第一章 习题课电场能的性质.docx

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第一章习题课电场能的性质

[目标定位]　1.会分析带电粒子在电场中的运动特点.2.能求解电场力做的功和电场中的电势、电势能的变化.3.会用等分法确定等势点，从而确定电场强度的方向．

一、电场线、等势线和运动轨迹

例1

　如图1所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可知（　　）

图1

A．带电粒子在R点时的速度大小大于在Q点时的速度大小

B．带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大

C．带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大

D．带电粒子在R点时的加速度大小小于在Q点时的加速度大小

解析　根据牛顿第二定律可得qE＝ma，又根据电场线的疏密程度可以得出Q、R两点处的电场强度的大小关系为ER>EQ，则带电粒子在R、Q两点处的加速度的大小关系为aR>aQ，故D项错误；由于带电粒子在运动过程中只

受电场力作用，只有动能与电势能之间的相互转化，则带电粒子的动能与电势能之和不变，故C项错误；根据物体做曲线运动的轨迹与速度、合外力的关系可知，带电粒子在R处所受电场力的方向为沿电场线向右．假设粒子从Q向P运动，则电场力做正功，所以电势能减小，动能增大，速度增大，假设粒子从P向Q运动，则电场力做负功，所以电势能增大，动能减小，速度减小，所以A项正确，B项错误．

答案　A

总结提升

（1）速度方向沿运动轨迹的切线方向，所受电场力的方向沿电场线的切线方向或反方向，所受合外力的方向指向曲线凹侧．

（2）电势能大小的判断方法

①电场力做功：

电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加．

②利用公式法：

由EpA＝qφA知正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势低处电势能大．

二、对电场强度和电势的理解

例2

　如图2所示，在等量异种点电荷形成的电场中有A、B、C三点，A点为两点电荷连线的中点，B点为连线上距A点距离为d的一点，C点为连线中垂线上距A点距离也为d的一点，则下面关于三点电场强度E的大小、电势φ高低的比较，正确的是（　　）

图2

A．EA＝EC＞EB，φA＝φC＞φB

B．EB＞EA＞EC，φA＝φC＞φB

C．EA＜EB，EA＜EC，φA＞φB，φA＞φC

D．EA＞EB，EA＞EC，φA＞φB，φA＞φC

解析　等量异种点电荷周围的电场线如图所示，根据电场线的疏密分布知，A点的电场线比C点密，B点的电场线比A点密，则EB＞EA＞EC；等量异种点电荷的中垂线为等势线，则A点的电势与C点的电势相等，沿着电场线方向电势逐渐降低，则A点的电势大于B点电势．所以φA＝φC＞φB，故B正确，A、C、D错误．

答案　B

总结提升

（1）电场强度与电势没有直接关系．电场强度为零，电势不一定为零．电势为零，电场强度也不一定为零．电场强度大的地方，电势不一定高.

（2）比较电势的高低，应主要把握沿电场线方向电势降低，若两点不在同一电场线上，应通过等势面，转化为同一电场线上的两点电势的比较．

三、等分法确定等势点

例3

　如图3所示，虚线方框内有一匀强电场，A、B、C为该电场中的三点，已知：

φA＝12V，φB＝6V，φC＝－6V，试在该虚线框内作出该电场的示意图（画出几条电场线），并要求保留作图时所用的辅助线.

图3

解析　要画电场线，先找等势面（线）．

因为UAC＝18V、UAB＝6V，

＝3，将线段AC等分成三份，即使AH＝HF＝FC，则φH＝6V，φF＝0V，故B、H等电势．连接BH即为等势线，由电场线与等势面（线）垂直且由高电势指向低电势，可画出电场线如图所示．

答案　见解析图

总结提升

（1）在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等，如图4甲AB＝BC，则UAB＝UBC.

图4

（2）在匀强电场中，相互平行且相等的线段两点间的电势差相等．如图4乙AB綊CD，则UAB＝UCD.

（3）确定电场方向的方法：

先由等分法确定电势相等的点，画出等势面（线），然后根据电场线与等势面（线）垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面（线）指向电势低的等势面（线）．

四、电场力做功与电势差、电势能的综合

例4

　如图5所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点．现有一质量为m、电荷量为－q、套在杆上的带负电小球（可视为质点）从A点由静止开始沿杆下滑．已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2

.求：

图5

（1）小球滑到C点时的速度大小；

（2）若以C点作为参考点（零电势点），试确定A点的电势．

解析　

（1）因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中电场力做的总功为零．

由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝

根据动能定理有mg·

＝

－

解得vC＝

.

（2）小球从A到C，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有mg·3R＋W电＝

，又根据电场力做功与电势能的关系：

W电＝EpA－EpC＝－qφA－（－qφC）．

又因为φC＝0，

可得φA＝－

.

答案　

（1）

（2）－

方法总结

计算电场力做功的方法，常见的有以下几种：

（1）利用电场力做功与电势能的关系求解：

即

WAB＝EpA－EpB.

（2）利用W＝Fd求解，此公式只适用于匀强电场．

（3）利用公式WAB＝qUAB求解．

（4）利用动能定理求解．

1．（电场线、等势线与运动轨迹）一个电子只在电场力作用下从a点运动到b点的轨迹如图6中虚线所示，图中一组平行实线可能是电场线也可能是等势面，下列说法中正确的是（　　）

图6

A．如果实线是电场线，则电子在a点的电势能比在b点的电势能大

B．如果实线是等势面，则a点的电势比b点的电势低

C．如果实线是电场线，则a点的电势比b点的电势高

D．如果实线是等势面，则电子在a点的电势能比在b点的电势能大

答案　A

解析　若题图中实线是电场线，电子所受的电场力水平向右，电场线方向水平向左，则a点的电势比b点低，C错误；由于从a点运动到b点电场力做正功，所以电子的电势能减小，所以电子在a点的电势能比在b点的电势能大，所以A正确；若实线是等势面，由于电场线与等势面垂直，电子所受电场力方向向下，则电场线方向向上，则a点的电势比b点高，从a到b电场力对电子做负功，所以电势能增加，则电子在a点的电势能比在b点的电势能小，故B、D错误．

2．（对电场强度和电势的理解）下列四个图中，a、b两点电势相等、电场强度也相等的是（　　）

答案　D

解析　匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇等间距的平行平面，A中a、b两点不在同一等势面上，所以，这两点的电势是不相等的，但这两点的场强相等；B中a、b两点在同一个等势面上，电势相等，但这两点的场强大小相等、方向不同；C中a、b两点对称于两电荷的连线，所以电势相等，但在中垂线上场强的方向是平行于中垂线的，而且都指向外侧，故两点的场强的方向不同；在D中，a、b两点的电势相等，场强的方向是沿连线的，而且方向相同，故本题选D.

3．（用等分法画电场线）如图7所示，A、B、C是匀强电场中等腰直角三角形的三个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为φA＝15V，φB＝3V，φC＝－3V，试确定场强的方向，并画出电场线．

图7

答案　见解析

解析　根据A、B、C三点电势的特点，在AC连线上取M、N两点，使AM＝MN＝NC，如图所示，

尽管AC不一定是场强方向，但可以肯定AM、MN、NC在场强方向上的投影长度相等，由UAB＝Ed可知，UAM＝UMN＝UNC＝

＝

V＝6V．由此可知，φN＝3V，φM＝9V，B、N两点等电势，BN的连线即为等势线，那么电场线与BN垂直．电场强度的方向为电势降低最快的方向．

4．（电场力做功、电势差等的综合应用）

如图8所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面．现将电荷量为10－8C的正点电荷从A点移到B点，电场力做功为3×10－6J，将另一电荷量为10－8C的负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功3×10－6J．若AB边长为2

cm，则电场强度的大小为多大？

方向如何？

图8

答案　1×104V/m　为垂直B、C连线，由A指向BC

解析　正点电荷从A点移到B点时，电场力做正功，故A点电势高于B点，可求得：

UAB＝

＝

V＝300V.

负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功，同理可判断A点电势高于C点，可求得：

UAC＝

＝

V＝300V.

因此B、C两点电势相等，UBC＝0.由于匀强电场中的等势线是一簇平行直线，因此，BC为一等势线，故电场线方向垂直BC.设D为直线BC的中点，则电场方向为由A指向D.直线AB在电场方向的距离d等于线段AD的长度，故由匀强电场中电势差与电场强度的关系式可得：

E＝

＝

V/m＝1×104V/m.

题组一　电场线、等势面与运动轨迹

1．（多选）某静电场中的电场线如图1所示，带电粒子在电场中仅受静电力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是（　　）

图1

A．粒子必定带正电

B．由于M点没有电场线，粒子在M点不受静电力的作用

C．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度

D．粒子在M点的动能小于在N点的动能

答案　ACD

解析　根据粒子运动轨迹弯曲的情况，可以确定粒子受静电力的方向沿电场线方向，故此粒子带正电，选项A正确．由于电场线越密，电场强度越大，粒子受到的静电力就越大，根据牛顿第二定律可知其加速度也越大，故此粒子在N点的加速度大，选项B错误，选项C正确．粒子从M点运动到N点，静电力做正功，根据动能定理得此粒子在N点的动能大，故选项D正确．

2．一带电粒子沿图2中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则（　　）

图2

A．粒子一定带正电

B．粒子的运动是匀变速运动

C．粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大

D．粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大

答案　B

解析　由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据电荷运动规律可知其受力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子的动能在增大，电势能在减小．

3．如图3所示，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ.一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等．则（　　）

图3

A．直线a位于某一等势面内，φM＞φQ

B．直线c位于某一等势面内，φM＞φN

C．若电子由M点运动到Q点，电场力做正功

D．若电子由P点运动到Q点，电场力做负功

答案　B

解析　电子带负电荷，电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，有WMN＝WMP＜0，而WMN＝qUMN，WMP＝qUMP，q＜0，所以有UMN＝UMP＞0，即φM＞φN＝φP，匀强电场中等势线为平行的直线，所以NP和MQ分别是两条等势线，有φM＝φQ，故A错误，B正确；电子由M点到Q点过程中，WMQ＝q（φM－φQ）＝0，电子由P点到Q点过程中，WPQ＝q（φP－φQ）＞0，故C、D错误．

4.如图4所示，虚线表示某点电荷Q所激发电场的等势面，已知a、b两点在同一等势面上，c、d两点在另一个等势面上，甲、乙两个带电粒子以相同的速率，沿不同的方向从同一点a射入电场，在电场中沿不同的轨迹adb曲线、acb曲线运动，则（　　）

图4

A．两粒子所带的电荷为同种电荷

B．甲粒子经过c点时的速度大于乙粒子经过d点时的速度

C．两个粒子的电势能都是先减小后增大

D．经过b点时，两粒子的电势能相等

答案　B

解析　根据曲线运动时，质点所受的合力指向轨迹的内侧可知，甲受到引力，乙受到斥力，则甲与Q是异种电荷，而乙与Q是同种电荷，故两粒子所带的电荷为异种电荷，故A错误；甲粒子从a到c过程，电场力做正功，动能增加，而乙从a到d过程，电场力做负功，动能减小，两粒子初速度大小相等，则知甲粒子经过c点时的速度大于乙粒子经过d点时的速度，故B正确；甲粒子从a到b过程，电场力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，电场力对乙粒子先做负功后做正功，电势能先增大后减小，故C错误；两粒子的电荷量关系未知，经过b点时，不能确定电势能的关系，故D错误．

题组二　对电场强度和电势的理解

5．在静电场中，关于场强和电势的说法正确的是（　　）

A．电场强度大的地方电势一定高

B．电势为零的地方场强也一定为零

C．场强为零的地方电势也一定为零

D．场强大小相同的点电势不一定相同

答案　D

解析　沿着电场线的方向电势逐渐降低，电场线密的地方，电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，电势高的地方电场强度不一定大，电场强度大的地方，电势不一定高，故A错误；电势为零是人为选取的，则电势为零的地方场强可以不为零，故B错误；场强为零的地方电势不一定为零，电势为零是人为选取的，故C错误；在匀强电场中，场强处处相等，但沿着电场线的方向电势逐渐降低，所以场强大小相同的点电势不一定相同，故D正确．

6．（多选）两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图5所示．c是两负电荷连线的中点，d点在正电荷的正上方，c、d到正电荷的距离相等，则（　　）

图5

A．a点的电场强度比b点的大

B．a点的电势比b点的高

C．c点的电场强度比d点的大

D．c点的电势比d点的低

答案　ACD

解析　由题图知，a点处的电场线比b点处的电场线密集，c点处电场线比d点处电场线密集，所以A、C正确；过a点画等势线，与b点所在电场线的交点与b点位置比较知b点的电势高于a点的电势，故B错误；同理分析可得d点电势高于c点电势，故D正确．

7．（多选）如图6所示，光滑绝缘细管与水平面成30°角，在管的上方P点固定一个点电荷＋Q，P点与细管在同一竖直平面内，管的顶端A与P点连线水平．电荷量为－q的小球（小球直径略小于细管内径）从管中A处由静止开始沿管向下运动，在A处时小球的加速度为a，图中PB⊥AC，B是AC的中点，不考虑小球电荷量对电场的影响．则在＋Q形成的电场中（　　）

图6

A．A点的电势高于B点的电势

B．B点的电场强度大小是A点的4倍

C．小球从A到C的过程电势能先减小后增大

D．小球运动到C处的加速度为g－a

答案　BCD

解析　在正点电荷形成的电场中，离电荷越近的地方电势越高，故A错误；由E＝k

和rPA＝2rPB，可得EB＝4EA，故B正确；小球从A到C的过程中，电场力先做正功后做负功，故电势能先减小后增大，C正确；小球在A、C两点所受电场力的大小相等，设为F，在A点有：

mgsin30°＋Fcos30°＝ma；在C点有：

mgsin30°－Fcos30°＝ma′，两式相加整理即得a′＝g－a，故D正确．

题组三　等分法确定等势点

8．下列图中，a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势φa＝10V，φb＝2V，φc＝6V，a、b、c三点在同一平面上，图中电场强度的方向表示正确的是（　　）

答案　D

解析　直线ab的中点的电势为6V，与c点等电势．电场的方向则由电势高处指向电势低处．故D图正确．

9．a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在平面平行．已知a点的电势为20V，b点的电势为24V，d点的电势为4V，如图7所示．由此可知c点的电势为（　　）

图7

A．4VB．8VC．12VD．24V

答案　B

解析　方法一：

连接bd，因Ubd＝20V，可将bd等分为5份，找到4个等分点e、f、g、h，由图可知φe＝20V，则a、e等电势，由对称关系可知h点与c点电势相等，即φc＝8V.

方法二：

因为bc与ad平行且相等，由匀强电场特点可得：

φb－φc＝φa－φd，解得φc＝8V.

题组四　电场力做功与电势差、电势能的综合

10．（多选）在光滑的绝缘水平面上，有一个正方形abcd，顶点a、c分别固定一个正点电荷，电荷量相等，如图8所示．若将一个带负电的粒子置于b点，自由释放，粒子将沿着对角线bd往复运动．粒子从b点运动到d点的过程中（　　）

图8

A．先做匀加速运动，后做匀减速运动

B．先从高电势到低电势，后从低电势到高电势

C．电势能与机械能之和保持不变

D．电势能先减小后增大

答案　CD

解析　a、c两点固定相同的正点电荷，则b、d为等量同种点电荷连线的中垂线，由电场线分布情况可知带电粒子不可能做匀加速或匀减速运动，故A错误；等量同种正点电荷连线中垂线上的中点电势最高，带负电的粒子从b点运动到d点的过程中，先从低电势到高电势，再从高电势到低电势，故B错误；带电粒子从b到d运动过程中所受电场力先由b指向d，后由d指向b，所以电场力先做正功后做负功，因此电势能先减小后增大，故D正确；只有电场力做功，电势能与机械能之和保持不变，故C正确．

11.为使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线匀速地由A运动到B，必须对电荷施加一恒力F，如图9所示．若AB＝0.4m，α＝37°，q＝－3×10－7C，F＝1.5×10－4N，A点电势φA＝100V．已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.（不计重力）

图9

（1）在图中用实线画出电场线，用虚线画出通过A、B两点的等势线，并标明它们的电势值；

（2）q在由A到B的过程中电势能的变化量是多少？

答案　

（1）见解析图　

（2）电势能增加4.8×10－5J

解析　

（1）由平衡条件可知电场力方向与F方向相反、大小相等，又知电荷带负电，故电场强度方向与电场力方向相反，所以电场方向与F方向相同，如图所示．

E＝

＝

N/C

＝5×102N/C，

UBA＝φB－φA＝－E

cosα，

φB＝φA－E

cosα＝－60V.

（2）负电荷在由A到B的过程中，电势能增加，增量为

ΔEp＝qEd＝qUBA＝－3×10－7×（－160）J＝4.8×10－5J.