巧借三角形的两条内外角平分线夹角的模型解决问题.docx
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巧借三角形的两条内外角平分线夹角的模型解决问题
巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型解决问题
新北实验中学严云霞
【基本模型】
三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系
模型一：
当这两个角为内角时：
这个夹角等于90。
与第三个角一半的和（如图1）；模型二：
当这两个角为外角时：
这个夹角等于90。
与第三个角一半的差（如图2）；模型三：
当这两个角为一内角、一外角时：
这个夹角等于第三个角一半（如图3）;
【分析】三个结论的证明
例1、如图△ABC中，BDCD为两个内角平分线,
1
试说明：
/490。
+丄/Ao
2
（方法一）解：
•••BDCD为角平分线
1
1
•••/CBD=±/ABC
/BCD=・/ACB
9
2
=180°-
1
（ZABC+ZACB
2
=180°-
-
（180°-ZA）
2
=180°-
1
1
-\zvccoi口a
2
2
=90°+-
ZA
2
（方法二）解：
连接AD并延长交BC于点E
解：
•••BDCD为角平分线
1
1
•••ZCBD=±ZABC,ZBCD=・ZACB
22
1
=ZBAD—ZABC
n
同理可得/CDEAZCAD+1/ACB
2
又v/BDOZBDE+ZCDE•••/BDO/BAD+丄/ABC+ZCAD+1/ACB
22
1
=/BAC+1（/ABC+ZACB
2
1
=/BAC+1（180°—/BAC
2
1
=90°+1/BAC
2
例2、如图，ED、CD为从BC的两条外角平分线，
1
试说明：
/D=90°—1/Ao
2
解：
vBDCD为角平分线
1
•••/CBD=1/CBE
2
1
/BCD=1/BCF
2
又v/CBE/BCDABC的外角
•••/CBE=/A+/ACB
/BC1A+/ABC
•••/CBEA/BdA+/ACB+/A+/ABO/A
+180°
在厶BCD/D=180°—（/CBM/BCD
=180°-J/rotA1/BCF
22
=180°1（/CBEA/BCF
2
=180°1（/A+180°）
2
=90°—J/A
2
【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的
夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180oo
例3:
如图，在ZXABC中，BD为/ABC的平分线，CD为/ACE的平分线，试说明：
/
D=1/A；
解：
vBD为角平分线，
1
•••/CBD二1/ABC,
2
又vCD为/ACE的平分线
1
•••/DCE=1/ACE
2
而/DCE%ABCD的一个外角…/DCE=/D+ZDBC,即/D=ZDCE-ZDBC
11
•ZD=1ZACE・1ZABC
22
1
=1（ZACE-ZABC）2
=1ZAo
2
【巧借模型解决问题】一、运用模型直接求值
例4、如图，在ZkABC中，ZA=40°,D点是ZABC和ZACB角平分线的交点，则ZBDC=。
【思路分析】由条件知，这是图
反之，如果已知ZBDC的度数，则把度数代入公式：
ZBDC二90°+-ZA,
2
可以解出ZA的度数。
二、运用模型揭秘画图题
例5、小明用下面的方法画出了45。
角：
作两条互相垂直的直线MN、PQ,点A、B分别是MN、PQ上任意一点，作ZABP的平分线BD,BD的反向延长线交ZOAB的平分线于点C,则ZC就是所求的45。
角•你认为对吗？
请给出证明.
【思路分析】通过对两条角平分线的分析，可以发现ACBD分别是△AOB的内角
平分线和外角平分线的夹角。
根据图3的结论：
这个夹角等于第三个角一半,
1
可知ZC=》ZAOBo
D
\
M
o
A
O
N
2
解：
先模仿图3证明ZC=1ZAOB2
又vZAOB=9°
1
•••ZC=1ZAOB=45
2
三、运用模型探究规律，提升拓展
例6问题引入：
（1）如图①，在厶ABC中，点O是ZABC和ZACB平分线的交点，若ZA=a,则ZBOC=（用a表示）；拓展研究：
（2）如图②，ZCBO=1ZABC,ZBCO=1ZACBZA=a,试求ZBOC的度数
33
（用a表示）归纳猜想：
（3）若BO、CO分别是△ABC的/ABC/ACB的n等分线，它们交于点O,/
1i
CBO=/ABC,/BCOJ/ACB/A=a,贝U/BOC=
nn
（用3表示）.
类比探索：
11
（4）特例思考：
如图③，/CBO=±/DBC,/BCOJ/ECB/A=a,求/BOC33
的度数（用d表示）.
一般猜想：
若BO、CO分别是△ABC的外角/DBC/ECB的n等分线，它们
1i
交于点0,/CBO=±/DBC,/BCO）/ECB/A=a,请猜想/BOC=（用a
nn
表示）.
【思路分析】
11
（1）此为图1的模型，/0=90。
+丄/BAC=90+丄a
22
（2）把角平分线换成1,但证明的思路大致相似。
3
在OC中：
/B00180°-（/OBCA/OCB
1
=180°-1（/ABC+/ACB
3
1
=180。
-丄（180°—/A）
3
11
=180°一丄X180°+丄/A
33
1
=120°+丄/A
3
1=120°+1a
3
（3）把角平分线换成-证明的思路类似。
n
在中：
/B00180°—（/OBC+/OCB
1
=180°——（/ABC+/ACB
n
1
=180°—丄（180°—/A）
11
=180°-iX180°+〔/Ann1
n1
=X180
n
+1/A
n
=LX180°+1a
nn
⑷此为图2的模型中,把角平分线换肿，普明如下:
v/CBD/BCEABC的夕卜角
/•/CBD_/A+/ACB,/BCE=/A+/ABC
•••/CBD+/BCE=/A+/ACB+/A+/ABC_/A+180在中：
/BOC_180°
般猜想：
把|再次推广为S证明类似:
3
（/CBO+/BCO
—（/CBO+/BCO
（1\CBD+・力BCE
n
在中：
/BOO180°
【小结】在
（2）（3）（4）的结果
—0/qCBD+1/QBCE
•VCBMABCE
3
1
3（/A+l180）
1
nXJ80—1/A
in
n31
n!
X180一a
n
对比中，我们发现这两个夹角不再互补,但仍然存在中间的运算符号相反的问题，从一般猜想中可以发现这个规律。
虽然在问题设计中引起一连串的变式，从-变成1,再从丨推广为-，但问题证明
233n
的思路并未发生质的变化。
四、三种模型合为一体，渗透分类思想例7、好学的小红在学完三角形的角平分线后，钻研了下列4个问题，请你一起参与，共同进步•如图，△ABC点丨是/ABC与/ACB平分线的交点，点D是/MBC与/NCB平分线的交点，点E是/ABC与/ACG平分线的交点.
问题
（1）：
若/BAC=50,贝U/BIC=°/BDC=.
问题
（2）猜想/BEC与/BAC的数量关系，并说明理由.
问题（3）:
若/BAC=x（Ovxv90）,则当/ACB等于度（用含x的代数式表示）
时，CE//AB.说明理由.
问题（4）:
若厶BDE中存在一个内角等于另一个内角的三倍，试求/BAC的度数.
（/CBD+/BCE（/A+180°）
A
【思路分析】
（1）已知点I是两内角/ABC、/ACB平分线的交点，故由图1归纳的模型：
/BIC—9&£/BAC由此可求/BIC;因为CDBD分别为△ABC的两外角平分线,故由图2的模型：
/BDC=190-丄/BAC,由此可求/BDC
2
（2）因为BE、CE分别为△ABC的内角、外角平分线，故由图3的模型：
/
BEC=
二丄/BAC由此可求/BEC
（3）当CE//AB时，/BEC=・/ABC,由（3）可知，/ABC=ZBAC/ACB=・（180-/BAC.
（4）由题意可证：
△BDE是直角三角形，/DBE=9O,a/D+/E=90°o已知条
件中：
一个内角等于另一个内角的三倍，贝U不明确，所以应当分类讨论。
①若/EBD=3/D；②若/EBD=3/E;③若/D=3/E;④若/E=3/D・
解：
（1）v点丨是两角B、C平分线的交点，
•••/BIC=180-（/IBC+/ICB
=180-[（/ABC+/ACB
=180。
一一（180°-/A）=90+二/BAC=115;
类似证明/BDC=180—/BIC=90°-±/BAC=65;
或者也可以这样证明：
：
BEBD分别为/ABC的内角、外角平分线，
•••/,BC丄/ABC,/CBD=/CBM；
•••/DBI=/IBC+/CBD/IBC丄/ABC見/CBM
（/ABC+/CBM）
4X1805
2
•••/DBI=90°,同理/DCI=90°,
yrnnir7CDBIrBDC180_/BIC90_辛BAC65
在四边形中，/='养=；
（2）有图3的模型可证/BEC丄/BAC
[2]
也可借助上面的小题这样证明：
在厶BDE中，/DBI=90°,
/•/BEC=90-/BDC
=90—（90丄/BAQ丄ZBAC
22，
（3）当/ACB等于（180-2x）o时，CE//AB.理由如下:
…CE//AB,/•/ACE/A=x°,
vCE是/ACG的平分线，
/•/ACG=2/ACE=2X,
/•/ABC=/ACG-/BAC=2x-x°=x°,
•••/ACB二180—/BAC・/ABC=（180-2x）°
（4）由题意知：
△BDE是直角三角形/D+/E=90°
若/EBD=3/D时/BAC=120；若/EBD=3/E时/BAC=6°；
若/D=3/E时/BAC=45;若/E=3/D时/BAC=135.综上所述，/BAC=120或
60。
或45。
或135°.
巩固练习：
1、如图：
BOCO分别平分/ABC和/ACB
（1）若/A=40°,求/BOC的度数；
（2）若/A=60°,ZBOC=若/A=100°,ZBOC=
（3）由
（1）、
（2）的结果，试直接写出/BOC与/A之间的数量关系；（4）利用你得出的结论，求当/BOC=150时，求/A的度数.
o
2.已知如图，/COD=90,直线AB与OC交于点B,与OD交于点A,射线OE和射线AF交于点G.
（1）若OE平分/BOAAF平分/BAD,/OBA=30,贝〃OGA=;
（2）若/GOA=±/BOA,/GAD=・/BAD,/OBA=30,贝〃OGA=;
33
（3）将⑵中“/OBA=30”改为zz/OBA=a,\其余条件不变，贝〃OGA=（用含a的代数式表示）;
（4）若OE将/BOA分成1:
2两部分，AF平分/BAD,/ABO=a（30°VaV90°）,求ZOGA的度数（用含oc的代数式表示）
C
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