勾股定律的逆定律.docx

勾股定律的逆定律.docx

《勾股定律的逆定律.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股定律的逆定律.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

勾股定律的逆定律

第02课勾股定理逆定理

【例1】若△ABC三边长满足下列条件，判断△ABC是不是直角三角形？

若是，请说明哪个教角是直角．

（1）BC=

，AB=

，AC=1；

（2）△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1（n＞1）

【例2】如果△ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

【例3】如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点。

⑴求证：

△ACE≌△BCD；⑵若AD=5，BD=12，求DE的长。

【例4】观察下列等式：

32+42=52；52+122=132；72+242=252；92+402=412…按照这样的规律，第七个等式是：

_________________________________。

【例5】如图,已知在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为CB的四等分点且CB=4CE.求证：

AF⊥FE．

【例6】如图,已知△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且DE

⊥DF.求证：

AE2＋BF2＝EF2．

课堂同步练习

一、选择题：

1、若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比可能为（    ）

A．2：

3：

4 B．3：

4：

6 C.5：

12：

13   D.4：

6：

7

2、△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（    ）

A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形

B.如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°

C.如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形

D.如果∠A：

∠B：

∠C=5：

2：

3，则△ABC是直角三角形

3、△ABC的三边为a、b、c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（    ）

A.△ABC是锐角三角形    B.c边的对角是直角

C.△ABC是钝角三角形    D.a边的对角是直角

4、下列命题中，其中正确的命题的个数为（　　）

①Rt△ABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边长为5；②有一个内角与其他两个内角的和相等的三角形是直角三角形；③三角形的三边分别为a，b，c，若a2＋c2=b2，则∠C=90°；④在△ABC中,∠A:

∠B:

∠C=1:

5:

6，则△ABC是直角三

角形．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5、如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形的线段是（）

A.CD、EF、GH      B.AB、CD、GH     C.AB、EF、GH       D.AB、CD、EF

6、如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=45°，AB=3，CD=1，则BC的长为（    ）

A．3      B．2      C．

     D．

7、如图,有一块地ABCD,已知AD=4米，CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,则这块地面积为（   ）

A．60米2       B．48米2        C．30米2         D．24米2

8、在△ABC中，∠C=90°，c2=2b2，则两直角边a，b的关系是（　　）

A．abC．A=b D．以上三种情况都有可能

9、已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（　　）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

10、已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状（     ）。

A.直角三角形      B.等腰三角形     C.锐角三角形      D.钝角三角形

11、如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（　　）

A．6      B．7      C．8      D．9

12、如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.若PA:

PB:

PC=3:

4:

5，连结PQ，试判断△PQC的形状（    ）

A.直角三角形       B.等腰三角形C.锐角三角形      D.钝角三角形

二、填空题：

13、有四个三角形，分别满足下列条件：

（1）一个内角等于另外两个内角之和；

（2）三个内角之比为3：

4：

5；

（3）三边之比为5：

12：

13；

（4）三边长分别为7、24、25．

其中直角三角形有个．

14、在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，

①若a2＋b2＞c2，则∠c为____________；

②若a2＋b2＝c2，则∠c为____________；

③若a2＋b2＜c2，则∠c为____________．

15、已知一个三角形的三边长分别是12，16，20，则这个三角形的面积为        ．

16、如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为__________．

17、已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式

+|a-b|=0,则△ABC的形状为      。

18、如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，则△ABC的面积为______．

19、如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是      。

20、如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=s时,△PBQ为直角三角形．

三、简答题：

21、如图,有一块地,已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。

22、如图,是一块四边形绿地的示意图,其中AB长为24米,BC长15米,CD长为20米,DA长7米,∠C=90°.求绿地ABCD的面积．

23、已知△ABC三边长a,b,c满足a2+b2+c2-12a-16b-20c+200=0,请判断△ABC的形状并说明理由.

24、已知:

△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数,且m＞n）,判断△ABC是否为直角三角形.

25、如图,已知一块四边形草地ABCD,其中∠A=45°,∠B=∠D=90°,AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积．

26、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？

请通过计算进行说明．

勾股定理逆定理同步测试题

1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（    ）

A．6，8，10B．5，12，13   C．1，2，3 D．9，12，15

2、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ）

3、三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（    ）

A．等边三角形  B．钝角三角形  C．直角三角形  D．锐角三角形

4、若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（   ）

A.等腰三角形             B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

5、下列说法中,不正确的是（   ）

A.三个角的度数之比为1:

3:

4的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为3:

4:

5的三角形是直角三角形

  C.三边长度之比为3:

4:

5的三角形是直角三角形  D.三边长度之比为5:

12:

13的三角形是直角三角形

6、有长度为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棒,可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为 （   ）

A.1个           B.2个            C.3个            D.4个

7、有下列判断:

①△ABC中，

，则△ABC不直角三角形；②△ABC是直角三角形，

，则

；③△ABC中，

，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，则（

，正确的有（    ）

A、4个         B、3个          C、2个          D、1个

8、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）

A．2             B．

        C．

       D．

9、 如图,有一块地,已知AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,则这块地的面积为（）

A.24平方米    B.26平方米   C.28平方米   D.30平方米

10、在下列条件中：

①在△ABC中,∠A:

∠B:

∠C=1:

2:

3；②三

角形三边长分别为32，42，52；③在△ABC中,三边a，b，c满足（a+b

）（a-b）=c2；④三角形三边长分别为m-1,2m,m+1（m为大于1的整数），能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11、在△ABC中，如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠=90°．

12、若三角形三边分别为6，8，10，那么它最长边上的中线长是．

13、某住宅小区有一块草坪如图4所示，已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，

DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是       。

14、若一个三角形的三边长分别为1、a、8（其中a为正整数）,则以

a-2、a、a+2为边的三角形面积为．

15、在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是________．

16、如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒,连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值             ．

17、如图,一块地,已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。

18、如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．

（1）证明：

△ABC是直角三角形．

（2）请求图中阴影部分的面积．

19、如图，在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE＝∠CBE．

（1）求证：

BH=AC；

（2）求证：

BG2－GE2＝EA2．

20、已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．

解：

∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①

∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②

∴c2=a2+b2．③

∴△ABC是直角三角形．

问：

（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？

请写出该步的代号：

；

（2）错误的原因为；

（3）本题正确的解题过程：

例题答案详解

【例1】解：

（1）∵（

）2+12=

=（

）2，∴BC2+AC2=AB2．∴△ABC是直角三角形；

（2）∵（n2﹣1）2+（2n）2=n4+2n2+1=（n2+1）2，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．

【例2】解析：

由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：

a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

    ∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0。

    ∵（a-3）2≥0,（b-4）2≥0,（c-5）2≥0。

∴a=3，b=4，c=5。

    ∵32+42=52,∴a2+b2=c2。

由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。

【例3】①通过SAS证明全等 ②13

【例4】152+1122+1132.

【例5】提示：

连结AE，设正方形的边长为4a，计算得出AF，EF，AE的长，由AF2＋EF2＝AE2得结论．

【例6】提示：

延长FD到M使DM＝DF，连结AM，EM．

课堂同步参考答案

1、C2、B3、D4、B5、C6、D7、D8、C9、D10、A11、C12、A

13、答案为3．

14、①锐角；②直角；③钝角．

15、96

16、14

17、等腰直角三角形  

18、6．提示：

延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为Rt△．

19、

20、

或

21、24

22、【解答】解：

连接BD．如图所示：

∵∠C=90°，BC=15米，CD=20米，∴BD=

=

=25（米）；

在△ABD中，∵BD=25米，AB=24米，DA=7米，242+72=252，即AB2+BD2=AD2，

∴△ABD是直角三角形．∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=

AB•BD+

BC•CD=

×24×7+

×15×20=84+150=234（平方米）；

即绿地ABCD的面积为234平方米．

23、a=6, b=8, c=10,直角三角形

24、证明：

     所以△ABC是直角三角形.

25、150m2．提示：

延长BC，AD交于E．

26、解：

公路AB需要暂时封锁．理由如下：

如图，过C作CD⊥AB于D．

因为BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，所以根据勾股定理有AB=500米．

因为S△ABC=

AB•CD=

BC•AC所以CD=240米．

由于240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．

同步测试题参考答案

1、C2、C 3、C4、C 5、B 6、B 7、C8、C9、A10、B

11、90°．

12、5．

13、36

14、8提示：

7＜a＜9，∴a＝8．

15、 108     

16、2,6,3.5,4.5

17、24

18、解答】

（1）证明：

∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8，CD=6，

∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，∴AC=10（取正值）．

在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，

∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形；

（2）解：

S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD=

×10×24﹣

×8×6=96．

　19、证明：

（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，

∵∠ABC=45°，∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC∴DB=DC，                             1’

∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，   ∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，∴∠HBD=∠ACD， 

∵在△DBH和△DCA中， ∠BDH＝∠CDABD＝CD∠HBD＝∠ACD

∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC．

（2）连接CG，由

（1）知，DB=CD，

∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC，∴BG=CG，

∵点E为AC中点，BE⊥AC，∴EC=EA，

在Rt△CGE中，由勾股定理得：

CG2-GE2=CE2，

∵CE=AE，BG=CG，∴BG2-GE2=EA2． 

20、【解答】解：

（1）③

（2）除式可能为零；

（3）∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，

∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0或c2=a2+b2，

当a2﹣b2=0时，a=b；当c2=a2+b2时，∠C=90°，

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

故答案是③，除式可能为零．