超详细自考线性代数经管类重点考点精华版.docx
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超详细自考线性代数经管类重点考点精华版
线性代数（经管类）考点逐个击破
第一章行列式
（一）行列式的定义
行列式是指一个由如干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按肯定的规章进行运算，其结果为一个确定的数.
1.二阶行列式
由4个数
aij（i,j
1,2）
得到以下式子：
a11a21
a12a22
称为一个二阶行列式，其运算规章为
2.三阶行列式
a11a21
a12a22
a11a22
a12a21
由9个数
aij（i,j
1,2,3）得到以下式子：
a11a21
a31
a12a22a32
a13a23a33
称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？
教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采纳递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.
3.余子式及代数余子式
设有三阶行列式
a11
D3a21
a31
a12a22
a32
a13a23a33
对任何一个元素
aij
，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元
素aij
的余子式，记成
Mij
例如M11
a22
a32
a23
j
a33
，M21
a12a32
a13a33
，M31
a12a22
a13a23
再记Aij
（1）i
Mij
，称Aij为元素
aij的代数余子式.
例如A11M11，
A21M
21，
A31M31
那么，三阶行列式
D3定义为
a11
D3a21
1
a31
a12a22a32
a13a23a33
a11A11
a21A21
a31A31
我们把它称为
D3按第一列的绽开式，常常
简写成D3
3
ai1
i1
Ai1
3
（1）i
i1
ai1Mi1
4．n阶行列式
一阶行列式D1
a11
a11
n阶行列式
a11
a21
Dn
a12a22
a1na2n
a11A11
a21A21
an1An1
an1
an2
ann
其中Aij（i,j
1,2,,n）
为元素
aij
的代数余子式.
5．特殊行列式
上三角行列式
a110
a12a22
a1na2n
a11a22
ann
00ann
a1100
下三角行列式
a21
a22
0
a11a22
ann
an1
an2
ann
a1100
对角行列式
0a22
0
a11a22
ann
00
（二）行列式的性质
性质1行列式和它的转置行列式相等，即
ann
DDT
性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的全部元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.
性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值转变符号.
推论1假如行列式中有某两行（列）相同，就此行列式的值等于零.
推论2假如行列式中某两行（列）的对应元素成比例，就此行列式的值等于零.
性质4行列式可以按行（列）拆开.
性质5把行列式D的某一行（列）的全部元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.
定理1（行列式绽开定理）
n阶行列式D
aij
n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即
Dai1Ai1
ai2Ai2
ain
Ain（i
1,2,
n）
或Da1jA1j
a2jA2j
anjAnj（j
1,2,
n）
前一式称为D按第i行的绽开式，后一式称为D按第j列的绽开式.
本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列绽开来求出它的值.
定理2n阶行列式D
aij
n的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.
即ai1Ak1
ai2Ak2
ainAkn
0（ik）
或a1jA1s
a2jA2s
anj
Ans
0（js）
（三）行列式的运算
行列式的运算主要采纳以下两种基本方法：
（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要留意的是，在互换两行或
两列时，必需在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k时，必需在新的行列式前面乘上k.
（2）把原行列式按选定的某一行或某一列绽开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生许多个“0”元素，再按这一行或这一列绽开：
例1运算行列式D4
2141
3121
5232
7025
解：
观看到其次列第四行的元素为0，而且其次列第一行的元素是非零元素化为0，然后按其次列绽开.
21412141
a12
1，利用这个元素可以把这一列其它两个
562
31212行
D4
52323行
11行
（2）1行
5062
1050
按其次列绽开
150
725
70257025
5312
2列51列100按其次行绽开
7375
31281
375
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
例2运算行列式D4
解：
方法1这个行列式的元素含有文字，在运算它的值时，切忌用文字作字母，由于文字可能取0值.要留意观
察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为
a3b（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把
后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子
a3b，再将后三行都减去第一行：
abbba
babba
bbaba
bbbaa
3bbbb3babb3bbab3bbba
1
1
（a3b）1
1
bbb
abb
bab
bba
1bbb
0ab00
（a3b）
00ab0
000ab
3
（a3b）（ab）
方法2观看到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采纳“加边法”来运算，即是构造一个与
D4有相同值
的五阶行列式：
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
1bbbb1bbbb
0abbb
1行（
1）2，3，4，5行
1ab
000
D40
babb
10ab00
0bbab
100
ab0
0bbba1000ab
这样得到一个“箭形”行列式，假如
ab，就原行列式的值为零，故不妨假设
ab，即ab
0，把后四列
的1倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零.
ab
14bbbbbab
0ab000
00ab001
4b（ab）4
ab
（a3b）（ab）
000ab0
0000ab
2
2
2
（四）克拉默法就
1
1
1
例3
三阶范德蒙德行列式
V3
x1
x2
x3
（x2
x1）（x3
x1）（x3
x2）
x1x2x3
定理1（克拉默法就）设含有n个方程的n元线性方程组为
a11x1a21x1
a12x2a22x2
a1nxna2nxn
b1,
b2,
an1x1
an2x2
annxnbn
假如其系数行列式D
aijn
0，就方程组必有唯独解：
xj
Dj
j1,2,,n
D
其中Dj是把D中第j列换成常数项
b1,b2,
bn后得到的行列式.
把这个法就应用于齐次线性方程组，就有
定理2
设有含n个方程的
n元齐次线性方程组
a11x1a21x1
a12x2a1nxn
a22x2a2nxn
an1x1
an2x2annxn
0,
0,
假如其系数行列式D
0
0，就该方程组只有零解：
x1x2
xn0
换句话说，如齐次线性方程组有非零解，就必有
D0，在教材其次章中，将要证明，n个方程的n元齐次线性
方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.
其次章矩阵
（一）矩阵的定义
1.矩阵的概念
由mn个数
aij（i
1,2,
m;j
1,2,
n）排成的一个m行n列的数表
a11a21
A
a12a22
a1na2n
称为一个m行n列矩阵或m
n矩阵
am1
am2
amn
当mn时，称A
aij
nn为n阶矩阵或n阶方阵
元素全为零的矩阵称为零矩阵，用
2．3个常用的特殊方阵：
Omn或O表示
①n阶对角矩阵是指形如
a110
A
00
a220
的矩阵
②n阶单位方阵是指形如
00
100
010
En
ann
的矩阵
③n阶三角矩阵是指形如
a110
0
a12a22
01
a1na2n
a11a21
00
a220
的矩阵
3．矩阵与行列式的差异
00ann
an1
an2
ann
矩阵仅是一个数表，而n阶行列式的最终结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“*”与矩阵记号“*”也不同，不能用错.
（二）矩阵的运算
1.矩阵的同型与相等
设有矩阵A
（aij）mn，B
（bij）k
，如m
k，n，就说A与B是同型矩阵.如A与B同型,且对应元
素相等，即
aijbij
，就称矩阵A与B相等，记为AB
因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.
2.矩阵的加，减法
设A（aij）m
n，B
（bij）m
n是两个同型矩阵就规定
AB（aijbij）mnAB（aijbij）mn
留意：
只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.
由于矩阵的相加表达为元素的相加，因而与一般数的加法运算有相同的运算律.
3.数乘运算
设A（aij）m
n，k为任一个数，就规定
kA（kaij）mn
故数k与矩阵A的乘积就是A中全部元素都乘以k，要留意数k与行列式D的乘积，只是用k乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.
矩阵的数乘运算具有一般数的乘法所具有的运算律.
4.乘法运算
设A（aij）m
k，B
（bij）k
n，就规定AB
（cij）mn
其中cij
ai1b1j
ai2b2j
aikbkj
（i1,2,
m;j
1,2,
n）
由此定义可知，只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，而且矩阵AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.
故矩阵乘法与一般数的乘法有所不同，一般地：
①不满意交换律，即ABBA
②在AB
0时，不能推出A
0或B
0，因而也不满意消去律.
特殊，如矩阵A与B满意ABBA，就称A与B可交换，此时A与B必为同阶方阵.
矩阵乘法满意结合律，安排律及与数乘的结合律.
5.方阵的乘幂与多项式方阵
设A为n阶方阵，就规定Am
AAA
m个
特殊A0E
又如f（x）
axm
axm1
axa，就规定
mm110
f（A）
aAm
aAm1
aAaE
mm110
称f（A）为A的方阵多项式，它也是一个n阶方阵
6.矩阵的转置
设A为一个m
TT
算满意以下运算律：
n矩阵，把A中行与列互换，得到一个
nm矩阵，称为A的转置矩阵，记为
AT，转置运
（A）T
A，（A
B）T
ATBT
，（kA）kA
，（AB）
BTAT
T
由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义
设A为一个n阶方阵，如A满意AT
7.方阵的行列式
A，就称A为对称矩阵，如A满足AT
A，就称A为反对称矩阵.
矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念.
设A（aij
）为一个n阶方阵，就由A中元素构成一个n阶行列式
aij
，称为方阵A的行列式，记为A
n
方阵的行列式具有以下性质：
设A，B为n阶方阵，k为数，就
①ATA；
②kAknA
③ABAB
（三）方阵的逆矩阵
1.可逆矩阵的概念与性质
设A为一个n阶方阵，如存在另一个n阶方阵B，使满意AB
1
BAE，就把B称为A的逆矩阵，且说A
为一个可逆矩阵，意指A是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A的逆矩阵B记为
且乘积为单位方阵E.
A，从而A与A
1
第一必可交换，
逆矩阵具有以下性质：
设A，B为同阶可逆矩阵，k0为常数，就
1
1
1
1
①A是可逆矩阵，且
（A1）1A；
②AB是可逆矩阵，且
（AB）
BA；
③kA是可逆矩阵，且
（kA）
11A1
k
④AT是可逆矩阵，且
（AT）1
（A1）T
⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即
设P为可逆矩阵，就PAPB
2.相伴矩阵
ABAPBPAB
A11A12
A21A22
An1An2
设A（aij
）为一个n阶方阵，Aij
为A的行列式A
aij
n中元素
aij
的代数余子式，就矩阵
A1n
A2n
Ann
称为A的相伴矩阵，记为相伴矩阵必满意
*
A（务必留意
*
A中元素排列的特点）
AA*A*AAE
A*An1
（n为A的阶数）
3．n阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法
11*
定理：
n阶方阵A可逆
A0，且AAA
推论：
设A，B均为n阶方阵，且满意AB
E，就A，B都可逆，且A1
B，B1A
ab
例1设A
cd
（1）求A的相伴矩阵A*
（2）a，b，c，d满意什么条件时，A可逆？
此时求A1
解：
（1）对二阶方阵A，求
A*的口诀为“主交换，次变号”即A*db
ca
（2）由A
abadcd
bc，故当adbc
0时，即A
0，A为可逆矩阵
此时A1
1A*A
1dbadbcca
（四）分块矩阵
1.分块矩阵的概念与运算
对于行数和列数较高的矩阵，为了表示便利和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成如干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.
在作分块矩阵的运算时，加，减法，数乘及转置是完全类似的，特殊在乘法时，要留意到应使左矩阵A的列
分块方式与右矩阵B的行分块方式一样，然后把子块当作元素来看待，相乘时A的各子块分别左乘B的对应的子块.
2.准对角矩阵的逆矩阵
A1
A2
形如的分块矩阵称为准对角矩阵，其中
A1,A2,
Ar均为方阵空白处都是零块.
Ar
如A1,A2,,Ar都是可逆矩阵，就这个准对角矩阵也可逆，并且
1
1
A1A1
1
A2A2
A
1
rAr
（五）矩阵的初等变换与初等方阵
1.初等变换
对一个矩阵A施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，
（1）交换A的某两行（列）；
（2）用一个非零数k乘A的某一行（列）；
（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.
留意：
矩阵的初等变换与行列式运算有本质区分，行列式运算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“”连接前后矩阵.
初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.
2.初等方阵
由单位方阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.
由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为
Pij，
Di（k）和Tij（k），简单证明，初等
方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵仍是同一类的初等方阵.
3.初等变换与初等方阵的关系
设A为任一个矩阵，当在A的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等行变换；在A的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等列变换.
4.矩阵的等价与等价标准形
如矩阵A经过如干次初等变换变为B，就称A与B等价，记为AB
对任一个m
n矩阵A，必与分块矩阵
ErO
OO
等价，称这个分块矩阵为A的等价标准形.即对任一个mn矩
阵A，必存在n阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得
PAQ
ErO
OO
5.用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵
设A为任一个n阶可逆矩阵，构造
n2n矩阵（A，E）
然后（A,E）
（E,A1）
留意：
这里的初等变换必需是初等行变换.
例2求A
解：
113
214
124
的逆矩阵
11310
10行
1行
2行2
1行3
113100
（A,E
）214010012210
124001011101
2行1行1
1011130行
1行1
100421
2行1
行33行
2
行2
012210010412
001311001311
就A1
例3求解矩阵方程
421
412
311
11311
214X43
12412
解：
令A
113
214,B
124
11
43，就矩阵方程为AX12
B，这里A即为例2中矩阵，是可逆的，在矩阵方
程两边左乘A
1
，得
4
2
1
1
1
3
0
X
A1B
4
1
2
4
3
2
5
3
1
1
1
2
0
2
也能用初等行变换法，不用求出
1
A，而直接求
A1B
1
1
3
1
1
1
0
0
3
0
（A,B）
2
1
4
4
3
0
1
0
2
5
（E,A1B）
1241200102
30
就XA1B25
02
（六）矩阵的秩
1.秩的定义
设A为m
n矩阵，把A中非零子式的最高阶数称为A的秩，记为秩
（A）或
r（A）
零矩阵的秩为0，因而
0秩（A）
min
m,n
，对n阶方阵A，如秩
（A）
n，称A为满秩矩阵，否就称为
降秩矩阵.
2.秩的求法
由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不转变矩阵的秩.对任一个矩阵A，只要用初等行变换把A化成阶梯形矩阵T，就秩（A）=秩（T）=T中非零行的行数.
3.与满秩矩阵等价的条件
n阶方阵A满秩A可逆，即存在B，使ABBAE
A非奇特，即A0
A的等价标准形为E
A可以表示为有限个初等方阵的乘积
齐次线性方程组AX0只有零解
对任意非零列向量b，非齐次线性方程组AX
A的行（列）向量组线性无关
b有唯独解
A的行（列）向量组为
Rn的一个基
任意n维行（列）向量均可以表示为A的行（列）向量组的线性组合，且表示法唯独.
A的特点值均不为零
ATA为正定矩阵.
（七）线性方程组的消元法.
a11x1a21x1
a12x2a22x2
a1nxnb1
a2nxnb2
对任一个线性方程组
am1x1
am2x2
amnxnbm
可以表示成矩阵形式AX
b，其中A
（a）为系数矩阵，b（b,b,,b）T
为常数列矩阵，
T
ijmn12m
X（x1
x2,
xn）
为未知元列矩阵.
从而线性方程组AX
b与增广矩阵A
（A,b）一一对应.
对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，
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