不动点原理及应用.docx

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不动点原理及应用

不动点原理及应用

院－系：

数学学院

专业：

数学与应用数学

年级：

学生姓名：

学号：

导师及职称：

200年5月

ThePrincipleandApplicationofImmovablepoint

Department:

MathematicsandAppliedMathematics

Grade:

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Tutor:

摘要：

介绍了banach不动点原理即压缩影射原理，及其在求一些数列极限、方程近似解中的应用；然后讲述了不动点原理在微分方程、积分方程解的存在性、和唯一性方面的重要应用即逐次逼近法；再讲述不动点原理在线性方程组方面的应用；简述不动点原理在积分中值定理、隐函数存在定理方面的应用。

关键词：

Banach不动点原理；压缩影射；应用。

ThePrincipleandApplicationofImmovablepoint

Abstract:

Thebanachfixedpointcompressioninsinuatethattheprincipleofprinciple,andforsomeoftheserieslimit,equationsapproximatesolutionofandthenonafixedpointintheprincipleofdifferentialequations,integralequationsoftheexistenceof,anduniquenessofTheimportantapplicationsthatsuccessiveapproximationmethod;againonthefixedpointofprinciple-theapplicationofequations;brieflyfixedpointprincipleintheintegralvaluetheorem,theimplicitfunctiontheoremtheapplication.

Keywords:

Banachfixedpointprinciple;compressioninsinuate;application.

第一章引入……………………………………

1前言……………………

2预备知识…………………………

第二章不动点的应用

1“不动点原理”在数列极限中的应用……………………

2“不动点原理”在求方程近似解中的应用………………………………

3“不动点原理”在积分方程的应用………………………………

4不动点定理在常微分方程中的应用………………………………

5不动点在解线性方程组方面的应用………………………………

6“不动点原理”在积分第一中值定理的应用………………………………

7“不动点原理”在隐函数存在定理的应用………………………………

第三章结论…………………………

参考文献……………………

致谢……………………

第一章引入

1前言

我在这篇文章主要是归纳不动点原理的应用，别人做的只是用不动点原理在某一方面的应用，而我是在他们的基础上归纳综述。

在现实中，我们要研究关于解的存在性问题都可以用不动点原理来求，因为在很多时候我们要求解时根本无法求出，除了简单的方程外，但是我们可以用不动点原理找到解存在。

我主要做的是用不动点原理即压缩影射原理：

求一些数列极限的应用。

方程近似解中的应用。

然后讲述了不动点原理在微分方程、积分方程解的存在性、和唯一性方面的重要应用即逐次逼近法。

再讲述不动点原理在线性方程组方面的应用。

简述不动点原理在积分中值定理方面的应用。

隐函数存在定理方面的应用。

2预备知识

定义1给定（X，），如何对于影射T：

XX，存在常数L，，使得，则称T是一个压缩影射.

定义2给定度量空间及的影射T,如果存在使，则称影射T的不动点.

定义3（基本列）给定,,若对任取的,有自然数使对,都成立,则称序列是基本列.

定义4（完备度量空间）距离空间,若X中任一基本列都收敛,则称它是完备的.

定理（Banach不动点原理-压缩影射原来）非空的完备度量空间,T是到其自身的一个压缩影射,则T在X中存在唯一的不动点.

例1设是定义在[a,b]上的函数（不恒为常数）,且满足条件:

在[a,b]内处处有导数,且;

对,有,那么方程有唯一解.

证明:

由在[a,b]内处处有导数,则对

且0

第二章不动点原理的应用

1“不动点原理”在数列极限中的应用

求数列极限的方法有很多种，比较典型的有单调有界原理和迫敛法，若能熟练掌握不动点原理，也能方便求出一些数列极限。

为了应用方便，上述定理1可改为以下定理

定理对数列,若存在常数r,0

则收敛.

证明:

自然数n,p.

所以为基本列（Cauchy列）,从而收敛

若递推公式由一元可微函数给出,则可通过的导数来考察,若存在实数r,使的,则应用微分中值定理,可知满足压缩影射的条件.

不过,这时必须验证,是否保持在成立的范围之内.

例1设为常数，求。

解：

我们先来构造一个函数，显然在上连续可导，因为，当时

又因为得到

故由定理知道收敛

设又连续，即有从而

得到即

上例我们是通过构造函数，得到一个压缩映射，利用“不动点原理”很快就能求出数列极限。

这里需注意的是一些例题貌似压缩影射,其实不然,见下例.

例2设影射为自己,且（3）

任取,令（4）求证数列有极限,满足方程.

注由（3）、（4）式可得（5）

此式很像压缩影射的条件,但实际不然,因为（5）式相当于r=1,而非0

证明:

（3）式表明是连续,只要证明了单调,,自然有极限,在（4）式中取极限更知的极限满足,因为映为自身,所以当时,由式（4）知,既然,故一切n,恒有,剩下只需证明单调性.

事实上,若,则,而任一n,若时,更有

将带负号的项移到不等式的另一端,然后同除2,即得

故单增.同理,若时,可证单减.

例证明若在区间上可微,

任取令

,……,,……,则,为方程的根（即为的不动点）.

证明:

已知,令设则

即,这就证明了一切.

应用微分中值定理,在

这表明是压缩影射,所以收敛.且,为的根.

若递推公式由给出,并已证明了存在,连续.则在中取极限,更得到了A应满足的方程,此方程表明A是的不动点,至于方程的根是否存在,需用其它方法进行讨论.

以上介绍了用“不动点原理”求极限的方法.

2“不动点原理”在求方程近似解中的应用

实际应用中，常需要求方程的实根，但除了一些简单的方程外，一般是很不容易求得的。

作为导数的应用，有一种求方程近似解的方法——牛顿切线法，其实应用压缩映射原理来求方程近似解更方便、更简单。

定理（微分中值定理）若函数满足如下条件

在闭区间上连续；

在开区间内可导，则在内至少存在一点使得。

为了方便利用，我们可以把上述的定理1再改为以下定理

定理若递推公式有一元可微函数给出，则可通过的导数来考察。

若存在实数，使得，则应用微分中值定理，可知满足压缩映射条件

不过这时必须验证是否持在成立的范围之内。

例1求方程的近似解

分析若令则，但对任意，。

故在的范围内，不是压缩映射，因此不能直接应用定理，然而我们可以改变一下迭代格式，使定理能够应用。

为此我们引进一个叁数，可使

例如取，则当时时

于是我们可采用迭代格式

3“不动点原理”在积分方程的应用

下面应用不动点定理给出积分方程解的存在性和唯一性的证明.

引理设，是定义在内的可测函数,满足

记,

那么,当时,必有唯一的适合线性积分方程

证明:

在上定义影射

由于

可知,因此是到的影射.

只要证明是压缩影射即可证明方程解的存在、唯一性.

对任意的,

记,由假设有,而,即是压缩影射,由定义1,存在唯一的满足,

即

也就是说,当必有唯一的适合线性方程

.

例给定积分方程

其中是上的已知连续函数，是上的已知连续函数。

证明当足够小时（是常数）式在上存在唯一连续解。

证明：

在内规定距离

考虑映射，当充分小时，是的压缩映射，因为

此处，故当时，是压缩算子，此时拒定理1知方程对任一解存在唯一，任取初始逼近。

令则

是第次的近似是精确解

4不动点定理在常微分方程中的应用

应用不动点定理证明常微分方程解的存在性和唯一性.

例设是矩形上的二元连续函数.在这个矩形中,其中为一常数,又关于满足Lipschitz条件,即存在常数,对任意的,,有,那么方程有唯一的满足初始条件的连续函数解,其中.

证明:

设满足,按通常的距离是完备是距离空间,因此是完备的空间.

令,则是的影射,事实上，对于,因,而在上二元连续,所以右端的积分有意义,它是积分上限的连续函数,由对于一切的

.

所以.

事实上,由关于满足Lipschitz条件,故对任意两点,有令则且,所以是上的压缩影射.

由定义1,存在唯一的使得.

由于方程满足初始条件的解与的不动点一致,因此就得到了原方程的解的存在、唯一性.

5不动点在解线性方程组方面的应用

例在维实向量中,采用范数其中则不难验证在范数下成为一个空间.在中讨论下列线性代数方程组在系数满足什么条件时,存在唯一的解.

解:

将写成下列向量形式,其中,是矩陈,.令,则

又可以写成.显然是的一个影射.

任取令

而于是利用范数有

由此可见,当然一切成立时,是上的压缩影射.从而有唯一不动点,即是方程组的唯一解.

6“不动点原理”在积分第一中值定理的应用

定理4若连续函数在上单调递增，则在上存在唯一一点使得

证明不妨设在上单调递增，单调递减证法一样

在空间中作映射

是到自身的映射。

事实上，由于，在上严格单调递增，所以

并且于是

从而是到自身的映射，又对于，不妨设有：

因为在上严格单调递增，所以，故必存在一个数，使得成立，所以有：

从而是到自身的压缩映射，由不动点原理，存在唯一一点，使得，

即

从而

7“不动点原理”在隐函数存在定理的应用

定理5设二元函数满足下列条件：

在区域上，及上连续；

；

则有以下结果，存在点的某个领域以及唯一的连续函数，它在内满足：

证明：

考察映射，

其中，这里表示定义在闭区间上取值在R上的连续函数空间，其距离规定为：

先证映射T为压缩映射，因为在上连续，所以，存在，使得当时，

记

由微分中值定理对

存在使得

所以T为压缩映射。

今取

则在中是闭的，从而是完备的。

下面证明映射取，注意到，

由于的连续性，所以存在，当时

（这里）

所以当时

此外还有：

从而证明了映射。

第三章结论

不难看出，利用压缩映射原理来处理一些问题，的确非常简单、方便

参考文献

[1]刘炳初.泛函分析[M].北京：

科学出版社，1998.

[2]张敏等.不动点原理及其应用.学术期刊第21卷第2期.2005

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M]，北京：

高等教育出版社，1993.[4]华东师范大学数学系编.数学分析第三版.高等教育出版社.

[5]张恭