完整word版高数答案下习题册答案第六版下册同济大学数学系编.docx
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高数答案（下）习题册答案第六版下册同济大学数学系编
第八章多元函数的微分法及其应用
§1多元函数概念
一、设f（x,y）=x2+y2,j（x,y）=x2-y2,求:
f[j（x,y）,y2].答案：
f（j（x,y）,y2）=（x2-y2）2+y4=x4-2x2y2+2y4
二、求下列函数的定义域：
x2（1-y）221、f（x,y）={（x,y）|y+x¹1};221-x-y
y2、z=arcsin{（x,y）|y£x,x¹0};x
三、求下列极限：
x2siny1、lim（0）2（x,y）®（0,0）2x+y
2、y（1+）3x（e6）（x,y）®（¥,2）xlim
x2y四、证明极限lim不存在.2（x,y）®（0,0）4x+y
证明：
当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着y=x趋于（0，0）时，极限为二者不相等，所以极限不存在21,2
1ì,（x,y）¹（0,0）ïxysin22五、证明函数f（x,y）=í在整个xoy面上连续。
x+yï0,（x,y）=（0,0）î
证明：
当（x,y）¹（0,0）时，f（x,y）为初等函数，连续。
当（x,y）=（0,0）时，
1xysi=0=f（0,0），所以函数在（0，0）也连续。
所以函数（x,ylim）®（0,0）22x+y
在整个xoy面上连续。
六、设z=x+y2+f（x+y）且当y=0时z=x2，求f（x）及z的表达式.解：
f（x）=x2-x，z=x2+2y2+2xy-y
§2偏导数
y¶z¶z=xy+z1、设z=xy+xex,验证x+y¶x¶y
¶zy¶z¶z¶z=y+ex-ex,=x+ex，\x+y=xy+xy+xex=xy+z证明：
¶xx¶y¶x¶yyyyy
ìz=x2+y2
1pï2、求空间曲线G:
í在点（,,1）处切线与y轴正向夹角（）1y=224ïî2
x23、设f（x,y）=xy+（y-1）arcsin,求fx（x,1）
（1）y
4、设u=x,求
zzy¶u¶u¶u，，¶y¶x¶zzz¶uz¶u1y¶uzy-1=-2xylnx=xlnx=x解：
，¶y¶zy¶xyy
¶2u¶2u¶2u2++=5、设u=x+y+z，证明:
¶x2¶y2¶z2u
6、判断下面的函数在（0,0）处是否连续？
是否可导（偏导）？
说明理由222
1ì22xsin,x+y¹0ï22f（x,y）=íx+y
22ï0,x+y¹0î
10-0limf（x,y）=0=f（0,0）连续；fx（0,0）=limfy（0,0）=limsi2不存在，=0x®0y®0x®0y-0xy®0
7、设函数f（x,y）在点（a,b）处的偏导数存在，求limx®0f（a+x,b）-f（a-x,b）x
（2fx（a,b））§3全微分
1、单选题
（1）二元函数f（x,y）在点（x,y）处连续是它在该点处偏导数存在的
__________
（A）必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件
（C）充分必要条件
（2）对于二元函数f（x,y），下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___
（A）偏导数不连续，则全微分必不存在
（C）全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在
2、求下列函数的全微分：
yyy11）z=exdz=ex（-2dx+dy）xx
222）z=sin（xy）解：
dz=cos（xy）（y2dx+2xydy）
yz-11y3）u=x解：
du=xdx+xzlnxdy-2xzlnxdzzzzyzyyy
3、设z=ycos（x-2y），求dz（0,）4p
解：
dz=-ysin（x-2y）dx+（cos（x-2y）+2ysin（x-2y））dy\dz|（0,p
4）=p
4dx-p
2dy
4、设f（x,y,z）=
z1（-2dx-4dy+5dz）求：
df（1,2,1）2225x+y
1ì22（x+y）sinï5、讨论函数f（x,y）=íx2+y2
ï0,î,（x,y）¹（0,0）（x,y）=（0,0）在（0，0）点处
的连续性、偏导数、可微性1（x2+y2）sin=0=f（0,0）所以f（x,y）在（0，0）点处连续。
解：
（x,ylim）®（0,0）22x+y
fx（0,0）=f（Dx,0）-f（0,0）f（0,Dy）-f（0,0）=0,fy（0,0）=lim=0（x,y）®（0,0）（x,y）®（0,0）DxDy
f（Dx,Dy）-0®0，所以可微。
22（Dx）+（Dy）lim
§4多元复合函数的求导法则
dzvt1、设z=u,u=sint,v=e，求dt
dzet-1tet×e+lnsint×（sint）×et解：
=cost.（sint）dt
¶z¶z2x-3y,，求,2、设z=（x+y）¶x¶y
¶z2x-3y-1=（2x-3y）x（+y）-3x（+y2x-）3ylnx+（y）,¶y
¶z¶zyn+2y=nz3、设z=xf
（2），f可微，证明x¶x¶yx
¶2z¶2z¶2z224、设z=f（x-y,2xy），其中f具有二阶连续偏导数，求，，22¶x¶y¶y¶x
¶z解：
=2xf1¢+2yf2¢,¶x
2¶z¶z=2x（f11¢¢（-2y）+f12¢¢2x）+2f2¢+2y（f21¢¢（-2y）+f22¢¢2x）=-2yf1¢+2xf2¢,¶x¶y¶y
=2f1¢-4xyf11¢¢+4（x-y）f12¢¢+4xyf22¢¢
2
2
2¶z¶2z22¢¢¢¢¢¢¢,=-2f1¢+4y2f11¢¢-8xyf12¢¢+4x2f22¢¢=2f+4xf+8xyf+4yf111122222
¶y¶x
¶2zyx
5、设z=f（xy,）+g（），其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数，求
¶x¶yxy
¶zy1解：
=f1¢y-2f2¢+g¢，
¶xxy¶2z11y11x
=f1¢+y（f11¢¢x+f12¢¢）-2f2¢-2（f12¢¢x+f22¢¢）-2g¢-3g¢¢
¶x¶yxxxxyy
du
6、设u=F（x,y,z），z=f（x,y），y=j（x），求
dx
du¢
=F1¢+F2¢j¢（x）+F3¢（fx+fy¢j¢（x））。
解：
dx
ìu=x-2y¶2z¶2z¶2z¶2z
-2=0化为=0，7、设z=z（u,v），且变换í可把方程62+
v=x+ay¶x¶y¶u¶v¶y¶xî
其中z具有二阶连续偏导数，求常数a的值（a=3）
¶2z¶2z¶2z¶2u¶z¶z¶z¶z¶z¶z
=2++2证明：
=-2+a=+
2¶u¶v¶y¶u¶v¶x¶u¶v¶x¶u¶v
2
¶2z¶2z¶2z¶2z¶2u2¶u=42-4a+a=-22+（a-2）+a2
2¶u¶v¶x¶y¶u¶v¶y¶u¶v2¶u¶v2
¶2z2¶u+（6+a-a）2=0a=3得：
（10+5a）
¶u¶v¶v
¶2z¶2z
8、设函数f（x,y）具有连续的一阶偏导数，f（1,1）=1,f1/（1,1）=a,f2/（1,1）=b又，j（x）=f{x,f[x,f（x,x）]}求j
（1）.和j/
（1）
（1）,
（a+ab+ab2+b3）
§5隐函数的求导公式
dy
1、设ylny=x+y，求
dx
dy1=解：
令F（x,y）=ylny-x-y，Fx=-1,Fy=lny,\dxlny
z222
2、设z=z（x,y）由方程x+y+z=yf（）确定，其中f可微，证明
y
¶z¶z
（x2-y2-z2）+2xy=2xz
¶x¶y
¶2zxy+z
3、设z=z（x,y）由方程=e所确定，其中f可微，求
¶x¶yz
¶2zz¶zz¶zz=-=,=-,3¶x¶y¶xx（1+z）¶y1+zx（1+z）
ìx2+y2+z2=1dyxdzdydz4、设í，求，（，=-=0）22dxydxdxdxîz=x+y
¶z¶z5、设z=z（x,y）由方程F（xy,y+z,xz）=0所确定，F可微，求,¶x¶y
FyFxF1¢y+zF3¢¶zF1¢x+F2¢¶z解：
令F（x,y,z）=F（xy,y+z,xz），则=-=-,=-=-¶xFz¶yF¢¢¢¢F2+xF3F2+xF3z
6、设z=f（x,y）由方程z+x+y-ez+x+y=0所确定，求dz（dz=-dx-dy）
7、设z=z（x,y）由方程3xy+xcos（yz）-z3=y所确定，求¶z¶z,,¶y¶x
（）¶z3xy.yln3+cosyz¶zx.3xyln3-xzsin（yz）-1==,¶x¶y3z2+xysinyz（）3z2+xysin（yz）
§6微分法在几何中的应用
1、求螺旋线x=2cost,y=2sint,z=3t在对应于t=p
4处的切线及法平面方程
解：
切线方程为==z-3p3
法平面方程-2（x-2）+2（y-2）+3（z-3p）=04
ìx2+y2+z2=502、求曲线í在（3，4，5）处的切线及法平面方程222îz=x+y
x-3y-4z-5解：
切线方程为，法平面方程：
4x-3y=0==4-30
2223、求曲面2x+3y+z=9在（1，-1，2）处的切平面及法线方程
解：
切平面方程为2（x-1）-3（y+1）+2（z-2）=0
x-1y+1z-2及法线方程==2-32
4、设f（u,v）可微，证明由方程f（ax-bz,ay-bz）=0所确定的曲面在任一点处的切平面与一定
向量平行
证明：
令F（x,y,z）=f（ax-bz,ay-bz），则
Fx=f1a,Fy=f2a,Fz=-bf1-bf2,\=（f1a,f2a,-bf1-bf2）
\×（b,b,a）=0，所以在（x0,y0,z0）处的切平面与定向量（b,b,a）平行。
5、证明曲面x
和为a2¢¢¢¢¢¢¢¢23+y23+z23上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方=a（a>0）23
2-32-32-3
证明：
令F（x,y,z）=x+y+z-a，则Fx=x,Fy=y,Fz=z,
333
在任一点（x0,y0,z0）处的切平面方程为x0在在三个坐标轴上的截距分别为x0证明曲面z
1
3
23
13
23232323
111
-
13
（x-x0）+y0（y-y0）+z0（z-z0）=0
13
23
-
13
-
13
a,y0a,z0a,在三个坐标轴上的截距的平方和为a2
23
y
=xf（）上任意一点M（x0,y0,z0）,（x0¹0）处的切平面都通过原点
x
7、设F（x,y,z）具有连续偏导数，且对任意实数t,总有F（tx,ty,tz）=tkF（x,y,z）k为自然数，试证：
曲面F（x,y,z）=0上任意一点的切平面都相交于一定点证明：
F（tx,ty,tz）=tkF（x,y,z）两边对t求导，并令t=1xFx+yFy+zFz=kF（x,y,z）
设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：
Fx（x0,y0,z0）（x-x0）+Fy（x0,y0,z0）（y-y0）+Fz（x0,y0,z0）（z-z0）=0此平面过原点（0，0，0）
§7方向导数与梯度
1、设函数
f（x,y）=x2-xy+y2，1）求该函数在点（1，3）处的梯度。
2）在点（1，3）处沿着方向l的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向
（1f,3）=-+5j解：
梯度为grad
到
最小值的方向为-=（1,-5）。
2、求函数u
¶f
¶l
（1,3）
=-cosq+5sinq,方向导数达到最大值的方向为=（-1,5），方向导数达
=xy2+yz2+zx2在（1，2，-1）处沿方向角为a=600b=900g=1500的方
¶u¶l
=1+
向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。
3，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向（1,2,-1）
2
¶u
gradu（1,2,-1）=2+5j-3，此时最大值为38（1,2,-1）=
¶l
解：
：
方向导数为3、求函数u
=xy2z3在（1，1，-1）处沿曲线x=t,y=t2,z=t3在（1，1，1）处的切线正方
向（对应于t增大的方向）的方向导数。
¶u¶u¶u=y2z3,=2xyz3,=3xy2z2，=（1,2,3），\该函数在点（1，1，-1）处的方¶x¶y¶z
¶u4
向导数为，（1,1,-1）=
¶l222
4、求函数u=ln（y+z+x）在（1，1，-1）处的梯度。
¶u2x¶u2y¶u2z=2,=,=解：
：
，22222222¶xx+y+z¶yx+y+z¶zx+y+z
解：
：
gradu（1,1,-1）=222+j-333
§8多元函数的极值及求法
1、求函数f（x,y）=3x2+3y2-2x-2y+2的极值。
11答案：
（，）极小值点33
2．求函数f（x,y）=x2+y2-2lnx-18lny的极值
答案：
极小值f（1,3）=10-18ln3
3.函数f（x,y）=2x2+ax+xy2+2y在点（1，1）处取得极值，求常数a（-5）
4、求函数z=x2+y2+1在条件x+y-3=0下的条件极值
解：
F（x,y,l）=x2+y2+1+l（x+y-3）
ìFx=02211，极小值为Þ（,）íF=0332îy
5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/
平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。
（长和宽2米，高3米）
6、在球面x2+y2+z2=5r2（x>0,y>0,z>0）上求一点，使函数
f（x,y,z）=lnx+lny+3lnz达到极大值，并求此时的极大值。
利用此极大值证
a+b+c5明"a,b,c有abc3£27（）5
2222证明：
令L=lnx+lny+3lnz+l（x+y+z-5r）¶L¶L¶L=0,=0,=0，x2+y2+z2=5r2解得驻点x=y=r,z=r。
所以函数令¶x¶y¶z
f（x,y,z）=lnx+lny+3lnz在x=y=r,z=3r处达到极大值。
极大值为ln（3r5）。
x2+y2+z2
5即xyz£3rÞxy（z）£27（r）=27（），令5
a+b+c5x2=a,y2=b,z2=c,得abc3£27（）。
535222325
x2y2
++z2=1被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的7、求椭球面32
长度
x2y2解：
F=x+y+z+l1（++z2-1）+l2（x+y+z）32222
2l1xìF=2x++l2=0ïx3ïF=2y+ly+l=0y12ï-3l2-l2-l2ïíFy=2z+2l1z+l2=0x=，y=，z=2（3+l）2+l2（1+l）111ï22ïx
ïï3+y+z2=1
îx+y2+z=0
l1=-（x2+y2+z2）=-d2l-11±6长半轴11+6，短半轴-1=6
第八章自测题
一、选择题：
（每题2分，共14分）
ìxy2
1、设有二元函数f（x,y）=ïíx2+y4,（x,y）¹（0,0）,则[]
ïî0,（x,y）=（0,0）,
A、（x,ylim）®（0,0）f（x,y）存在；
（x,ylim）®（0,0）f（x,y）不存在；
C、（x,ylim）®（0,0）f（x,y）存在，且f（x,y）在（0,0）处不连续；
D、（x,ylim）®（0,0）f（x,y）存在，且f（x,y）在（0,0）处连续。
2、函数f（x,y）在P0（x0,y0）各一阶偏导数存在且连续是f（x,y）在P0（x0,y0）连续的[
A、必要条件；
C、充要条件；D、既非必要也非充分条件。
ìxy
3、函数f（x,y）=ïíx-y,x¹y,在（0,0）点处[]
ïî0,x=y
A、极限值为1；B、极限值为-1；
C、连续；、无极限。
4、z=f（x,y）在P0（x0,y0）处fx（x,y），fy（x,y）存在是函数在该点可微分的[]
（A）必要条件；（B）充分条件；
（C）充要条件；（D）既非必要亦非充分条件。
5、点O（0,0）是函数z=xy2的[]
（A）极小值点；（B）驻点但非极值点；
（C）极大值点；（D）最大值点。
6、曲面ez-z+xy=3在点P（2,1,0）处的切平面方程是[]
（A）2x+y-4=0；（B）2x+y-z=4；
（C）x+2y-4=0；（D）2x+y-5=0]
7、已知函数u=f（t,x,y）,x=j（s,t）,y=f（s,t）均有一阶连续偏导数，那么
（A）fxjt+fyft;（B）ft+fxjt+fyft;
（C）f×jt+f×ft;（D）ft+f×jt+f×ft
二、填空题：
（每题３分，共18分）¶u=[]¶t
x2siny1、lim=（0）（x,y）®（0,0）x2+y2
¶3f=（exyz２、设f（x,y,z）=e，则（1+3xyz+x2y2z2））¶x¶y¶z
ìsin（xy）,xy¹0,ï３、设f（x,y）=íy2则fx（0,1）=（0）
ïxy=0,î0,
x４、设z=（x+2y），则在点（1,0）处的全微分.dz=（dx+2dy）xyz
2ìïy=x５、曲线í在点P0（1,1,1）处的切线方程为2ïîx=z
x-1y-1z-1（）==214
ìx2+y2+z2=3xx-1y-1z-1６、曲线í在点（1,1,1）处的切线方程为（）==2102x-4y+6z=4î
三、计算题（每题6分）
1、设f（x,y）=xln（x+y），求f（x,y）的一阶偏导数22
2x22xyfx（x,y）=ln（x+y）+2f（x,y）=，。
y222x+yx+y22
xö÷，求此函数在点P0（1,1）处的全微分。
并求该函数在该点处沿着从÷yøè
1¶f2（2,-1）=P0到P方向的方向导数（，）df=dx-dy1（1,1）¶l2¶2zæ2yö３、设z=fçxy,÷,f具有各二阶连续偏导数，求¶x¶yxøè2、设f（x,y）=lnççx+
2¶2z¢1f¢²²y²¶z3解：
=2xf1-22+2xf11+yf12-3f22¶x¶y¶x¶yxx
1ì2222,x+y¹0ïx+ysin22４、设f（x,y）=í求fx（x,y）和fy（x,y）。
x+yï0,x2+y2=0îæ
1xsi2f（x,0）-f（0,0）不存在，故f（0,0）不存在，同理，f（0,0）也不存在。
lim=limyxx®0x®0x-0x
当（x,y）¹（0,0）时，有
fx（x,y）=
fy（x,y）=xx2+y2yx2+y212y1si-2co23/2222222（x+y）x+yx+yx+y
z+x+ysi1-2x1co（x2+y2）3/2x2+y2５、设z=f（x,y）由方程z+x+y-e=0所确定，求dz（dz=-dx-dy）
¶2z６、设z=f[j（x）-y,y（y）+x]，f具有连续的二阶偏导数，j,y可导，求¶x¶y
¶2z¶z¢¢+f12¢¢y¢（y）]+[-f21¢¢+f22¢¢y¢（y）]=j¢（x）[-f11=f1¢j¢（x）+f2¢¶x¶y¶x
¢¢+[j¢（x）y¢（y）-1]f12¢¢+y¢（y）f22¢¢=-j¢（x）f11
22ì¶u¶uïx+y-uu=0,７、设í确定函数u=u（x,y）,u=u（x,y），求。
222ï¶x¶yîxy-u+u=0
¶u4xu+u2¶u4xu-uy2
=,=¶x2（u2+u2）¶x2（u2+u2）¶u2yu+xyu¶u2yu-xyu=2,=22¶y¶yu+uu+u2
¶2u¶2u¶2u1222f（x+y+z），式中f二阶可导，求2+2+2８、设u=222¶x¶y¶zx+y+z
解：
记r=x2+y2+z2，则
f（r）u==f（r）×r-1r
¶uf¢（r）r-f（r）¶uf¢（r）r-f（r）¶uf¢（r）r-f（r），=x,=y=z333¶xr¶yr¶zr
¶2ur2f¢¢（r）-3[f¢（r）r-f（r）]2f¢（r）r-f（r）=×x+253¶xrr
类似地，有
¶2ur2f¢¢（r）-3[f¢（r）r-f（r）]2f¢（r）r-f（r）=×y+253¶yrr
¶2ur2f¢¢（r）-3[f¢（r）r-f（r）]2f¢（r）r-f（r）=×z+253¶zrr
¶2u¶2u¶2ur2f¢¢（r）-3[f¢（r）r-f（r）]23[f¢（r）r-f（r）]+2+2=×r+253¶x¶y¶zrr
f¢¢（r）=r
四、（１０分）试分解正数a为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。
111设三个正数为x,y,z，则x+y+z=a，记F=++，令xyz
j=
则由111+++l（x+y+z-a）xyz
1ìj=-+l=02ïxxïïj=-1+l=0aïy2y解出。
x=y=z=í3ï1ïjz=-2+l=0zïïîx+y+z=a
五、证明题：
（１０分）
试证：
曲面z=x+f（y-z）上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中f连续可导。
证明：
曲面在任一点M（x,y,z）处的切平面的法向量为
定直线L的方向向量若为s={1,1,1}，则
n×s=0，即n^sn={-1,-f¢,1+f¢}
则曲面上任一点的切平面平行于以（1,1,1）为方向的定直线。
第九章重积分
§1二重积分的概念与性质
1、由二重积分的几何意义求二重积分的值I=òòx2+y2dxdy其中D为：
x2+y2£4D
（I=òòx2+y2dxdy=p.4.2-.p.4.2=
D1316p）3
2、设D为圆域x2+y2£a2,a>0,若积分òòDp=a-x-ydxdy12，求a的值。
222
解：
òòD3a-x-ydxdy=2.3p.aa=8222141
3、设D由圆（x-2）2+（y-1）2=2围成,求òò3dxdy
D
解：
由于D的面积为2p,故òò3dxdy=6p
D
4、设D：
{（x,y）|3£x£5,0£y£1}，
I1=òòln（x+y）dxdy,I2=òò[ln（x+y）]2dxdy，比较I1,与I2的大小关系
DD
解：
在D上，ln（x+y）£[ln（x+y）]2,故I1£I2
5、设f（t）连续，则由平面z=0，柱面x2+y2=1,和曲面z=[f（xy）]2所围的
立体的体积，可用二重积分表示为V=
D:
x+y£1
[f（xy）]òò22
2
dxdy
6、根据二重积分的性质估计下列积分的值
òòsin2xsin2ydxdyD:
0£x£p,0£y£p
D
（0£òòsin2xsin2ydxdy£p2）
D
7、设f（x,y）为有界闭区域D：
x2+y2£a2上的连续函数，求lim解：
利用积分中值定理及连续性有lim
1a®0pa2
1a®0pa2
D8
òòf（x,y）dxdy
D
a®0
òòf（x,y）dxdy=limf（x,h）=
f（0,0）
§
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