数理统计课后习题答案科学出版社供参考.docx

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数理统计课后习题答案科学出版社供参考

数理统计（第三版），科学出版社，师义民、徐伟.秦超英、徐勇编

课后习题答案（文中章节号有所偏差，已全部更正）

第一章统计量与抽样分布

第二章参数估计

節三草

1.（”仏与兀独立”（0,2，）,第产川（0,1）,£鶴芽425-1）.•.肘宀八圮述匹匚竺舟过口

k台“"ktT2a7k

令辽*"）="，得：

—2（”-】）.

（2〉注意：

£与丘不独立,£-丘=兀一丄兀-丄丫兀=：

丄丄

并\n）昇汙J

/«/这时/口:

兀与丄是独立的/W-丄□人：

（0,口P）

I门丿八肯I并丿方気'n

即兀一丘【.V（0T—<7：

）.

故-yi予一DN（O,1）.而，若x：

N（ai）,E|x

'・E6=riEk■刃

*1*1

2・（l）・Z；£q兀二£a,瓯==Ex

Ei-[i»l

⑵处[令％起2，・・・52£昭£—1为约束条件。

/«|;=tJ.I

又r・£a=h.\a（=a?

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/.F（es，…aj在％=丄时取最小值。

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/：

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fSy）=nF^（y）f（y）^r^~0

■•FJFJI

（1）：

gq=2反=2灰=0、E02=—^max{£}匸x*40

力+1皿弘nn+!

⑵：

D牡4x竺二红DE」竺史6

n3nn*

AD^>D%

・・・&更有效。

5.Eu=―-—y\iEXt=―-—x^xY/siz幷M+I）台咻+】）7j

"为㈱无锚佔讣。

MSE®-w）=E（u一u）2=E（u-EH^Eu-u）2^£（u-Eu）2=Du

.时4齐二如r‘寸2二4十异（处臥2力+1）一2（2"10[…讥刃+1丫右’n"（H+]）-Z\«2（«+-l）263心十I）6.£d2」£啟2-EX'=DX+（EX）2pS0=*无侑性

m/ri

吃心斧£仔）吟5计

丹N（b—）

7^=—f^=—=—CT2n于nn

QS；点。

学吕x2止-1）=ata£n

If2（彳■1）9

Hm"b±0

冷fC矿

・••用是/的咽合估计。

8•曲=£酬-刃二述E-pV=丄*

P兀

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以不…・■X,：

卩）二fjp{x产&}二pn（l-p）M•M

InL（X.:

卫）二灯ln“+（E勺一”）hn（l_p）

/-I

也孥:

p）斗£_）丄

cpP台\-p

令：

尸繳得£叫£乂“J-二0=>"丄

酣/-1\-pX

9.Ex=—小於=彳

anA

令0=0便待&二壬命：

一二壬n&=3片10心）彳万严（0®

0’其它

（1》：

矩估il法：

样本k阶瓯亘矩££背岱计总体k阶原.古矩W杆木k尬屮心炬丄乞（工-17估计总体k阶中心矩EGY—ETr

"/=i

•・・E料北E（X-EX^=丄£（尤-X）2=S：

、EX』

0■•-

・・一".0JY

由样不血可得:

Jr=1.2^；=0.407/=2.4

⑵:

最人似然估计：

丄（扎;刃二门/久⑷二壬必皿砂坐警型=_£

入吞乂耳….••当0=尤”，即：

&=陀丫｛俎）｝时，M；硯达到呆大。

、&=maxXf=2.2

igp

•••EX豊

.・•£離墮丄加zx£=1丄£>龙二竺,0¥=£二0・403:

22?

1212

IL£x=f（041）逐

g粘鹅心〃

代入样本值0缶0・：

x-1

⑵：

绘大似然佔计：

“心刃=口/（£;0）=：

（0+恍PJ应j厂*\r-l）

LnL{X3：

0）=nLn{84-1）+0Lnf[A；=nbt（0+1）十刀丫LnXt

f»Cixl

恥3;忙厶找M

do0Z幺

12：

（1）：

z（x；加口/s；&）=缶ri心％

i=i匕“I尸.

LnL{X.;&）=nLn{0+I）+£2以：

-厶£X：

-2nLn6

~d0

汁务令"径严

I]/»♦

（2）:

L{X；；0}=-—€”川，LnL（Xf;0）V|Xj-nLn2一nLna

2CT<7jxi

BLnL'XR）=召巴

dOcr2wdO

=0,得养丄鮎

门tri

ti^\

⑶皿电;0）=严严,（％X）

LnL（X;；&）=-£尤+n0,凹（X囲）=片>o

.d二心=minx.时1（扎;®为最大

•:

0-minX.

l^n

厶皿（畑,处诱¥,+芳

刃庞（尤;40）二用dap>

dLnL{Xt\_号"ngn

・••L（Xg0）对a为单增

•*aSA*⑴MX（2》KXlfl,f

a-minX\时/（扎;a,Q为最大。

令八殮^£^^=0养才da

&=minX八B=minX.一X

=w+1.65（7

•/以认＜7）在处连续

旌徐1.65出英中0,矗b分别为6»,“,册最大似然估计。

/J=J+L6SS;

14＞：

设（兀…乂』为X的一个样本.其值％（/•・・・,/』■记—则

|则似然方秤

妙俐你t为笊丄丄£（兀一X）2=s；

”“Inr=l

有样木值（I4.7J5JJ4.8J5.0,15.2.14.6/代入得跖4.9&=（0.216>2

l5:

P{X=K}=Cfh（l-p）y

厶（九丿2口刊£产《｝=门第厂（ip）-

3£（尤/）=心口（：

：

+；乞«0卩+（加-£«）51-刃

厶（尤；刃二门pa*卜市©/严

rx|dJ

心2（1-",心）=心7£-了=打（儿・・・比）=门。

\-P7.1

.••*是充分完备统计域环二丄EX=—£¥=—xAy?

NNN

一F

・•・濯无偏的，p^E（p\X）^—是MWE

16皿（尤;0**/；刃=・*諂“,X>0

In厶（尤;&2-丄£“广川n0

0讥（兀6_"入弘£（尤;0）并-

E—E^=EX=e、W分布：

it=l,0丄EX=-^e）B0

无偏

必;&）=存浄专J沪

c（加》力⑹"討說妨，…•兀）=1

・；文为充分完备统计址

斧二E（0!

T）-E{X\T）-才为它的MP£

17:

/（x）=衣e纣

厶必；，）=门/（{）二!

——和八丄立Y：

-（血可•（丹”台

⑴:

易验证7•为。

2的垠大似然估计

ET=丄也厂=DX+（£*）?

=亍为无偏估计n

由久¥>2）的表达式可得，c（0）=L_-

（厉）"•（/户

由定义它是指分布族.从而是（7?

的一个充分统计战

1®

令1J丄

罗）

••有7V）=”门严八

吨）

|J上

—r^y1e2妙二

吨）

匕J从而、

同理E

-严

三牯为邢无偏估计

fl）

从而爪為咖卅的无偏估计。

乂«和巧都是充分躱让呈了的曲数，W

£（%|7>岭及故沧匕分别迪（7和3*的垠小方差无偏估计.

18解：

（Y的联合分布密度为

I-也_1»

^）=£心,心⑺鸟2（片丄

令（2心尸“口

〃=（%◎）二—7i/（耳…丿;）=1

W2cr*）

_\n

（工丄工用卩是（他/）?

的充分完条统计品也有

“tzl

区s紆也是wdy•的完备统计縈，

又元是“的无偏估计，S：

是（7啲无偏估计

因此有E（3无+4S：

2）=3“十4

也就是3¥+4S：

是3“+4/的无偏估计。

乂E（3X+4S：

*壬,S：

）23才+4S；2

•••3牙+4£2是3〃+4（72的最小方差无偏估计

M丄乞X：

-5S；：

'='nEX2-5£5S「=£T一5,=/-4i

I"告丿n因此丄£用_5愛为“2_QW无偏估计

nr=l

故“丄£疋-5帶（片・Sj）L丄尬屮-5宵为最小方差无偏估计I丹口）n

I"3

19；（l）duD=飞

Lnf（xf0）--Lnyjli-El纟L

（2）XC/（0,&）.有DAJ眷g（0）

ill/（x.6?

）=—,Lnf（x.0）=-LnO

dlnf（x^）yr11

故下界为

⑶:

由XDB（儿p\得F（X=x）=C；pp-p）i即/Up）YM（l-p）g

Lnfgp）=LnC；*xLnp+（N-x）Ln（}亠p）

迟-上H_E{x-Npf

TchpF

W4p\]-p）

/PO-P）

20.证有效估计•H先宴证明0的无偏性

（J）E&•_xnEX，=（DX-（EX）2）=亍n

^）=1处彳）=写D[f（^）2]=—

nzn<=ign

12a"

n/（a2）n

沪是/的有效估计°

（2）Ea2=ES'2=cr

DP=DS；2=（住翌）=泣

丄Ah/（ct2）n

（/?

」）•b打_1

Xo・2aA

I打一］

・・・S：

是亍的渐进无偏估计

21.x^n（oj）雌凶二$外科二朋—仏比门二1・Z

Vnn

不足刖无偏估计

22.先找＜7》的一个无偏佔计

F显£（—1几込

nr-an

由前in=

M（c厂）n

・・心"丄工（兀-厅是，的有效估计

23.先求谢最犬似然估计3

n旷応亠a

LQ：

⑹祀冷;o）=岂丁-（nx.r

n（^;&}=”aIn0-&£（a-1）£lnxr-winf（a）

由定理3.4g⑹=4在処连续卸@（0）=4二兰

&0a

敏4心专心"池T鹅誌

咖恥护竽二朽殴一俘）2卜爲

皿如區缨••iW=7=-是;的有效估计,

加⑹9a0

F-x—

24・

（1）选取统计逼0=—/—Z~N（O,I）

7頁°%

尸{"IV%}=I-a=0.9P{-%<6Z

/J=0.9

222

2O（wa）-l=0.9「•①（"化）=0・95n=1.65

故〃的9曲骨借区何为（2・120875.2.129125〉U»l>x=2.125

<2）选取统计幷"亍？

〜心-］）

P〈（T[v.5—】）}=l-a=0・9查t分布农紂4»（15）=1・7531

从而的“的置信区间为（2.1175•2.1325）

25.选取统计虽，T=g二乡~彳（”一1）

P｛『|

O*o

从而的“的負信区间为（壬ff”（15）x-^x+t（15”立）

了454

代入数据的（2.69,2.72）

26.

选取统计童：

-/（«-!

）

J79.3

片-d_/“（”_i）s；

Pf尹宁T（Z）｝"95糾壬-小丄丽一

27.

咖二円"^>=-1

28.

样木均值与总体均值的绝对谋菱可衷示为:

\x-^

选取统计虽片=胃兰〜"（0」）

冷%

P{^^

/石v1

n至少取97

29,

因如已知故选择憾数才，=£（卫二二亠£（兀一“），

t=l（J（T*4=1

30•由公式可得般置信区间为（.口匕1冷

结果和誌'涪）

心+刃2一2）

引・十厂_0二0一（"厂"必乂阳2仇5二石

P『|<6（耳+®-2）｝=卜口=0・95衍

目佔区网为

（込心的”宀卷涪將

心叫宀5血烝鼎啓

由于匕耳％（4,4）<

（0.3159,12.9）..

33•由厅1x=6700£=220

故卬侧賢信卜很为产-〈（〃一1）电其q«a=0.05>Jn

代入值得6592.471

34.选取统计联：

（"二驴-〜Z2（n-\）

由P迂驴<%J{n_1）}二I一a=0.9$得（7

P{a<

}=0.95

代入数据的O■得置信上限为7&04

35•记抽到一尊品为Hl,J其它为“旷则总体X/®从二点分

由題总：

n二100昉64由1一a=9,%得乞/二！

・96

r—

故轻信卜•限为仝-畤J上X竺（1■巴）"55n兀V〃刃n

置信”隈为—+uJ-x—（1-—）-0,73

n人V川"n

3£•记次曲位其它为“旷

37.P（.¥=x）=—e"故=D（X）眾X!

田中心极啟定理Tl充分大时

£底51上

HrnH乩而一"）=L迈丁?

曲=収刁

乂賈倍度为卜a

~^T

人&为才-（农+丄/2）2+討=0的两个根•

■n々

•—

第三章统计决策与贝叶斯估计

3•因为X0N（0；a3）所以才何.Y2=-X）20/（n）

/°i=a。

旧

■

z・■

EYj*,DY产2n•/EY2^h-LDY2=2（n-l）.

d£（Xi-乂）2^2（n-l）a4

R*e点）==D6：

R20b；）=E何一町=E#£（X「莎一討

\ni-t/

吨郭”讣何挣x/）t[

=-!

y*2（n-l）（74+；-^^a?

-£j3j=2，-7a*

n'In）n2

出佃沁）二E（6；-卉=D（&；*）+[E（&-P）『=_L^Rg,疔卜=D（圮刊+[e（&：

"2）]'=討

Rs（"；）=E（E-cr2）2=D（覺-R）+[e（E-P）『=-|^a-因为r5

所以庁;的风险聂人.&;的风险最小。

4•闪为XDN（“qJ・所以Y=A£（X广乂尸口/fn-1）

ai=i

1JJ

EY^n-HDY=2（n-l）：

~£（X-X）2

nJ苗4

所以骑3D乳务

Ri仙R,&；）=E（&fFy=D（6：

-P）+[E（&：

-/）丁=筈

R2（//,ct-,^）=^~lcr\Rj（//,cr:

^）

ayX,.1

6•样本的似然函数为q（xMr龙年一e-/^xt!

idx」：

-i

设兄笹先验分布为『分布r（%0）,其核为犷弋宀则入的后验分布为,

a■工人-h（/l|x）oc2•'

心）

可以看出后验分布是r分布ra+$X"+0的核;

所以泊松分布P（A）中A的共轨先验分布为r分布。

7•样本的联合密度为

n3Vx,n

q（x|l）-龙=-二肿广叭龙x,Wk^e七i«1X!

iat

样本与乂的联合密度为

f（X/）二q（Xi2）灵4）Uk厂弋十沖

（X门…,区』的边际密度为：

g（x）r（nx+2）

2的贝叶斯估计为（平方损失下）；.■•

（n+严r（nx^3）nx42

■r（nx+2）x（^]）n57T=T7T

9.样本的似燃函数为

q（x|&）=2先讥二护c"

i=（

而0的先验分布是：

I.1

兀（0）=尹e尸

i7r（tt+1）/T>c

（°>0）

•••样本X=（K|…叫）与e的联合密度f（x.O）=g（x10）n（0）=kO^neHn^；h

样本的边缘甕度是g（x）-J|J（x,0）d9=k[ze^ne（"'^d0=k-^a+1）

J（nx+^）a4^（

8的腐验分布为：

在平方损失下,的B估计为:

&=j[0h（0|x）d0=

（嵌+]）…初

Prxf（n+a+I）丄

nzjj

nx+-

&TXsB（n・p）

z（xip）=ncR（i-p）f=kp%_p）5（“门①）

・Tn（p）=L0

Af（x,p）=n（p）q（x|p）«kpn5（l-pF"

g（x）==ff（X,p）dpL叮p呵-p/-dp=kWl）r（n

*'「（rf+2）

MP心=W茹/W

r（n2+2）

P的13估计p=E（p|X）=fph（p|x）dP-—（>r（n2_问|）xfpfti'（i-prnJdP=J^-

囚为L（p,p）=^^=2（p）（p-p）1由定理4.3知.p的B估计为p（'-p）

、k[（l_P）“孕dp

—E“（P）P!

x）_

P=W（pM'畀I伞廿£“O-p）-"p

氏训n-£x,」）!

（n"）!

\<=|/\1«1/

（p'（l-p）"'§Xi'：

二一=xn

风险函数

11•因为X0N（（V/}・所以样本似然函数为g（x|R）』一!

因为^（cr2）oc|,所以f（x0*/「expz

看验分布h（cr21x）=）x

从而看出t服从才"n+2）,故有

Pj<.^（n+2）

所以P的1-aR间估计为

Ex：

工X：

.7i=£

忑何?

疋%（"+2）

EX=M

12.in：

明：

因为xcr

1+^

_a（a丫

（l+a）2+lJ+«丿

设&的先验分布为"（0）,则估计捷0的风险汕

何詬［R（如）卜仕他切占如在

minmax估计

第四章假设检验

第五章

（1）使用统计量

x-u

0（炉滋阻书欢

<7/VW2

w£T器芈

拒绝Ho,假设不成立

（2）

X-U

a/4n

根据第三问求岀的有效函数

几（疋歹Xx4・8}=1—0（4・8H^3・96}/O・O4AO・4339

（3）

0（心£.（砥）>乂伍形）

（1）汕成立时的拒绝域：

”=三2、历>如牡己点-4%}

检验函数：

几心{；呀丄Bit:

若检验函数为：

s（x）=|；耋；则有化丘幼

犯第一类错汉的概率：

宀卩&>7|”=60^pxV4>^px>/4>=1-^2>0」2275

犯第二类借碳的概率：

卩=咔<7|“=7挣¥"切>平皿］=|-°（0卜0.5

3•峻侧检於这统计城：

U二寻=2（二/）

1/2

v/70:

i/<0.//,：

u>00卜仏比・05

（；][；I

・'・"=工：

rr^"

一丁产纟-1・65>（0（g）=0・95）

[c?

、山JI6Qn\

•

-X~°B匸］必

er-vn!

0.015/3

木落入拒绝域4.煤假役分口“却.5

0.0（5/3

>1.96

•••抿绝山/.门乍不止常

（1）7；上二如』-N（0.I）

；!

V任

矩绝城为炉二卜胪•二N〉％>

0（“"-H：

二：

”孑_歹亠（"厂"2）*

arr

1“

“0=20.0

设冬件长嗖为随眸变心以则x〜\：

（sc）,

比成立肘

其中

a=0.05

“=2.3646.v=20.1

糾丿

f曲劝艸93

」a--w0i

20.1-20l=L465<2J646

7.//“寸口❻丹"坤：

“0=12100

•:

拒绝乩

8•单侧检验

（1）・仏”刃5%村//“<0・5%

选取统Hur7=

x-u

〜t（nT〕

HJ戏龙时:

仏（9RE31

•••拒纶11“

0.00452-0.005

0.00037

（2）仏:

<7刃・4%<~>〃严<0.4%

选统计放

宀型f〜如）

推绝域:

T应鉴临（9讣:

诧＜3.3】［于JI＜7・

空二冲=2帕血＞3.33

a（0.004）・

因此按受山

因含锌站殿从匸态分布且方差相第可选统计母:

丁：

••「（忙咗一总〜心严”）

血一1）5：

：

呎-1）谓V从W

代入魏据£11

伽（”丄刀：

-2）叫心$（l5）=2J3!

卩％•：

（⑸

训此復受盯即认为伶锌罐均值可看成•样

10.F/qQ产:

巧工er】

选取统计紀尼£込〜尸（廿1兄-2）

英中W为拒绝域

右计舁结杲可知：

可以认为。

产在这个条件卜

乂右“Q巧二^㈠亿"产叫

选取统汁h：

A=_^互±尹LJ巫葩m，血+“_2）70:

"厂就讣耳叫-

当He■成立H•収拒绝域为

、便亟卫|边仏+几-2）]

[J（"厂此”仏-山:

汀“严处'2'；

[,：

^_£iL=|SE3>2.8784f

肪跻仏一讪计2|I

十£_回亦曰抽53<2.87糾

所以接妥】I

所以可以认为两种广训衣□同-正态分布

H.先检嵋方怎是否可看件相竽

选取统计盘宀写空〜尸（,加厂2）

当比成二肘.蔦拒绝帰

片二X：

绍〉片（坷亠2）\NW=[x:

埠

Xi*I..*

，」：

；/“：

割・786「所以接受IL

由此可构逍T的统计吐检验

〃o"l二比分片|"严“,

Uy-U

当山不成工时的拒绝域

Jv-

点-刃㈣?

2（代+山-2）

*>/|丄"0I

Vli^n2£/

{申|〉2・1199}

|7>0・57<2・1199所以.接511..说明无软彩•进步

.2.（1；先验证Z/oGF'OHs严K

（2）芒接受再验证仏网=《<■>//［：

"刊2再1.1类似

3.\（yy=cr2-0.0004^7/（zr,^cr2#0.0004

选取统计竝•宀也学〜巩心）

当儿不成立时的拒绝域为

>或炉』

狛）

.[学吋

刖炉小*>26械心如”<5.63]

14x0.025?

•:

接受!

I”则与规定的八无显著差异

14・H©：

6=6:

0式（7三

当仏不成立时拒绝械为:

计算得:

接受"x

14.H[:

c二介

<->H\：

（7|丰6

逸収統讣牡：

•

、

F^-^7-F0・7"—1）町・

/令

/CT：

旧/；成立I卜脚绝域为:

15.U）选取结计城

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