数论中的多项式.docx

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数论中的多项式

数论中的多项式问题

一．有理系数多项式的因式分解

定理1：

设I是Q[x]的一个子集，满足如下性质。

f（x）,g（x）I,有f（x）g（x）I

f（x）I,c（x）Q[x]，有f（x）c（x）I

则存在p（x）I使得I{q（x）|p（x）是q（x）的因式}

证明：

取I中次数最低的非零多项式f（x），如果有多个，任取其中一个。

若f（x）为常数，根据第二条性质，显然I=Q[x]满足条件。

若degf1，假设存在一个多项式g（x）不是f（x）的倍式，设g（x）q（x）f（x）r（x），degrdegf，r（x）非零。

则r（x）I，与f（x）次数最低矛盾。

所以I的一切多项式都是f（x）的倍式，证毕。

定理2：

对任意f（x）Q[x]，f（x）可唯一分解为cp1（x）p2（x）...pn（x）形式，其中c为f（x）首项系数，pk（x）为次数不低于1的首一不可约多项式。

存在性是显然的，只需证明唯一性，设f（x）还有一种分解式cq1（x）q2（x）...qm（x）。

我们先证明一个引理。

引理：

设不可约多项式p（x）是f（x）g（x）的因式，则或者p（x）|f（x），或者p（x）|g（x），二者至少有一个成立。

证明：

令I{q（x）Q[x]|q（x）c1（x）p（x）c2（x）g（x）,c1,c2Q[x]}则I满足定理1中的条件，故I中存在一个次数最低的多项式是I中每个多项式的因式。

它是不可约多项式p（x）的因式，则它或者为常数，或者为cp（x）。

如果是常数，令cc1（x）p（x）c2（x）g（x），两边乘f（x），由p（x）|右边，推出

p（x）|f（x）。

如果I中的公因式为cp（x），则有p（x）|g（x）

式，但qi（x）不可约，所以qi（x）=p1（x）。

依次类推，两个分解式在不计次序意义下完全相同。

二．整系数多项式及其性质。

定义：

若整系数多项式p（x）的各项系数的最大公因数为1，则称p（x）为本原多项式。

定理3（高斯引理）：

两个本原多项式的乘积仍然为本原多项式。

证明：

设f（x）p（x）q（x），假设f不是本原多项式，存在素数p整除f的每nm

个系数。

设p（x）aixi，q（x）bixi，ak为p（x）系数中非p倍数的最低次

i0i0项，bj为q（x）系数中非p倍数的最低次项。

考虑f（x）的kj次项。

其系数为a0bkja1bkj1...akjb0，其中除akbj外都是p倍数。

因而这一项系数不是p倍数，矛盾。

定理4：

如果一个整系数多项式可以分解为两个有理系数多项式的乘积，则它也可以分解成两个整系数多项式的乘积。

证明：

设f（x）cg（x），g是本原多项式。

存在次数不小于1的有理系数多项式p（x）,q（x）使g（x）p（x）q（x）。

设p（x）c1p1（x），q（x）c2q1（x），c1,c2Q，p1,q1是本原多项式。

则根据高斯引理，p1q1为本原多项式。

但gc1c2p1（x）q1（x）为本原多项式。

所以c1c2=1，f（x）cp1（x）q1（x）。

定理5：

整系数多项式可唯一分解为若干不可约元的乘积，其中不可约元形式为素数常数和本原多项式。

证明：

设f（x）cg（x），g是本原多项式。

首先将g（x）在有理数内唯一分解，根据定理4，可调整分解式每一项的系数，构造本原多项式的分解形式。

另一面，g（x）在整数中的分解式每一项必然是有理数唯一分解式的常数倍。

由于整系数多项式在整数范围内分解和在有理数范围内的分解只差系数常数，如无特殊说明，下面我们称整系数多项式不可约是指它对应的本原多项式在整数范围内不可约。

定理6：

设f（x）anxnan1xn1...a0x0为整系数多项式，最简分数q是p

f（x）的有理根，则必有p|an，q|a0。

证明：

由f（）an（）an1（）...a0（）0，得

pppp

anqnan1qn1p...a0pn0，故q|a0pn，p|anqn。

q,p互素q|a0，p|an。

定理7：

（艾森斯坦判别法）设f（x）anxnan1xn1...a0x0为整系数多项式，如果存在素数p满足如下条件

（1）p|ai,i0,1,...,n1

（2）p|an

（3）p2|a0

则f（x）不可约。

证明：

假设f（x）可约，设f（x）（bmxm...b0x0）（ckxk...c0x0），其中系数bi,cj都是整数。

由p|a0但p2|a0，知b0,c0中恰有一个被p整除，不妨设p|b0。

因为p|an，故p|bm。

令b0,b1,...中第一个不被p整除的数是bj，考虑f（x）中j次项系数。

ajbjc0bj1c1...b0cj是p的倍数，但等式右边除了bjc0外每一项都是p的倍数，而bjc0不是p的倍数，矛盾。

故f（x）不可约。

推论：

在Q[x]中存在任意次数的不可约多项式。

证明：

考虑xn2，素数2满足艾森斯坦判别法的条件。

定理8：

有理系数多项式f（x）与g（x）f（axb）（a0）可约性相同。

证明：

若f（x）可约显然g（x）可约。

反之，作变换yaxb，则f（y）g（yb），易知g可约蕴涵f可约。

aa

三．对称多项式

定义：

若n元多项式f（x1,x2,...,xn）满足，对于（y1,y2,...,yn）是变量

{x1,x2,...,xn}的任意排列，都有f（y1,y2,...,yn）=f（x1,x2,...,xn）。

称f（x1,x2.,xn）为（完全）对称多项式。

若n元多项式f（x1,x2,...,xn）满足f（x1,x2,...,xn）=f（x2,x3,...,x1），称f（x1,x2,...,xn）为轮换对称多项式，简称轮换式。

以上的等号都表示多项式相等，即对应项分别相同。

例如，abc，abbcca都是对称多项式，a2bb2cc2a是轮换式。

令f（x）anxnan1xn1...a0x0=（xx1）（xx2）...（xxn），则1an1，

2an2，...，n

（1）na0都是关于x1,x2,...,xn的对称多项式，称它们为初等对称多项式。

关于对称多项式，我们有以下结论

定理9（对称多项式基本定理）：

设f（x1,x2,...,xn）为对称多项式，则f可以

用初等对称多项式表示。

即存在n元多项式g使g（1,2,...,n）恒等于

f（x1,x2,...,xn）。

证明：

对f的次数用数学归纳法。

当degf1时，f只能等于c1，c为常数。

假设degfn时都成立，对于degfn的情形，只需考虑f中次数为n的那些项。

对它们进行字典排列，第一项必为ax11x22...xnn形式且满足

12...n0。

否则，存在ii且ij，由对称性，必存在交换xi与xj的

项，它的字典排列将在原首项的前面。

构造对称多项式g（x1,x2,...,xn）a112223...n1n1nnn，它的首项为ax112（x1x2）23...（x1x2...xn）n与f的首项相同。

因此fg比f的n次项少了若干项。

以此类推，由于f的n次项总数有限，必然可如上构造有限次g1,g2,...使得f的全部n次项等于g1g2...，证毕。

四、有限域上的多项式

Fp上的多项式性质和复，实，有理系数多项式非常相似。

因此前面的理论基本可以照搬来用，这里不再重复证明。

注意Fp上两个多项式相等定义为它们次数相同且对应项系数modp同余，而不是两个多项式在modp意义下取值恒等。

例如xpx（modp）恒成立，但xp和x并不是相等的多项式。

定理10（拉格朗日定理）：

Fp上n次多项式

anxnan1xn1...a0x00（modp）至多有n个根。

证明：

同代数基本定理中不超过n个根部分的证明。

定理11：

Fp上的多项式可分解为首项系数乘若干首一不可约多项式的乘积，且分解在不记次序的意义下是唯一的。

证明：

同有理系数多项式唯一分解定理的证明。

定理12：

f（xp）f（x）p（modp）

证明：

对f的次数用数学归纳法，degf0时显然成立。

设degfn时成立，当degfn时，设f（x）anxng（x），deggn1。

则f（x）p[anxng（x）]panpxnpC1pan（p1）xn（p1）g（x）...Cppan0g（x）p

anxnpg（x）p（modp）。

令g（x）an1xn1...a0x0，由归纳假设，

g（x）pan1x（n1）p...a0x0（modp），故f（xp）f（x）p（modp）成立。

五、xn1的分解

作为前面知识的应用，我们来解决xn1在整数环上的因式分解问题首先我们知道，方程xn10在复数域内有n个根，分别为

令wncos2isin2

nn

cos2kisin2k，k0,1,2...n1，称为n次单位根。

nn

则x1在复数域内可分解为（x1）（xwn）...（xwnn1）。

注意到一个单位根xn满足xnk（k0,1,...,n1）包含所有n次单位根当且仅当xnwnk且（k,n）1。

下面讨论xn1在有理数域上的分解。

定义：

n（x）（xwnk）为n次分圆多项式。

（k,n）1,0kn1

例：

1（x）x1，2（x）x1,4（x）x21,p（x）xp1xp2...1...

定理13：

xn1d（x）

d|n

证明：

对于复数w满足w1，若存在n使wn1，称最小满足wn1的正

整数n为w的阶。

若不存在这样的n，称w的阶为0。

易知w的阶为n当且仅当wwnk是n次单位根且（k,n）1。

进而有

n（x）（xw）。

而xn1（xw）。

n次单位根的阶一定是n的因

w的阶为nw是n次单位根

数，反之，阶为n的因数的复数一定是n次单位根，故xn1（xw）（xw）d（x）。

w的阶d为d|nd|nw的阶为dd|n

定理14：

分圆多项式是首一整系数多项式。

证明：

n1显然，用数学归纳法。

假设dn都成立，由定理9，知

n（x）

xn1

d（x）

为有理系数多项式。

而

xn1和（x）都是首一整系数多项

d|n,dn

d|n,dn

式，是本原多项式。

由唯一分解定理，n（x）必然也是本原多项式

定义：

有理系数多项式的复根称为代数数。

定理15：

对任意代数数w，存在唯一的整系数不可约多项式p（x）满足p（w）0，其中p（x）称为w的最小多项式。

证明：

设有理系数多项式的子集I{f（x）|f（w）0}，易证I满足定理1中的条件，故存在p（x）使I{c（x）p（x）|c（x）Q[x]}。

调整系数使p（x）为本原多项式。

下证p（x）不可约。

假设可约，设p（x）q（x）r（x），degq,degrdegp，则q（x）,r（x）I，p（w）q（w）r（w）0，矛盾。

定理16：

分圆多项式在有理数域上不可约。

证明：

命题等价于分圆多项式在整数环上不可约。

用反证法，假设n（x）可

分解为f1（x）f2（x）...fn（x），其中fi（x）都是次数不低于1的本原多项式。

由复数域上多项式唯一分解定理，wn一定是某个n（x）因式的根。

不妨设f1（wn）0。

考虑最小的正整数k使f2（wnk）=0，显然k2。

首先证明存在素数p，存在单位根使得和p是n（x）不同因式的根。

若k为素数，显然wn满足条件。

反之，设

kpq，p素数。

由k的最小性，wnq一定不是f2（x）的根。

下面不妨设f1（）0，f2（p）0。

由于是多项式f2（xp）的根，不可约多项式f1是的最小多项式，故f1（x）|f2（xp）。

存在整系数多项式g（x）使f2（xp）f1（x）g（x）成立。

将上式在modp意义下考虑，任取f1（x）在域Fp上的不可约因式u（x），则u（x）|f2（xp），由定理12，u（x）|f2（x）pu（x）|f2（x）。

故u（x）2|f1（x）f2（x）|xn1在Fp上成立。

令xn1u（x）2h（x），对两边求导数，得nxn12u（x）h（x）u2（x）h'（x）。

所以u（x）|nxn1。

但nxn1和xn1在Fp上互素，矛盾，证毕。

综上所述，xn1（x）给出的表达式即为xn1的唯一分解式。

d|n