线性代数习题.docx
《线性代数习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数习题.docx（43页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
线性代数习题
线性代数（经管类）综合试题一
（课程代码4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将
其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
⅛1⅛ι⅛
-2⅛13⅛1-au<⅜⅛
¾1¾z¾3
1.设D=
¾1¾2‰
=M≠0则D1=
-吗13¾l~¾2¾
2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB=AC必能推出B=C,则
满足
3.设A,B均为n阶方阵，则
A.|A+AB=0,则AI=O或∣E+B=OB.（A+B）2=A2+2AE+B2
C.当AB=O时，有A=O或B=OD.（AB-I=B1A1
帖,则下列说法正确的是（B）.
A.若两向量组等价，则S=t.
B.若两向量组等价，则「円吗耳）=r（久几厂讷）
C.若S=t，则两向量组等价.
D.若r（qd"耳）=r（A∕p0）,则两向量组等价.
6.向量组ffιff2^Tq线性相关的充分必要条件是
（C）•
A."1吗耳中至少有一个零向量
B.坷IEATq中至少有两个向量对应分量成比例
C.坷、E严―El中至少有一个向量可由其余向量线性表示
D.曾可由ffPfl2∙aA线性表示
7•设向量组fllfl2Λ有两个极大无关组环咯心与◎丹H,则下列成立的是（C）.
A.r与S未必相等B.r+S=m
C.r=SD.r+S>m
8.对方程组AX=b与其导出组AX=o,下列命题正确的是（D）.
A.AX=o有解时，AX=b必有解.
B.AX=o有无穷多解时，AX=b有无穷多解.
C.AX=b无解时，AX=o也无解.
D.AX=b有惟一解时，AX=o只有零解.
i
2j⅞+ι⅞-ι⅛=0⅞+fa⅛=°
沁幻Gl有非零解，则k=（D）.
A.2B.3C.-1D.1
10.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（D）.
B.
A.∣A∣>0
C.负惯性指标为零
存在n阶方阵C使A=CTC
D.各阶顺序主子式均为正数
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.四阶行列式D中第3列元素依次为-1,2，0，1,它们的余
子式的值依次为5，3,-7,4,贝SD=-15.
12.若方阵A满足A2=A,且A≠E,则IH=O.
∖Λ∖=-
13.若A为3阶方阵，且，则∣2H=4.
flO-1P
A=2-1-26
14.设矩阵W1'4丿的秩为2,则t=t=3.
15.设向量1=（6,8,0）,P=（4,-3,5）,则（〃）=0•
16.设n元齐次线性方程组AX=o,r（A）=rVn,则基础解系含有
解向量的个数为n-r个.
17.设坷=（1,1,0）,ffI=（0,1,1）,=（0,0,1）是R的基,
则"=（1,2,3）在此基下的坐标为（1,1,2）.
18.设A为三阶方阵，其特征值为1,-1,2,则A2的特征值为
114.
19.二次型f缶円对=2彳+3#-U-4硒+2jy⅛的矩阵
r2-2L
-231；
O1-L
A=.
123>
024
20.若矩阵A与B=Io0
3J相似，则A的特征值为1,2,3
二、计算题（本大题共
6小题，每小题9分，共54分）
l÷x1
1
I
1I-X
1
1
l+χ
1
I
I
l÷r
I
I
1
斛：
I
∖-x
I
t
-X
-X
0
O
I
I
l+y
I
=
1
I
I
卜
V1
I
I
1
I-
V
0
0
-
-V
一Iy
l+Jt
I
0
0
.v
0
Q
0
1
I
U
1]
I
I
（J
0
Iiv
Λ-V
=
0
0
l+.V
I
0
υ
V
0
0
1）
]
1
0
0
1
1
X
『2、
*R=
3
丿
◎
22.解矩阵方程:
rI1-f
-211
X=
3
J11丿
「I1-1Io（T
∩I-1IOM
PJ为
-21IOIO
>
（）3-12I0
IIIOolJ
J）02TO打
23求向量组"1=（1,1,2,3）,ff2=（—1,—1,1,1）,%=（1,3,3,
5）,ffI=（4,—2,5,6）的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.
rl-
-1
I4、
卩■
-1
1「
f∙f∙Ir⅛i.
I
-1
3-2
Q
Q
2-6
∖aaaa.）=
->
T
*Ei
I
35
0
3
】-3
I
56】
<θ
4
2F
rι-ii
4'
Γ1-1
I
4?
rιo
υ厂
002
-6
01
1
-3
OI
O0
T
—►
O1I
-3
OO
1
—3
OO
1-3
WQ-2
5
W0
0
W0
0o>
ΓZrl-x2+x5+ι4=1
Uxl+2x2-x3÷+x4=2
24.a取何值时，方程组
Lj⅛÷7i2-4j⅛+1⅛4=α有解？
并求其通
解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）
24.解：
対方程组的增广矩网池以初轴行变换「
<2
—J
I
1|>
rI
2
-I
42?
A=
I
2
-1
42
→
O
-5
3
-7-3
7
-4
11aj
5
-3
7«-2；
12
-1
4
—
→O-53-7-3
OoOO£i_»
若方阳fl有解•则r（A）=r（A）.故“5.
当“5时.继续施以初等行变换紂:
I
6
4A
I
0
—
5
5
5
3
7
3
A→
O
I
^5
5
5
O
0
O
0
0
<
/
I
M*
原方程组的同解方程组为:
6
；丹儿为口由未知fit
令Xj=Xl=O,得原方ft!
组
5
的-个待解：
I
0
O
16
与导出组同解的方程组为：
37•心兀为口曲未知
[∏兀
令卸分叫用）
•御到导出组的基础解系:
5
"5
3
_7
5
•
I
0
6
<»>
•所以•方出组的仝部解为:
其中∙G∙C2为任意常数.
200
12-I
25.已知II01丿,求A的特征值及特征向量，并判断A
能否对角化，若能，求可逆矩阵P,使P-AP=Λ（对角形矩阵）.
25,斛；WiAtrJ抽彻余顶式为;
所tLA的特SEIH⅛rZi=Zl=2t⅜»L
对TΛ=^=2÷求齐次线件方程组QE、A）Jr=O的垄础無系*
而如P⅛A的对应丁特征C⅛⅜-⅛-2的全部特征向量为，
Jl0吗
rI
0
（T
E-A=
-I-1I
T
0
I
-L
厂I06
0
0丿
从而知
再基础解系:
I
对丁召=I・求齐次绞竹⅛程级（E-』肚="的AL础斛系*
fθ>
的村国T⅛征他λi=I的金部特征向hiΛ=C1（C≠0）,
因为二阶刘淌A自三个线件无关的特祉［∏jffi1.0.1
PI（T
（I.0（Γ
所必A相似丁-对,∏P=
1U!
、h=
020
WIJ
26.用配方法将下列二次型化为标准形:
/（rpr1,ι3）二彳十2*-U+4r1x2-4曲-4jy⅛
2召”解Zf（Xl,‰pλ,1】=.rl'+2x；-.r'+4.vlxπ-4.tl.r1-4λ∖Λj
=Llf+4.rl（.t,-λ,）+4（.‰-λ,j1-4（λp2-JJ+2.⅛√-λ∖-4Λp2.ri
=（Jfl+2.ι∖-2兀$-2兀+4.vja∖-5.<ι
-（Jf1+2it；2x^）z-2（λ;2xrι⅛+.τ{）■Av,
二（λ∣+2.τ⅛—2JfJI）--2（Tj-.Y1）'-3臥.
yf=xl÷2λ2-2心IA严Jrl-Iy1
得2次料的标准册为:
y≈2y√-3√.
四、证明题（本大题共6分）
27.设向量=IJ）^=（IJJXaJ=（OΛl），证明向量组
°↑tlieLi是R3空间中的一个基.
J】O
I11）
勿证'因为
MIO
≡
020
=2≠O»
I】I
UO1
所以α1,α2Ia）线性无关
线性代数（经管类）综合试题二
（课程代码4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分
21O
131
1.若三阶行列式k21=0,（C）.
A.1B.0C.-1D.-2
2.设A、B为n阶方阵，则（•個）'才刃成立的充要条件是
（D）.
A
-
A
4.
C.
q
I
1、
1
2
1
阵
<2
3
24-1；
JC
矩
的秩为
3.设A是n
阶可逆矩阵
A*是A的伴随矩阵，则
（A）.
（B）.
D.
C.0
-1
5.设3×4矩阵A的秩r（A）=I，圧化Jr是齐次线性方程组Ax=O的
三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为
（D）.
A.订EPB.ArJ尸
C.庄严/7Jf赵D.r
6向量叫珂1,2,乂叫=（2,乙2）IaJ=（3』R）线性相关,则
（C）.
A.
k=-4
7.设uι,U2是非齐次线性方程组
（B）.
导出组AX=o的解，则有
A.A的行列式等于1B.A的秩等于n
C.A的逆矩阵等于ED.A的特征值均为
（D）.
二、填空题
（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每
（A）.
小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
16.如果方程组
17.设向量"-％2）与正交，则a=_2
丿，写出矩阵A对应的二次型
÷xlx,-3λ1λt
12.设A为三阶方阵，且∣A∣=4,则∣2A∣=32,
Jl10、
rI13
002
022
Jl-1<Γ
IJ0
13.设A=
I002丿
B=
®0J
则ATB=_
2
f-2-∩
14.设A=H
-2J
则A1=
A2J
15.向量（J厶习表示为向量组"1（1„^£丄（QI〉°）〉
与=QQD的线性组合式为E=P+⅛+5£
3⅛1+x2-X3—0
SXl+5x2-2j⅛=0
19.已知矩阵A与对角矩阵Λ=
-IJ
相似，则A=—E.
4j⅛+Jb⅛=0有非零解，则k=_-1
20.设实二次型/U円）的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正
惯性指数为3,则其规范形为
I
Q
O
O
、■
O
.V
O
υ
Il
=（λ+3y∏Λ-y）
（P
rlD
I
O2
3J
B=
2IJ
f∖-1
-12
22.设矩阵A=I22
求矩阵A1B.
f1-1
01
00'
U-I
0
I
00]∣
（4£）
-I2
I0
10
T
01
I
I
1D
∖*r4p
3O
0L
卩4
3
-2
0J
fl-I
0
10
0
q
0
0
-4
-3
→
0
I
I
】1
0
→
0
1
0
-5
一3
{）
I
b4
-I
丿
W
0
I
6
斗
J
-3
1'
A
-I—
-5
-3
I
■
<6
斗
-L
广Y
-3
1）
rI
I
r_2
_9〕
AIfl=
5
-3
1
0
2
=
—3
-1（}
4
^1>
1
打
13J
3i
23.设矩阵
-2
求k的值，使A的秩r（A）分别等于
2i.
1,2,3.
解:
Mlk=2吋*A→O
〔0
$
-3・mA的欣心匸2：
『I-23P
卩^2朮}
A=
-IIk-3
>
02⅛-23⅛-3
⅛_23
IO2*73-3k'∖
rI-2
⅛、
卩-2
3A]
02⅛-2
3Jt-3
→
0Jt-I
Jt-I
<00
6-3⅛-3Jt∖
Lo0
（⅛+2）（i—I）J
/1-23T
⅛⅛≠1M⅛≠-2ffj∖A→0II*和阵>1的ftr（A）=3.
1
2
3
3
，吗=
7
Λ
J3J
f2>
4
Oλ=F10
αo丿的秩和一个
极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示
24,解：
將所给列向即构成矩阵儿然后实Jfc初傳行变换;
f∖[
1
1
⅛i
I
3
4
q
0
1
1
I2V
⅜⅛.⅜⅛l
（αlα2α1αj=
}
3
7
10
→
0
2
■
6S
J
4
13
20；
<0
3
1218∣
仃丨丨P
仃11D
II
fIOO2>
0122
0122
OIo-2
-►
→
0024
00J2
00I2
.00）2；
IoOOOJ
|：
J
L（J000J
所L人向伏旳的1）=3.向时绍的一令极丈无比的1为:
a.a.a*Il-二2α-2a：
卡2αl.
Fjq+2x2-2j⅛÷3x4=0
2j⅛+3x3-j⅛+2x4=0
25.求线性方程组ILXl+3¾-5j⅛+7习=0的基础解系，并用基础
解系表示其通解.
U2-23'
fl2-23y
U2-2丁
4=
23-12
→
0-13M
T
01-34
U一7；
WI与4」
000>
与乐力伽咖的方伽为；F产*"热
W小炖为口IlJ来⅛ιι
P1AP=A
26.解：
购耳A的特制名顶式为=
IlT^1∣
Al=-1A-I-I=Λ-（Λ-3）・
得矩倒A的所有特征值为’Λ=Λ=O人-3.
对『人=2、=O・求⅛"程组（OE-A）X=A的it础解糸.
Jl-I-Γ
-I_1-1
—>
1]P
00（}
•得基础解系为码=
Jp
I
耳=
fr-p
0
L-I-I-1；
W0E
3
b.
rJ
（j
→
0
I
-3
4
0
0
0；
⅛Γ∣,≠il的逋解九’
5・门为任倉常数〉
Irl1Γ
A=IlI
26.已知矩阵IIIu,求正交矩阵
P和对角矩阵Λ,使
（∩
（I[
1〕
1
^√2
P
]
β:
=
1
2
I
、>
.再标准优*紂；γl-
1
0
IJ
扎=
I
■爲
2
<石J
X-JTΛl-3⅛?
方秤组卩E-AM=6
O
则P是正交nPAP^a
3J
Ooo
J-}
f⅞ΓL
Zrl^L⅝
≡
4
t
I73—3—73
172
-
（2-I-Γ
■12―1
→
U0-Γ
01-【
・方锐生的⅛KU⅛fr系畑亠
T
1
曰-IJ
OoO,
四、证明题（本大题共6分）
27.设向量组a↑aL'Λ线性无关，证明：
向量组⅛fli+⅜flif¾++¾÷-+¾也线性无关.
2λiiFi令
ka+⅛1<αl+tfj+ijα1+σ+αj+^+Λι（α+空：
+…+肛」=“∙
曬理得;
（Al+⅛+..√+⅛）αl+（A2+Jt1+w+tjr⅛f.÷.j.+（⅛a.i+JkBXrIH+⅛1αr=0
Λl=0⅛1-0
因为禺-塔十”◎.线件无关■所以
ki+k,+’“+JlιI+⅛i=0
ki+Jh+.t,+⅛=Q
*■解祗1
⅛,=0
⅛-ι÷⅛=°
∣⅛⅛α.λ+βt∙.α∣+Oft+αi,1..,Λl+a,+...÷λ线件无关,
线性代数（经管类）综合试题三
（课程代码4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将
其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1•当（D）成立时，咻＞2）阶行列式的值为零.
A.行列式主对角线上的元素全为零
n（n-1）
C.行列式至少有一个（RT）阶子式为零
D.行列式所有（RT）阶子式全为零
下列结论必
（B）.
然成立的是
2.已知XJAe均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E,则
A.ACE=EB.BCA=EC.CBA=ED.BAC=E
3.设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D）.
C.（ABT=ABT
D.
4.下列矩
阵不
（B）.
PD
A.I1OJ
B.
卫IJ
∖（ABY
乍丄
⑷I
是
初等矩阵的
是
Ifl0>
rlOy
C.
』2J
D.
?
1丿
5.设tl↑ai-A是4
（D）.
维向量组，则a↑aιjk
A.（AB-I=A1B1B.（A+B）-1=A1+B1
A.线性无关
B.至少有两个向量成比例
C.只有一个向量能由其余向量线性表示
D.至少有两个向量可由其余向量线性表示
6.设A为m>7.已知4元线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3,又
OI-（L⅞V）∖¾-（⅞3Λ5）r是Aχ=b的两个解则Aχ=b的通解是（D）.
A.（123丿『IB.34I紅123M
C.（IJJJ）J仪234）「D.（12诃｛I（∣JΛl）r
8.如果矩阵A与B满足（D）,则矩阵A与B相似.
A.有相同的行列式
B.有相同的特征多项式
C.有相同的秩
D.有相同的特征值，且这些特征值各不相同
9.设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是（D）.
A.∣A∣>0B.A的每一个元素都大于零
C.X"）"D.A的正惯性指数为n
10.设A,B为同阶方阵，且r（A）=r（B）,则（C）.
A.A与B相似B.A与B合同
C.A与B等价D.∣A=∣B
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每
小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1
2
3
4
-1
0
3
4
-1
-2
0
4
11.行列式
-1
-2
-3
O
24
12.设A为三阶矩阵，∣A∣=-2,将矩阵A按列分块为
A-（AlIAbA^,其中已（jT,2J）是A的第j列，
b=（4-¼5⅛j4）,则IBI=—.
1-f
B=U。
丿，则X=_
（1（P
13.已知矩阵方程AX=B,其中A=I2IJ
14.已知向量组⅛=（⅛,ι,⅛¾=（i*hft¾≈OJJ）的秩为
2,贝yk=-2.
15.向量在二①厶-U）的长度虚=根号15.
16.向量”-（厶-在基坷二二（I丄O）Tfl⅛Z=（IQO）下的坐
标为（3,-4,3）.
升级会员 