数学建模之糖果销售问题.docx
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数学建模之糖果销售问题
论文题目：
糖果配比销售问题的探讨
姓名
学号
专业班级
1
李林
311005060214
遥感1002
糖果配比销售问题的探讨
摘要:
这是一个优化问题,即在一些约束条件下寻找出解决这个问题的最佳方案,在此建立优化模型.对于这个问题,要求我们在周利润最大的前提下.决定购进杏仁、核桃仁、腰果仁和胡桃仁的数量以及各果仁糖中果仁的配比。
假设所配制的糖果可以全部售出,无剩余,并且从供应商进购的原料全部都用于配制糖果,也无剩余,对问题进行简化,然后通过题目给出的约束条件和目标函数,用LINDO进行求解。
对于问题二.我将分十一种情况进行探讨当供应量增加10%时.各种配比和利润如何变化。
通过这次探讨.可以为商家提供一个可以使利润最大化的配比销售方案。
关键词:
优化模型、利润最大化、销售方案、果仁配比。
提出问题
糖果配比销售问题
某糖果店出售三种不同品牌的果仁糖.每个品牌含有不同比例的杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁。
为了维护商店的质量信誉.每个品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必须满足的.如下表所示：
品牌
含量需求
售价/美元/kg
普通
腰果仁不超过20%
0.89
胡桃仁不低于40%
核桃仁不超过25%
杏仁没有限制
豪华
腰果仁不超过35%
1.10
杏仁不低于40%
核桃仁、胡桃仁没有限制
蓝带
腰果仁含量位于30%~50%之间
1.80
杏仁不低于30%
核桃仁、胡桃仁没有限制
每周商店从供应商处能够得到的每类果仁的最大数量和售价如下表：
售价/美元/kg
每周最大供应量/kg
杏仁
0.45
2000
核桃仁
0.55
4000
腰果仁
0.70
5000
胡桃仁
0.50
3000
1）商店希望确定每周购进杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量.使周利润最大.建立数学模型.帮助该商店管理人员解决果仁混合的问题。
2）若在圣诞周.豪华和蓝带品牌的销售量会增加.这时商店会让果仁供应量增加10%,试问在这种情况下混合配比是否改变.圣诞周利润会改变多少？
请分情况说明。
简化假设
1.糖果厂所配制的所有糖果均能全部售出.无剩余；
2.所购入的原料全部都制成了糖果.无剩余；
3.糖果厂资金充足.不存在资金周转的问题；
建立模型
设：
普通类糖果的质量为x1千克.豪华类糖果的质量为x2千克.蓝带类糖果的质量为x3千克；
普通类中：
腰果仁的含量为y1千克.胡桃仁的含量为z1千克；
核桃仁的含量为m1千克.杏仁的含量为n1千克；
豪华类中：
腰果仁的含量为y2千克.胡桃仁的含量为z2千克；
核桃仁的含量为m2千克.杏仁的含量为n2千克；
蓝带类中：
腰果仁的含量为y3千克.胡桃仁的含量为z3千克；
核桃仁的含量为m3千克.杏仁的含量为n3千克；
普通类糖果的销售额为q1美元.豪华类糖果的销售额为q2美元.蓝带类糖果的销售额为q3美元；
腰果仁的原料费为p1美元.胡桃仁的原料费为p2美元.核桃仁的原料费为p3美元.杏仁的原料费为p4美元；
该商店的利润为w美元；
根据各品牌中各种糖果的含量可以得到如下计算式：
普通类中：
y1-0.2x1<=0
（1）
m1-0.25x1<=0
（2）
z1-0.4x1>=0（3）
n1>=0（4）
y1+z1+m1+n1-x1=0（5）
豪华类中：
y2-0.35x2<=0（6）
n2-0.4x2>=0（7）
z2>=0（8）
m2>=0（9）
y2+z2+n2+m2-x2=0（10）
蓝带类中：
0.3x3-y3<=0（11）
y3-0.5x3<=0（12）
n3-0.3x3>=0（13）
z3>=0（14）
m3>=0（15）
y3+z3+n3+m3-x3=0（16）
根据商店每周能从供应商处得到的每类果仁的最大数量可得如下计算式：
腰果仁：
y1+y2+y3<=5000（17）
胡桃仁：
z1+z2+z3<=3000（18）
核桃仁：
m1+m2+m3<=4000（19）
杏仁：
n1+n2+n3<=2000（20）
由各类糖果的销售额可得如下计算式：
普通类：
q1=0.89x1（21）
豪华类：
q2=1.10x2（22）
蓝带类：
q3=1.80x3（23）
由各类糖果的原料费可得如下计算式：
腰果仁：
p1=0.7*（x1+x2+x3）（24）
胡桃仁：
p2=0.5*（z1+z2+z3）（25）
核桃仁：
p3=0.55*（m1+m2+m3）（26）
杏仁：
p4=0.45*（n1+n2+n3）（27）
由（21）-（25）可得该商店的周利润为：
W=q1+q2+q3+q4-p1-p2-p3-p4（28）
利润最大即求目标函数MAXW
问题转化为以
（1）-（20）为约束条件、（28）为目标函数的数学问题.经简单的化简.输入LINDO计算.得到如下计算结果：
（LINDO输出的具体结果附录1附于本文最后）
商店的最大利润为10069.70美元.配比比例如表格所示。
腰果仁
胡桃仁
核桃仁
杏仁
配制糖果量（kg）
普通糖果
1090.91
3000.00
1363.64
0.00
豪华糖果
0.00
0.00
0.00
0.00
.00
蓝带糖果
2030.30
0.00
2636.36
2000.00
购买果仁量（kg）
3121.21
3000.00
4000.00
2000.00
问题二;
若在圣诞周.豪华和蓝带品牌的销售量会增加.这时商店会让果仁供应量增加10%,试问在这种情况下混合配比是否改变.圣诞周利润会改变多少？
请分情况说明.
情况1：
若各种果仁量均增加10%
由于配置标准未曾改变.糖果出售价格及果仁进价都没有改变.同时糖果又能全部售出.所以只需在问题1最优解的基础上个配料增加10%即可.而相应的利润也会增加10%.变为10069.70*（100%+10%）=11076.67元
情况2：
若腰果仁、胡桃仁同时增加10%
由于配比标准未变.只需要将（17）、（18）改为
y1+y2+y3+y4<=5000*（100%+10%）（29）
z1+z2+z3+z4<=3000*（100%+10%）（30）
问题转化为以
（1）-（16）（29）、（30）为约束条件、（28）为目标函数的数学问题.经简单的化简.输入LINDO计算.得到如下计算结果：
（LINDO输出的具体结果附录2附于本文最后）
商店的最大利润为10233.33美元.配比比例如表格所示。
腰果仁
胡桃仁
核桃仁
杏仁
配制糖果量（kg）
普通糖果
1200.00
3300.00
1500.00
0.00
6000.00
豪华糖果
0.00
0.00
0.00
0.00
.00
蓝带糖果
2166.67
0.00
2500.00
2000.00
6666.67
购买果仁量（kg）
3366.67
3000.00
4000.00
2000.00
情况3：
腰果仁、核桃仁同时增加10%
由于配比标准未变.只需要将（19）改为
m1+m2+m3+m4<=4000*（100%+10%）（31）
问题转化为以
（1）-（16）（29）、（31）为约束条件、（28）为目标函数的数学问题.经简单的化简.输入LINDO计算.得到如下计算结果：
（LINDO输出的具体结果附录3附于本文最后）
商店的最大利润为10074.24美元.配比比例如表格所示。
腰果仁
胡桃仁
核桃仁
杏仁
配制糖果量（kg）
普通糖果
1090.91
3000.00
1363.64
0.00
5454.55
豪华糖果
0.00
0.00
0.00
0.00
.00
蓝带糖果
2000.00
0.00
2666.67
2000.00
6666.67
购买果仁量（kg）
3090.91
3000.00
4030.31
2000.00
情况4：
腰果仁、杏仁同时增加10%
由于配比标准未变.只需要将（20）改为
n1+n2+n3+n4<=2000*（100%+10%）（32）
问题转化为以
（1）-（16）（29）、（32）为约束条件、（28）为目标函数的数学问题.经简单的化简.输入LINDO计算.得到如下计算结果：
（LINDO输出的具体结果附录4附于本文最后）
商店的最大利润为10074.24美元.配比比例如表格所示。
腰果仁
胡桃仁
核桃仁
杏仁
配制糖果量（kg）
普通糖果
1090.91
3000.00
1363.64
0.00
5454.55
豪华糖果
0.00
0.00
0.00
0.00
.00
蓝带糖果
2496.97
0.00
2636.36
2200.00
7333.33
购买果仁量（kg）
3587.88
3000.00
4000.00
2200.00
情况5：
胡桃仁、核桃仁同时增加10%
问题转化为以
（1）-（16）（30）、（31）为约束条件、（28）为目标函数的数学问题.经简单的化简.输入LINDO计算.得到如下计算结果：
（LINDO输出的具体结果附录5附于本文最后）
商店的最大利润为10258.33美元.配比比例如表格所示。
腰果仁
胡桃仁
核桃仁
杏仁
配制糖果量（kg）
普通糖果
1200.00
3300.00
1500.00
0.00
6000.00
豪华糖果
0.00
0.00
0.00
0.00
.00
蓝带糖果
2000.00
0.00
2666.67
2000.00
6666.67
购买果仁量（kg）
3200.00
3300.00
4166.67
2000.00
情况6：
胡桃仁、杏仁同时增加10%
问题转化为以
（1）-（16）（30）、（32）为约束条件、（28）为目标函数的数学问题.经简单的化简.输入LINDO计算.得到如下计算结果：
（LINDO输出的具体结果附录6附于本文最后）
商店的最大利润为11016.67美元.配比比例如表格所示。
腰果仁
胡桃仁
核桃仁
杏仁
配制糖果量（kg）
普通糖果
1200.00
3300.00
1500.00
0.00
6000.00
豪华糖果
0.00
0.00
0.00
0.00
.00
蓝带糖果
2633.33
0.00
2500.00
2200.00
7333.33
购买果仁量（kg）
3833.33
3300.00
4000.00
2200.00
情况7：
核桃仁、杏仁同时增加10%
问题转化为以
（1）-（16）（31）、（32）为约束条件、（28）为目标函数的数学问题.经简单的化简.输入LINDO计算.得到如下计算结果：
（LINDO输出的具体结果附录7附于本文最后）
商店的最大利润为10897.58美元.配比比例如表格所示。
腰果仁
胡桃仁
核桃仁
杏仁
配制糖果量（kg）
普通糖果
1090.91
3000.00
1363.64
0.00
5454.55
豪华糖果
0.00
0.00
0.00
0.00
.00
蓝带糖果
2200.00
0.00
2933.33
2200.00
7333.33
购买果仁量（kg）
3290.91
3000.00
4296.97
2200.00
情况8：
仅腰果仁增加10%
问题转化为以
（1）-（16）（29）为约束条件、（28）为目标函数的数学问题.经简单的化简.输入LINDO计算.得到如下计算结果：
（LINDO输出的具体结果附录8附于本文最后）
商店的最大利润为10069.70美元.配比比例如表格所示。
腰果仁
胡桃仁
核桃仁
杏仁
配制糖果量（kg）
普通糖果
1090.91
3000.00
1363.64
0.00
5454.55
豪华糖果
0.00
0.00
0.00
0.00
.00
蓝带糖果
2030.30
0.00
2636.36
2000.00
6666.67
购买果仁量（kg）
3121.21
3000.00
4000.00
2000.00
情况9：
仅胡桃仁增加10%
问题转化为以
（1）-（16）（30）为约束条件、（28）为目标函数的数学问题.经简单的化简.输入LINDO计算.得到如下计算结果：
（LINDO输出的具体结果附录9附于本文最后）
商店的最大利润为10233.33美元.配比比例如表格所示。
腰果仁
胡桃仁
核桃仁
杏仁
配制糖果量（kg）
普通糖果
1200.00
3300.00
1500.00
0.00
6000.00
豪华糖果
0.00
0.00
0.00
0.00
.00
蓝带糖果
2166.67
0.00
2500.00
2000.00
6666.67
购买果仁量（kg）
3366.67
3300.00
4000.00
2000.00
情况10：
仅核桃仁增加10%
问题转化为以
（1）-（16）（31）为约束条件、（28）为目标函数的数学问题.经简单的化简.输入LINDO计算.得到如下计算结果：
（LINDO输出的具体结果附录10附于本文最后）
商店的最大利润为10074.24美元.配比比例如表格所示。
腰果仁
胡桃仁
核桃仁
杏仁
配制糖果量（kg）
普通糖果
1090.91
3000.00
1363.64
0.00
6000.00
豪华糖果
0.00
0.00
0.00
0.00
.00
蓝带糖果
2000.00
0.00
2666.67
2000.00
6666.67
购买果仁量（kg）
3090.91
3000.00
4030.31
2000.00
情况11：
仅杏仁增加10%
问题转化为以
（1）-（16）（32）为约束条件、（28）为目标函数的数学问题.经简单的化简.输入LINDO计算.得到如下计算结果：
（LINDO输出的具体结果附录11附于本文最后）
商店的最大利润为10853.03美元.配比比例如表格所示。
腰果仁
胡桃仁
核桃仁
杏仁
配制糖果量（kg）
普通糖果
1090.91
3000.00
1363.64
0.00
5454.55
豪华糖果
0.00
0.00
0.00
0.00
.00
蓝带糖果
2496.97
0.00
2636.36
2200.00
7333.33
购买果仁量（kg）
3587.88
3000.00
4000.00
2200.00
模型评价
本模型没有考虑糖果销售情况.只是假设所有配制糖果均能完全销售.然而在实际问题中考虑到商店的实际情况.包括平时员工工资.销售时长.营业税以及糖果多样性对商店销售情况的影响.单纯进行的一个优化.用销售额与进价之差表示利润。
具有一定的局限性。
附录
附录一
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP12
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）10069.70
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X15454.5454100.000000
X20.0000000.000000
X36666.6665040.000000
N10.0000003.321212
N20.0000002.666667
N32000.0000000.000000
N40.0000004.366667
M11363.6363530.000000
M20.0000000.000000
M32636.3635250.000000
M40.0000000.700000
Y11090.9090580.000000
Y20.0000000.000000
Y32030.3029790.000000
Y40.0000000.700000
Z13000.0000000.000000
Z20.0000000.345455
Z30.0000000.345455
Z40.0000001.045455
附录二
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP0
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）10233.33
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X16000.0000000.000000
X20.0000000.000000
X36666.6665040.000000
N10.0000003.321212
N20.0000002.666667
N32000.0000000.000000
N40.0000004.366667
M11500.0000000.000000
M20.0000000.000000
M32500.0000000.000000
M40.0000000.700000
Y11200.0000000.000000
Y20.0000000.000000
Y32166.6667480.000000
Y40.0000000.700000
Z13300.0000000.000000
Z20.0000000.345455
Z30.0000000.345455
Z40.0000001.045455
附录三
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP1
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）10074.24
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X15454.5454100.000000
X20.0000000.000000
X36666.6665040.000000
N10.0000003.453030
N20.0000002.641667
N32000.0000000.000000
N40.0000004.566667
M11363.6363530.000000
M20.0000000.000000
M32666.6667480.000000
M40.0000000.550000
Y11090.9090580.000000
Y20.0000000.150000
Y32000.0000000.000000
Y40.0000000.700000
Z13000.0000000.000000
Z20.0000000.563636
Z30.0000000.563636
Z40.0000001.113636
附录四：
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）10853.03
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X15454.5454100.000000
X20.0000000.000000
X37333.3334960.000000
N10.0000003.321212
N20.0000002.666667
N32200.0000000.000000
N40.0000004.366667
M11363.6363530.000000
M20.0000000.000000
M32636.3635250.000000
M40.0000000.700000
Y11090.9090580.000000
Y20.0000000.000000
Y32496.9697270.000000
Y40.0000000.700000
Z13000.0000000.000000
Z20.0000000.345455
Z30.0000000.345455
Z40.0000001.045455
附录五：
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）10258.33
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X16000.0000000.000000
X20.0000000.000000
X36666.6665040.000000
N10.0000003.453030
N20.0000002.641667
N32000.0000000.000000
N40.0000004.566667
M11500.0000000.000000
M20.0000000.000000
M32666.6667480.000000
M40.0000000.550000
Y11200.0000000.000000
Y20.0000000.150000
Y32000.0000000.000000
Y40.0000000.700000
Z13300.0000000.000000
Z20.0000000.563636
Z30.0000000.563636
Z40.0000001.113636
附录六：
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）11016.67
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X16000.0000000.000000
X20.0000000.000000
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