，试求t的取值范围．
4．（2013长沙25题10分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：
满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：
当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y＝
是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗请判断并说明理由；
（2）若一次函数y＝kx＋b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；
（3）若二次函数y＝
x2－
x－
是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．
:
5.（2017长沙25题10分）若三个非零实数x，y，z满足：
只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．
（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗请说明理由；
（2）若M（t，y1），N（t＋1，y2），R（t＋3，y3）三点均在函数y＝
（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三数组”，求实数t的值；
（3）若直线y＝2bx＋2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y＝ax2＋3bx＋3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．
①求证：
A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三数组”；
②若a>2b>3c，x2＝1，求点P（
，
）与原点O的距离OP的取值范围．
6．（2011长沙25题10分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x－1，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y＝x－1的零点．
已知函数y＝x2－2mx－2（m＋3）（m为常数）．
·
（1）当m＝0时，求该函数的零点；
（2）证明：
无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且
＋
＝－
，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线y＝x－10上，当MA＋MB最小时，求直线AM的函数解析式．
7.（2018长沙26题10分）我们不妨约定：
对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ；
②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形 “十字形”．（填“是”或“不是”）
（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；
;
①
=
；②
=
；③“十字形”ABCD的周长为12
．
5.（2017雅礼实验中学月考）已知y是关于x的函数，若其图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“bingo点”，例如：
y＝2x－1上存在“bingo点”P（1，1）．
（1）直线____________（填写直线解析式）上的每一个点都是“bingo点”；双曲线y＝
上的“bingo点”是________；
（2）若抛物线y＝
x2＋（
a＋1）x－
a2－a＋2上有“bingo点”，且“bingo点”A、B（点A和点B可以重合）的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），求x
＋x
的最小值；
（3）若函数y＝
x2＋（n－k＋1）x＋m＋k－1的图象上存在唯一的一个“bingo点”，且当－2≤n≤1时，m的最小值为k，求k的值．
6.（2018原创）在平面直角坐标系内，若点P（x，y）满足2x＋y＝0，则称点P是“反倍点”，例如点P（2，－4）就是一个反倍点．
（1）已知点A是第二象限的一个“反倍点”，且点A到x轴的距离为2，求经过点A的反比例函数y＝
的解析式；
[
（2）已知“反倍点”B在一次函数y＝mx＋2图像上，且点B的纵、横坐标均为整数，求点B的坐标；
（3）已知二次函数y＝－（x－h）2＋c的顶点D是“反倍点”，当抛物线与y轴的交点C的纵坐标yC取得最大值时，在抛物线上及抛物线内共有几个“反倍点”，并求出这些点的坐标．
7.（2017雅礼实验中学一模）若直线l与曲线L相交于A、B两点，直线l与y轴交于点C，且AC＝2BC，则称直线l与曲线L互为“倍数函数”，A、B两点间的水平距离为“倍长量”．
（1）若直线l：
y＝ax＋b经过点C（0，1），与曲线L：
y＝
其中一个交点为（1，2），那么直线l与曲线L是否互为“倍数函数”，请说明理由；
（2）若当k＞1时，直线l：
y＝kx＋1与曲线L：
y＝x2＋2kx＋k互为“倍数函数”，求直线l的解析式；
（3）直线l：
y＝kx＋d与曲线L：
y＝2x2＋bx＋c互为“倍数函数”，且|b－k|＝3，c≠d，AB的“倍长量”是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
;
8.（2018原创）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：
若b′＝
，则称点Q为点P的限变点．如点（2，3）限变点坐标是（2，3），点（－2，5）限变点坐标是（－2，－5）．
（1）若点A（－1，2）是函数y＝
图象上某一个点的限变点，求a的值；
（2）若反比例函数y＝
和一次函数y＝px＋2（p≠0）同时过点B（p，3）的限变点C，求此时p的值；
（3）若点P在二次函数y＝x2＋4x－1（－3≤x≤k，k≥－3）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是－1≤b′≤5，求k的取值范围．
9.（2018原创）若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且△ABC恰好是直角三角形，则称抛物线y＝ax2＋bx＋c是“勾股抛物线”，其中较短直角边所在直线为“勾线”，较长直角边所在直线为“股线”．
（1）若“勾股抛物线”y＝x2＋mx＋n的“勾线”经过点（1，1），求m和n的值；
（2）已知“勾股抛物线”y＝－
x2＋bx＋c与x轴的一个交点为（－1，0），其“股线”与反比例函数y＝
的一个交点的横坐标是－2，求反比例函数解析式；
（3）已知“勾股抛物线”y＝
x2＋bx－
c（b≠0）的“勾线”、“股线”及x轴围成的三角形面积S的取值范围是2
≤S≤4
，设t＝－2b4＋4b2＋3，求t的最大值．
￥
10.（2017雅礼教育集团期中考试）我们将自变量为x的函数记作f（x），若点A（m，n）和B（n，t）都在函数f（x）的图象上，则称点B是点A在函数f（x）作用下的传承点．如点（1，3）是点（－1，1）在函数y＝x＋2作用下的传承点．
（1）求点（2，－1）在函数y＝－x＋1作用下的传承点的坐标；
（2）直线y＝kx＋2与双曲线y＝
交于C，D两点，且点D是点C在这两个函数作用下的传承点，求直线与双曲线的解析式；
（3）抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝ax＋d交于抛物线对称轴两侧的E，F两点，点E的横坐标为1，且点F是点E在这两个函数作用下的传承点，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－1，二次函数y＝ax2＋bx＋c在E，F两点之间的最大值与最小值之差为8，求E，F两点的坐标．
11.已知y是关于x的函数，若其图象经过点P（t，2t），则称点P为函数图象上的“偏离点”．例如：
直线y＝x－3上存在“偏离点”P（－3，－6）．
*
（1）在双曲线y＝
上是否存在“偏离点”若存在，请求出“偏离点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）若抛物线y＝－
x2＋（
a＋2）x－
a2－a＋1上有“偏离点”，且“偏离点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求w＝x
＋x
－
的最小值（用含k的式子表示）；
（3）若函数y＝
x2＋（m－t＋2）x＋n＋t－2的图象上存在唯一的一个“偏离点”，且当－2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值．
12.定义：
若一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝－
满足
＝
，则称y＝ax2＋bx＋c为一次函数和反比例函数的“等比”函数．
（1）试判断（需写出判断过程）一次函数y＝x＋b与反比例函数y＝－
是否存在“等比”函数若存在，请写出它们的“等比”函数的解析式；
（2）若一次函数y＝9x＋b（b＜0）与反比例函数y＝－
存在“等比”函数，且“等比”函数的图象与y＝－
的图象的交点的横坐标为x＝－
，求反比例函数的解析式；
（3）若一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝－
（其中a>0，c>0，a＝3b）存在“等比”函数，且y＝ax＋b的图象与“等比”函数图象有两交点A（x1，y1）、B（x2，y2），试判断“等比”函数图象上是否存在一点P（x，y）（其中x1;
13.（2017青竹湖湘一二模）若将函数C1的图象沿直线x＝a对折，与函数C2的图象重合，则称函数C1与C2互为“镜面函数”，直线x＝a叫作函数C1、C2的“镜面直线”，如：
函数y＝
与函数y＝－
互为“镜面函数”，y轴为它们的“镜面直线”；
（1）若“镜面直线”为x＝1，求一次函数C1：
y＝－
x的“镜面函数”C2的解析式；
（2）若函数C1：
y＝x2＋4x＋3与x轴交于A、B两点（xA＞xB），顶点为P，射线PA与双曲线y＝
交于点Q，且Q点在函数C1的“镜面函数”C2上，求函数C1、C2的“镜面直线”；
（3）若“镜面直线”为x＝1，函数L2：
y＝－
x2－x＋c＋4的“镜面函数”L1与x轴交于C、D两点，C点在D点左侧，顶点为M，与y轴交于点E，若ME⊥DE，求代数式
的值．
#
14.（2017长沙中考模拟卷八）对于某一函数给出如下定义：
若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1.
（1）分别判断函数y＝x－1、y＝
、y＝x2有没有不变值如果有，求出其不变长度；
（2）函数y＝2x2－bx.
①若其不变长度为0，求b的值；
②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；
（3）记函数y＝x2－2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2.函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，求m的取值范围．
第14题图
15.（2017长沙中考模拟卷三）若y是关于x的函数，H是常数（H＞0），若对于此函数图象上的任意两点（x1，y1），（x2，y2），都有|y1－y2|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界高．如图所表示的函数的界高为4.
（1）若函数y＝
（k＞0）（－2≤x≤－1）的界高为6，则k＝________；
{
（2）若函数y＝kx＋1（－2≤x≤1）的界高为4，求k的值；
（3）已知函数y＝x2－2ax＋3a（－2≤x≤1）的界高为
，求a的值．
第15题图
16.（2017麓山国际实验学校二模）概念：
P、Q分别是两条线段a、b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m＋4，n）是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述概念，当m＝2，n＝2时，如图①，线段BC与线段OA的距离是______；当m＝5，n＝2时，如图②，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为________；
（2）如图③，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式；
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M.
"
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；
②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为点H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
第16题图
17.
（2017长沙中考模拟卷四）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1－x2|；
若|x1－x2|＜|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1－y2|.
例如：
点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1－3|＜|2－5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图①中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．
（
（1）已知点A（－
，0），点B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，求满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知C是直线y＝
x＋3上的一个动点，
①如图②，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图③，点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．
第17题图
18..
19.
（2017长沙中考模拟卷七）在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：
设点P（x1，y1）、Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．若|x1－x2|的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度lx＝m；若|y1－y2|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度ly＝n.如图①，图形W在x轴上的投影长度lx＝
|3－1|＝2；在y轴上的投影长度ly＝|4－0|＝4.
（1）已知点A（3，3）、B（4，1）．如图②，若图形W为△OAB，则lx＝________，ly＝________；
（2）已知点C（3，0），点D在直线y＝2x＋6上，若图形W为△OCD，当lx＝ly时，求点D的坐标；
（3）若图形W为函数y＝x2（a≤x≤b）的图象，其中0≤a＜b.当该图形满足lx＝ly≤1时，请求出a的取值范围．
第18题图
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