算法合集之《论数学策略在信息学问题中的应用》38475.docx
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算法合集之《论数学策略在信息学问题中的应用》38475
论数学策略在信息学问题中的应用
（北京十二中,杨江明,100071）
【关键字】策略可扩展性效率整数问题
【摘要】本文研究的是，在信息学竞赛中十分重要，却常常被忽略的数学策略。
本文通过分析数学策略中的方程思想、不等式思想及构造法在具体问题中的应用，比较他们同其他策略的优劣，较为详细地介绍了数学策略的效率、应用范围以及可扩展性。
并总结了在信息学问题中引入数学策略的原因。
引申出如何在一般解题过程中应用数学策略。
展望了数学策略在今后信息学竞赛中应用的前景。
本文所选的例题都是近年来各级信息学竞赛的试题，针对某些题目提出了区别于标准算法的更高效的数学策略解法，具有很强的现实意义
【目录】
【关键字】
【摘要】
【目录】
【正文】
§1.数学与策略
§2.数学策略在信息学题目中的应用
§2.1数学策略之方程思想
——化简、解决题目的途径
§2.1.1方程思想的运用
§2.1.2运用方程思想同一般策略的比较
§2.2数学策略之不等式
——抽象与具体的桥梁
§2.2.1不等式的应用
§2.2.2应用不等式同一般策略的比较
§2.3特殊的问题——构造法
——到达想象力的尽头
§2.3.1构造法的应用
§2.3.2构造法同其它策略的比较
§3.为什么应用数学策略
——小结数学策略的应用
【附录】
【参考书目】
【源程序】
【正文】
§1.数学与策略
数学,是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学,是处理客观问题的强有力的工具,几乎在一切自然科学领域中都起着基础性的作用。
策略，是指解决问题所采取的方法。
它包括解决各种问题及问题的方方面面的方法。
本文讨论的策略，是指利用计算机编程解题时所采取的行之有效的方法，即编程策略。
编写程序解决问题常见的策略有:
数学（规律）策略,分治策略,贪心策略,穷举（含搜索）策略等等。
判断某种策略的优劣，通常都从三方面进行考察：
效率：
也就是我们所说的算法复杂度。
在竞赛中考察程序的复杂度，一般都是考察程序的时间复杂度。
当然，时间复杂度同空间复杂度是相互制约的。
应用范围：
就是说该策略可以解决哪些类型的题目，是对该策略中“所有”算法所能解决题目总的概括。
可扩展性：
针对一个题目所构造的算法，是否可以沿用在其它题目上，如果一个算法可以用在多个题目上，我们就说这种算法的可扩展性大。
我们对下面要研究的数学策略，都从这三方面同其他策略进行比较。
从广义上讲，数学策略包括应用图论的策略，动态规划策略以及应用初等数学手段的策略。
图论及动态规划的策略在近年来的比赛中被频频涉及，而初等数学中的方程思想、不等式思想等化简题目、解决问题的手段却没有受到应有的重视。
事实上，利用这些基本手段是化简题目的已知条件和建立一个优秀的数学模型必不可少的前提条件。
有时能取得意想不到的收获。
本文所讨论的数学策略，是从狭义上，指应用初等数学手段的策略。
文章通过分析几道近年来信息学竞赛的题目，比较应用数学策略解决、化简题目与直接运用一般策略在效率上的巨大差异，从而说明数学策略在信息学竞赛中的巨大潜力及在解题上的优势，并尝试总结解决一般问题的应有步骤。
§2.数学策略在信息学题目中的应用
我们看看我们人类是如何解决具体问题的：
人类自身既没有快速的运算系统，也没有大容量的存储系统，我们解题运用的就是我们所擅长的逻辑推理和强大的数学工具，我们有完善的方程理论和不等式思想等等，而这正是计算机所欠缺的。
于是，我们尝试让计算机也具有这些优点，贪心策略，A*算法等实际上都是这种有益的尝试。
利用人类思考的方式做一些选择，而我们现在所讨论的数学策略，实际上就是这些数学手段的直接运用。
【附录1】
数学策略在信息学中的运用包括两个方面：
化简题目和直接解决问题。
应用数学策略化简题目是解决问题必不可少的重要步骤，也是分析题目的基本方法。
通过应用数学策略化简题目，发掘题目中的隐含条件，寻求更多的“已知”条件，从而为建立数学模型打下良好的基础。
而用数学策略直接解题，其效率更是一般算法所不可企及的。
下面我们分别从方程、不等式及构造法三个方面，对数学策略的应用加以分析。
§2.1数学策略之方程思想
——化简、解决题目的途径
方程是建立在题目的基础上，对条件的抽象和总结。
对于同一题目的不同条件，具有普遍适用性。
因此，方程弥补了枚举（包括搜索）策略需要尝试所有情况才能得出结论的缺点。
方程是数学策略中较为重要的一种手段。
一般来说，运用方程解决问题，都是运用我们程序较擅长的n元一次代数方程组求解，这就涉及到解此类方程组的高斯消元法。
下面讲讲用高斯消元法解一元联立方程组。
一元n阶线性联立方程组的一般形式为：
a1x1+a12x2+…+a1nxn=b1
（1）
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
（2）
……
an1x1+an2x2+…+annxn=bn（n）
在代数中一般用消元法来解方程组。
即：
先将第一行乘以一个常数再与其它行相加，以消去其它各行的x1那一项（使a21，a31，…an1为0）。
然后再以新的第二行乘以一个常数并与第3行到第n行相加，以消去第3行到第n行上x2的那一项（使x2的系数为0）。
…最后再以新的第（n-1）行乘一个常数并与第n行相加，以消去第n行上的xn-1项。
最后得到一个如下形式的三角方程组：
a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn=b1
a22`x2+a23x3+…+a2n`xn=b2`
a33`x3+…+a3n`xn`=b3`
…
ann`xn=bn`
此过程可用图1表示。
图1
从此方程组最后一个方程式可以直接求出xn=bn`/ann`，然后逐步“回代”，求出xn-1,xn-2…，x1。
还要考虑一个问题：
如果在上面过程中，aｉｉ为零，则在消元过程中会出现使第i行乘以常数aki/aii而出现无穷大，溢出。
例如，本来为了消去第2行的x1项，要进行的是：
（1）式×a21/a11-
（2）式，若aii=0，则发生溢出错误。
必须保证aii≠0。
若发生aii为零，可从第i+1行到n行中找到一个第m行，其ami≠0，将此第m行与第i行对调。
如果找不到，则方程无解或无定解。
可用图2表示。
图2
根据上面介绍的方法，利用图2所示的N—S图，得到上面列出三角方程组。
再使该三角方程组中各Aii的值为1，以得到以下三角方程组：
x1+a12``x2+a13``x3+…+a1n``xn=b1
x2+a23``x3+…+a2n``xn=b2
…
xn-1+a（n-1）n``xn=bn-1
xn=bn``
这样就得到xn=bn``，然后回代，求出xn-1，…x1值。
画出这部分流程图（图3）。
上述过程表示为图2和图3。
为清晰起见，最好用子程序，一个子程序完成一个功能。
刚刚过去的IOI’99为我们留下了许多思考，那我们就由IOI’99中的纸牌问题引入吧。
图3
§2.1.1方程思想的运用
我们把均分纸牌问题简要描述一下：
【例1】这是一个均分纸牌的游戏，有N列纸牌，每列有纸牌若干张（可能是零张）。
纸牌列用从1到N的整数标号。
在移动纸牌时你需要指定一个确定的列p，和一个确定的数字m。
而后从p列上移动m张纸牌到每一个相邻的列上。
如果1＜p＜N的话，则p列有两个相邻的列，分别是p-1和p+1；如果p=1的话，则只有一个相邻列，其列号为2；如果p=N的话，则只有一个相邻列，其列号为N-1。
注意，如果p列有两个相邻的列，则进行上述移动时，p列至少要有2m张纸牌；如果p列只有一个相邻的列，则进行这样的移动时，p列就需要至少m张纸牌。
这个游戏的目的是“均分”所有的纸牌列，使每列都有相同的纸牌数，且用最少的移动达到这一目的。
假定有超过一种符合上述要求的移动方法，你只需给出其中一种。
[附录中2]
我们运用数学策略化简题目是为了寻求更好的思路，只有化简题目才能更好地解决题目。
但实际上，许多人拿到这道题目时都发懵了，怎样才能“均分”呢？
于是，各种学过的算法在头脑中打架：
选手：
搜索，你行吗？
搜索：
嗯，10000步呢，要我嘛，恐怕得等等了。
选手：
动态规划，你呢？
动态规划：
我？
这道题我也没辙。
怎么办？
首先，我们对题目进行分析，必须先认识到这样一重关系，第ｉ列的纸牌只能向两侧的ｉ+1列、ｉ-1列移动，而且移动的总牌数是相等的（第1列和第n列例外）。
其次，只有ｉ+1列、ｉ-1列可以向第ｉ列移动纸牌，而且移到第ｉ列的牌数必然等于第ｉ+1列、ｉ-1列移动总牌数的一半。
要保证均分，于是对于第ｉ列牌移走的总牌数与移来的总牌数的差值，必然等于首末状态纸牌数的差值。
首状态即初始状态，而末状态即均匀状态。
于是，对于N列纸牌，则共有N个未知数，即为每列须移走的纸牌数。
第ｉ列须移走的纸牌数记为Mi，第i列首末状态的差值记为Δi，于是有方程组：
M2–M1=A-C1=△1M2-M1=△1
M1–2M2+M3=A-C2=△2利用高斯消元法M3–M2=△1+△2
M2–2M3+M4=A–C3=△3M4–M3=△1+△2+△3
M3–2M4+M5=A–C4=△4化简得………………
………………………………
Mn-2–2Mn-1+Mn=A–Cn-1=△n-1Mn–Mn-1=△1+△2+…△n
Mn–Mn-1=A-Cn=△n
共有n个未知数，n-1个方程，为一不定方程组。
假设M1=0代入
可求出对应的一组解{x1,x2,x3……xn}，其中x1=0，根据n元一次方程组的性质
{x1+t,x2+t,x3+t……xn+t},t为整数，也一定为方程组的一组解，代入化简即可证明。
题目要求最小的移动次数，当然移动的纸牌总数也要尽量小。
因为xi≥0,所以若得到最小解为零的一组解，则该解对应移动纸牌总数一定最小。
得出结论：
对应每列移动的纸牌数是确定的，且是可求的，而且能够保证均分。
有了均分的保证，剩下的问题就好说了，无论是贪心策略，随机化算法，还是一些算法的综合运用都不成问题。
即便用最基本的贪心算法，对于IOI’99的测试数据也都能应付自如。
实际上IOI’99的这道题目提示我们，数学毕竟是基础，完全脱离数学的算法是没有的，脱离对题目本身的分析，单纯地套用算法是不现实的，而这正是许多选手常犯的毛病。
我们再看一道相关的题目。
【例2】在物理学中，我们常常对一些复杂的电路问题十分头疼，为了便于分析，我们需要把一些电阻的混连电路，用一个等效电阻来取代。
而等效电阻的计算往往是十分繁琐的。
于是，我们尝试用程序代替我们完成这项任务。
程序需要计算的，是一个纯电阻的混连电路中两点间的总电阻。
【附录3】
【说明】
为了阐述方便，我们建立这样一个模型来描述电路：
电路由一个一个结点连接构成，结点就是导线的交点，若两结点间的电路上不存在其它结点，则称这两个结点是两相邻结点。
两相邻结点之间只允许有两种情况：
（1）它们之间是一个已知电阻（如图4）；
图4
（2）它们之间是x个已知电阻的纯并联电路（如图5）；
图5
两相邻结点间总电阻不为零（若为零，则两结点必可以合并成一个结点）。
没有孤立的结点。
此模型必然可以描述所有的纯电阻电路。
在此基础上我们对此题进行分析。
【输入】
第一行是一个整数N，表示结点数；
第二行是一个整数M，表示相邻结点的对数；
第三行有两个数，a和b，程序就是要求结点a和结点b间的总电阻。
以下M行每行有三个整数，i,j和k（1≤i＜j≤N），表示结点i和结点j之间连结着大小为k的电阻。
【输出】
仅需输出一个数，就是结点a和结点b间的总电阻。
我们手算解决此类题目，通常都是在结点a、b两端接一个外接电源，根据局部电路欧姆定律，测量a、b间的电压值和流入的总电流值，从而计算出总电阻。
我们用程序解决这道题也可以利用这种手段：
加一理想外接电源，给定电压值，解出总电流值，从而求出等价电阻值（如图6）。
对于两相邻结点间存在x个电阻的纯并联电路，我们可以在输入的时候将其直接化简，即当读入一个连结结点i与j的电阻k。
若结点i与j之间已记录有总电阻L,则求出电阻k与L的并联值，，覆盖掉原来的L；这样，我们的电路中任意两相邻结点间的电阻已知且不为零。
于是，设相邻结点i与j之间电压为Uij，电流为Iij，已知电阻为Rij，而总电压为U，总电流为I，总电阻为R，R=U/I。
图6
我们尝试利用现有的知识寻求各个量之间的关系。
在这之前先介绍一下克希荷夫定律。
假设某一电路网络的图G有n个顶点m条边，
B=（bij）n×m
C=（cij）（m-n+1）×m
分别是它的关联矩阵和回路矩阵。
令
i1v1
i2v2
﹒﹒
I=﹒Ve=﹒
﹒﹒
imvm
分别为这电路的各边电流与各边电压。
则我们可得到：
（a）克希荷夫电流定律
对于每一结点，流入该点电流的代数和为零；即
或简单地写成：
BI=0。
（b）克希荷夫电压定律
沿着任一回路C，电压降的代数和为零，即
或写成：
CVe=0。
根据克希荷夫定律，对于N个结点，我们得到N个方程。
对于所有回路，共有M-N+1个本质不同的方程，且a﹑b两点之间的电压降代数和等于电源电压。
我们将外电压设为任意一定值，而任意两相邻点之间的电压可以由其电流表示，Uij=Iij﹒Rij。
实际上，我们有M+1个未知数，而我们也得到了M+1个本质不同的方程。
根据方程原理，I可解出，R=U/I，问题得解。
以上两个题目，只是方程思想中一种较为明显的运用。
事实上，方程的运用更多的只是一种思想，它是从已知中挖掘更多已知的手段，它更多地应用于竞赛中。
当选手拿到题目，对题目分析的过程中，运用方程求出一定解，再在此基础上构造其它算法，所以我们称之为方程思想。
方程的运用往往都是选手解决题目的一个思维过程，这个思维过程需要选手平时的积累和训练。
由于篇幅的限制，仅选出了比较明显运用方程思想的上述两题加以阐述。
实际上方程思想在NOI’96中的三角形灯塔等问题中，都有较实际的运用。
【附录4】
§2.1.2运用方程思想同一般策略的比较
运用方程思想解决问题的效率是显而易见的，解一个n元一次方程组的算法复杂度，不过是0（n）级，一旦一道题目可以运用方程思想解出，它的效率必定要比一般算法高很多。
上文提到NOI’96的三角形灯塔问题，既可用搜索算法解决，又可用方程思想化简解决，而运用方程思想的解法同搜索算法比较，它的高效性也很好地体现出来了。
其次，是应用的范围。
方程的另一个显著的优点就是，它可以解许多一般策略无法解决的问题，主要表现在，它并不要求题目一定是整数问题，而搜索策略、动态规划方法恰恰要求问题必须是整数问题，对于非整数问题就显得无能为力了，像例2的电阻问题（如图7）。
图7
但是，方程思想也有它自身的缺点，它的运用是有局限性的。
对于整数问题，搜索算法相对而言却是“万能”的，例1均分纸牌问题，实际上是一道整数问题，我们说的无法解决，不过是指时间上和空间上无法接受而已。
而方程思想并不是对于每道题都可以应用的，对于方程思想无法解决的问题，还是要考虑搜索策略。
§2.2数学策略之不等式
——抽象与具体的桥梁
不等式是表示两个数或两个代数式不相等的算式，在实际应用中，通常用不等式来表示两类数之间或者两个代数式之间存在的普遍关系。
应用不等式，因为它不仅仅局限于确定的数字之间的关系，应用不等式也在于它的高效性。
我们手工解不等式，运用的是我们的逻辑思维能力，以及利用一些基本不等式和不等式的基本性质。
与解不等式相对应的就是枚举。
不等式和枚举法实际上是在走两条不同的路，完成同样一个问题。
由于程序“不具有”我们的逻辑推理能力，所以我们说枚举法是适合程序设计的。
但是，我们一旦将解不等式的方法加入到程序之中，程序的效率将会有一个质的飞跃。
§2.2.1不等式的应用
【例3】把正整数S分解成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大。
请编写一程序，由键盘输入S（3≤S≤1000），求满足条件的分解方案。
【附录5】
【输入要求】S由键盘输入。
【输出要求】①第一行输出分解方案，相邻两数之间用逗号分开；
②第二行输出乘积（MUL）。
例如：
输入：
S=10；
输出：
2，3，5；
MUL=30
设S=a1+a2+a3+…+an（1≤a1＜a2＜…＜an）
P=a1˙a2˙a3…˙an
我们求的就是P的最大值。
根据均值不等式，由于ai为正
即
由于1≤a1﹤a2﹤a3,…﹤an所以s/n﹥1。
要使得p最大，则须使（s/n）n最大，又∵s/n﹥1，则使得n最大。
同时设法使相邻两数ai+1-ai的差最小。
设a1=2（若a1=1,则a1对乘积将失去其作用），求出符合条件的:
2+3+4+5+…+an+x=S（2,3,…,an是连续的自然数，且an≥x）。
即将S分解成尽可能多的前n-1个连续自然数，剩余x。
X必小于等于an。
因为若x﹥an，则一定可以在an后面补上an+1，分解成的原序列就不是尽可能多的了，矛盾，故x≤an。
而x必应与数列{ai}中某数重复，因此必须撤去x。
为保证撤去x后各个自然数互不相等，其和还是等于p且乘积最大。
我们将数x尽量平均地加在后几项，并尽可能使得相邻两数的差不超过2。
1若an+1=1,由于1*2…*an﹤2*3…*（an+an+1）,因此将an+1=1加到an上；
2若1﹤an+1﹤an（an+1与2，…，an中的某一个数相同），我们从an出发依次向尾部的an+1个数加1；
3若an+1=an，an加上2，其余的an+1-2个数依次加1。
当然，还必须考虑一个例外情况：
当n=3或4时，只能分解出一个方案：
3=1+2MUL=1*2=2
4=1+3MUL=1*3=3
简单的问题，简单的思考，简单的程序，一切显得如此轻松。
但你是否发现其中蕴涵着的数学的美？
实际上题目的意义不在于题目的本身，它是一种思考。
我们设计程序解决此类问题，并不局限在枚举策略上。
利用不等式化简题目，应是我们的选择方向，而且应当是首选。
我们看一个具体的例子。
【例4】排序网络是这样一个模型:
有n条水平的导线，由上至下分别标号为1至n，导线与导线之间不相交。
在任意两导线之间可以搭上“电桥”。
每条导线的左端放置一数字，数字沿导线由左向右同步运行，当遇上一电桥时，比较电桥两端的两根导线上的数字，将其中较大的放到上面的导线上，而将较小的放到下面的导线上，然后继续运行，保证同一时刻最多只有一个电桥。
（如图8）
若一个n行的排序网络共包含m个电桥，对于左端输入的任意顺序的数列，都能在右端得到一个由大到小的数列，我们称这个排序网络是一个完全排序网络。
图8
我们的程序需要做的，就是判断一个排序网络是否是一个完全排序网络。
【附录6】
抛开我们一贯采用的枚举策略，看看我们是怎样运用不等式的性质，极其巧妙而且高效地解决这个问题的吧！
研究这道题，就不能不谈谈排序。
排序的本质实际上就是找到一个数列各项之间的关系对应的不等式组。
对于这道题，数列是确定的，在网络中运行的过程，实际上就是构造不等式组的过程。
分析一个完全排序网络（如图9）就会发现，本题构造不等式的过程是一个分阶段的过程，每经过一个电桥对应一个阶段，每个阶段都重新排列两个数，每个阶段也都是在对不等式组做一次“修正”。
图9
具体分析图（9），我`们用Aij表示经过第i个阶段后,第j条导线中的数。
阶段
排列
不等式组
阶段一
阶段二
阶段三
2/3
1/2
2/3
A1，2≥A1，3A1，1与A1，2之间A1，1与A1，3之间不确定
A2，1≥A2，2A2，1≥A2，3A2，2与A2，3之间不确定
A2，2≥A2，3A2，1≥A2，2A2，1≥A2，3
我们发现，阶段i的不等式组，可以由阶段i-1的不等式组根据阶段之所进行的重排列情况推导得出。
编号为i和j的导线进行重排列之后，导线i和j之间建立了不等式关系，而所有关于导线i和j的其它不等式都需要进行调整。
不等式间的推导属于逻辑推导。
我们的程序是否可以进行这种逻辑推导呢？
答案是：
可以。
假设我们已经求得了阶段i-1时对应的不等式组，阶段i是对导线a、b（a﹤b）进行重新排列，首先得到Aia≥Aib，下面我们要对所有与导线a,b有关的不等式进行调整。
对于a,b分别分五种情况。
一、调整所有关于a的不等式。
①原有不等式Ai-1,c≥Ai-1,a（c﹤a且c≠b）,Ai-1,c与Ai-1,b关系不确定
则Ai,a≥Ai,b,Ai,c≥Ai,b,Ai,c与Ai,a关系不确定
②原有不等式Ai-1,a≥Ai-1,c,（a﹥c且c≠b）,Ai-1,c与Ai-1,b关系不确定
则Ai,a≥Ai,b,Ai,a≥Ai,c,Ai,b与Ai,c关系不确定
③原有不等式Ai-1,a≥Ai-1,c,Ai-1,b≥Ai-1,c,
则Ai,a≥Ai,b,Ai,a≥Ai,c,Ai,b≥Ai,c
④原有不等式Ai-1,a≤Ai-1,c,Ai-1,b≤Ai-1,c,
则Ai,a≥Ai,b,Ai,a≤Ai,c,Ai,b≤Ai,c
⑤原有不等式Ai-1,a≥Ai-1,b则不变。
二、调整所有关于b的不等式。
①原有不等式Ai-1,c≥Ai-1,b（c﹤b且c≠a）,Ai-1,c与Ai-1,a关系不确定
则Ai,a≥Ai,b,Ai,c≥Ai,b,Ai,c与Ai,a关系不确定
②原有不等式Ai-1,b≥Ai-1,c,（b﹥c且c≠a）,Ai-1,c与Ai-1,a关系不确定
则Ai,a≥Ai,b,Ai,a≥Ai,c,Ai,b与Ai,c关系不确定
③原有不等式Ai-1,a≥Ai-1,c,Ai-1,b≥Ai-1,c,
则Ai,a≥Ai,b,Ai,a≥Ai,c,Ai,b≥Ai,c
④原有不等式Ai-1,a≤Ai-1,c,Ai-1,b≤Ai-1,c,
则Ai,a≥Ai,b,Ai,a≤Ai,c,Ai,b≤Ai,c,Ai-1,a≥Ai-1,b
⑤原有不等式Ai-1,a≥Ai-1,b则不变。
以上的讨论覆盖了所有可能情况，其实具体编程的时候还可以化简。
如果上述推导是正确的，那么，最终我们所求得的不等式组与排序网络原本所对应的不等式组是等价的。
于是，我们可以通过分析不等式组的拓朴情况，证明排序网络是否符合要求。
下面对上述推导做出证明。
欲证明推导的正确性，只须对每种情况的正确性做出证明。
分析关于a的不等式的第一种情况，将其抽象为①原有a、b、c三个数，c≥a,c与b关系不确定；②a`=MAX﹛a,b﹜,b`=MIN﹛a,b﹜,c`=c
欲证明a`≥b`,c`≥b`,a`,c`关系不确定。
证明：
当a≥b时，∵c≥a∴c≥a≥b
a`=a,b`≥b,∵c`=c∴c`≥a`≥b`
当a﹤b时，c≥a;b﹥a,b、c关系不确定
a`=b,b`=a,c`=c,∴c≥b`,a`≥b`,a`、c`关系不确定
综上所述，任意情况下，都有：
a`≥b`，c`≥b`，而a`、c`关系有时不确定（即a`、c`关系不确定）。
得证。
对于其它情况也可按此法进行证明，由于篇幅
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