一片片，都浓缩了自然之美，展现着千种风情、万种诱惑，与中国结艺的朴实形成了鲜明的对比，代表着欧洲贵族风格的饰品成了他们最大的主题。
可见“体验化消费”广受大学生的欢迎、喜欢，这是我们创业项目是否成功的关键，必须引起足够的注意。
第9次课2学时
我们大学生没有固定的经济来源，但我们也不乏缺少潮流时尚的理念，没有哪个女生是不喜欢琳琅满目的小饰品，珠光宝气、穿金戴银便是时尚的时代早已被推出轨道，简洁、个性化的饰品成为现代时尚女性的钟爱。
因此饰品这一行总是吸引很多投资者的目光。
然而我们女生更注重的是感性消费，我们的消费欲望往往建立在潮流、时尚和产品的新颖性上，所以要想在饰品行业有立足之地，又尚未具备雄厚的资金条件的话，就有必要与传统首饰区别开来，自制饰品就是近一两年来沿海城市最新流行的一种。
课程安排：
1学期，周学时2,共48学时.
主要内容：
不定积分，定积分，微分方程
本次课题：
分部积分法
教学要求：
1.会应用分部积分法求积分
重点：
分部积分法
难点：
分部积分法
教学手段及教具：
讲授法
讲授内容及时间分配：
1.习题（90）
课后作业
参考资料
分部积分法
1、复习分部积分法.
2、例题讲解.
例1求.
解因为
所以.
例2求.
解因为
所以.
例3
.
解题技巧：
选取及的一般方法：
把被积函数视为两个函数之积，按“反对幂三指”的顺序，前者为后者为.
例4
.
例5求,其中n为正整数.
解;
当n>1时，用分部积分法,有
即,
于是.
以此作为递推公式,并由即可得.
例6求.
解令x=t2,则,dx=2tdt.于
.
.
例7
解设则.
.
所以原式.
注：
（第一换元法与分部积分法的比较）共同点是第一步都是凑微分
.
3、变式练习.
１）2）３）
４）５）６）
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