等比数列基本量运算.docx
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等比数列基本量运算
2018年7月29日高中数学作业
1.已知等比数列：
满足''：
'：
贝U（）
A.243B.128C.81D.64
2.已知数列是公比为正数的等比数列，若，"，则数列■的前7项和为
A.63B.64C.127D.128
a5+⅜
3.正项等比数列
叩中，S
3c=64r3.,+ia∣ηi,,λ>0I⅝
E,则1丄的值是（
A.4B.8
C.16D
.64
4.已知等比数列
•的前项和为•，若
1忌=玛
则=（）
A.2B.
C.4D
.1
{a}tac
=1an
=16
A二
5.已知等比数列
中，
9
则
7
A.4B.—4
C.
D.16
a,=3
a-l+ac+j
a,=21
a∏≡
6.在等比数列
中，已知
3
3S
7,则
（）
A.B.'
C.I-
D.1
9-,=3
a.=-6
ac
7.数列为等比数列，若
■
则为（
）
A.-24B.12
C.18
D.24
fa}ta1
=•4，a
二二54
an
8.已知等比数列
和中3
∖
则
=（）
A.54B.-81
C.-729
D.729
s3
——=
9.已知等比数列
'的公比
q=-2
其前项的和为，
则（
7
3
A.7B.3
2
C.D.
4
fgI55=15=95
11.等比数列的前项和为■,已知■,则■等于（）
A.81B.17C.24D.73
12.等比数列{an}中a=3,a4=24,贝Ua3+a4+a5=（）
14.等比数列
中,
az=9
a5二24
A.B.
120
C.1
D.
15.等比数列
中,
aaJI
=4π-1
∏n∣+1
A.2或-2
B.4
C.2
D.
16.已知'
为等比数列，
+⅛=
192
IaI
的前■项和为（
A.5B.7C.-7D.-5
则数列的公比为（
2ata,=-Sra1+a1.=，,则
A.16B.±4C.-4D.4
17.等比数列
■中，'■'■，则•等于（）
19.
在等比数列
!
a,+a.=4a..=2rι
冲，，，则公比等于（
）.
aιo-ai2
A.B.或C.D.或
20.已知等比数列
aIa1+a.,=2zai+aj,=8Se,亠
满足，则的值为
A.21B.32C.42D.170
21.已知数列^anrf满足anI=2an,aιa4=2，则a5a8=（）
A.8B.16C.32D.64
{a}ada3++aca-r=4a,+ac=
22.己知数列为正项等比数列，且9（）
A.1B.2C.3D.4
a2+a4
{a∖nSrtaκ
23•已知等比数列t訂的前r*项和为rι,若》EJ“成等差数列，则6的值为
恰」nSmSjt=3j51-t-Sa=12Ssi=
24.已知等比数列“的前项和为"，若412B,则呂.
{aπ}πSn2屯+mgSt.=14aπ
25.已知正项等比数列的前项和为,.若，且刁.贝U=.
26.设各项为正数的等比数列
f岂I5
的前项和为，已知
27.已知等比数列｛时的前n项和+「，则理+「=.
28•等比数列他｝中，％为其前n项和，若SrI=2+a,则实数白的值为.
29•设等比数列总｝满足叫+巧八1,aι-a3=3则前4项的和跖=.
30•等比数列押的各项均为正数，且吟严巧皿，则喝7廟円1•十弦⅛√.
1111
一+—=Ir一+—-2
31•在正项等比数列｛时中，珀巧巧a4,则公比厂.
32•等比数列他｝的各项均为正数，且％白严，则Io昭+IQ机+…+Io叭=；
/3=2花日”=8a,
33•在等比数列Ini中，1,则7的值为•
34.等比数列冲，若，，贝U•
IaJa~+a.=20aλl+ac=60-I_
35•在等比数列5中，若24,斗E,则―•
36•设等比数列IaJ的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15,则S5=
37•已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,且a1=2018，a2+a4=—2a3,则S2oι9=•
38•设公比为q的等比数列Ian｝的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=
亠“t.,Ia∖Iart<0'a-haj,+2azιac+a.at=2SIa,+ac
39•在等比数列In'中，“2°3SAE,求W^=•
7（）S3=-,Sfi=7
40•在等比数列Inl中，2,求11=•
参考答案
1.B
【解析】分析：
利用条件确定等比数列的首项与公比，从而得到结果详解：
设等比数列•'的公比为:
a2+a36
•ai+a2=
1128
故选：
B
点睛：
等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略:
1化基本量求通项•求等比数列的两个基本元素和：
，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解.
2化基本量求特定项•利用通项公式或者等比数列的性质求解.
3化基本量求公比•利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解.
4化基本量求和•直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解.
2.C
【解析】分析：
先根据等比数列的通项公式求出：
，再由等比数列前项公式求其前项和即可.
详解：
v⅛'aι^,即q4-16,
又■-'■-■■-I•'
1-27
S7==127
1=2,故选C.
点睛：
本题考查等比数列的通项公式及前项公式，属于基础题•等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量乩月川耳-诂，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程
3.C
【解析】分析：
设正项等比数列｛an｝的公比为q,由a3=2，34?
金=64,利用通项公式解得q2,再利用通项公式即可得
出.
详解：
设正项等比数列｛an｝的公比为q,τa3=2,a4?
as=64,
答案第1页，总14页
..-IIY/.1t:
i-'∙
解得q2=4,
a5+≡6
则’：
=42=16.
故选：
C.
点睛：
本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题•解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；禾U用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律.
4.A
【解析】分析：
首先根据数列的前项和的特征，将•=之间的关系，可以转化为
详解：
根据•",可以求得•，与的倍数关系，根据等比数列的性质，求得-',从而求得的值•
a斗+屯+%=2｛日1+幻4■召丿即『=2
所以」’，故选A.
点睛：
该题考查的是有关等比数列的问题，最后要求的结果是第四项，而已知数列的首项，所以可以得知下一步的
m-3
任务应该去求有关公比所满足的条件，根据题中所给的式子，从而求得’，而根据'：
1，从而求得最后的结
果•
5.A
【解析】分析：
由已知求出等比数列的公比，代入等比数列的通项公式得到答案
详解：
在等比数列••中，由•'，
qLF2-2_,
得，所以\,故选A.
点睛：
该题考查的是有关等比数列的项的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有等比数列的项之间的关系，
等比数列的通项公式的应用，注意奇数项是同号的，所以不会出现负值，以免出错
6.A
【解析】分析：
利用等比数列的性质计算即可
详解：
设公比为q，
••召虫a3+a5+a7=21
•，，
.a3+a3q2+a3q4=21，
3+3q2+3q4=2l，
解得q2=2
2
•∙a5=a3q=3×2=6,
故选：
A.
点睛：
比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：
1化基本量求通项.求等比数列的两个基本元素和：
，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解.
2化基本量求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.
3化基本量求公比.利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解.
4化基本量求和.直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解
7.A
【解析】分析：
由题意首先求得公比，然后求解的值即可•
%
q=—=—2
详解：
由题意可知：
等比数列的公比，
则：
弘"曲J-1（7亡-24.
本题选择A选项.
点睛：
等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用.
8.C
【解析】分析：
根据等比数列的下标和性质，建立方程即可得到结论.
详解：
在等比数列｛an｝中，
τa3=—4，a6=54，
•∙a3a9=（a6），
即-4a9=54X54，
•∙a9=—729，
故选：
C.
点睛：
等比数列.冲，若Tmm—严N,则•■；
等差数列｛时中，若m÷n=p+qh（mhnhp,CleNt），则％%“卩*弔.
9.D
【解析】分析：
用基本量：
表示可得M厂，代入：
的值即得所求结果：
.
s3l-qi1-（-8）3
===—
详解：
因为二—：
.；$〔；T-JS故选D.
点睛：
处理数列问题一般有两个角度：
（1）基本量法，就是把问题归结为基本量：
的方程组，解这个方程组即可;
（2）禾U用等比数列或等差数列的性质，此时需要找出题设中数列各项的下标或数列的和的特征，根据特征运用相
应的性质来处理.
10.C
【解析】分析：
为求公比，按照题意化简：
宀列出关于:
的方程，即可算出结果，又因各项均为正数，再次判定
、¥屈R'a'6S∏≡7S⅛
详解：
λ6aL+6a2+6a3=7aL+7a2
贝y'
6a1q-at-a1rq=O
&q3-¢-1=0
11
^ι=-旳=；
解得，（舍去）
故选：
点睛：
本题主要考查了等比数列求和的运用，在解答此类题目时要根据题意将其转化为关于公比的方程，然后进行
求解。
11.D
【解析】分析：
根据等比数列中前项和为的性质求解.
详解：
•••数列为等比数列，
•成等比数列，
即成等比数列，
.»94
故选D.
点睛：
公比不为—1的等比数列｛an｝的前n项和为Sn,贝USn,S2n—Sn,滋一S?
n仍成等比数列，其公比为q",禾悯
这一性质解决等比数列中“片段和”的问题时可简化运算、提高解题速度.
12.C
【解析】分析：
根据=T求出数列的公比，从而可求出''的值.
详解：
：
•••等比数列的通项公式为：
解得：
'，
234
■■a3+a4+a5=3q+3q+3q=84,
故选：
C.
点睛：
本题主要考查了等比数列的通项公式，禾U用等比数列性质的能力，同时考查了运算求解的能力，属于基础题.
13.D
【解析】分析：
由，可得••是公比为•的等比数列，由等比数列的性质可得
白角円％W%抵为公比是也等比数列，禾悯等比数列求和公式可得结果.
详解：
'，
'•是公比为•的等比数列，
r∙mh∙H为公比是.等比数列，
首项''，
AaIa3>a2a4+∙'+W12=
Z3I⑷丿，故选D.
点睛：
本题考查主要考查等比数列的定义、性质以及等比数列的通项公式与求和公式，意在考查综合运用所学知识
解决问题的能力，属于中档题•
14.B
%3a2
-=Q
【解析】分析：
根据等比数列的性质可知■,列出方程即可求出：
'的值，利用即可求出的值，然后利用等比
数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出的前项和.
%2433
一二一=27
详解：
•：
’，解得•，
巧93（l-34）
3-∣-—二-二mr⅝S4==120
又；，则等比数列•的前•项和I
故选：
B.
点睛：
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量ai,n，q，an，&，一般可以“知三
求二”，通过列方程（组）可迎刃而解.
15.C
【解析】分析：
设等比数列••的公比为：
，由已知条件可得，和已知等式相除即可得结论•
详解：
设等比数列'的公比为:
，v：
，••••且：
，
⅛+l⅛÷24n
=二4
两式相除可得■,即•-，•••：
「，故选C.
点睛：
本题主要考查了等比数列的定义，求等比数列的公比，属于基础题
16.C
屯3
332+ail=^+a^
f⅛+⅜"2
）ai-aa≈-8
联立方程
（a5=~2f¾=4
Iafl=4∣aa=-2解得或
【解析】分析：
由等比数列的性质和通项公式，建立方程组求解出
吟叫厲，再根据q求值即可.
a53-2
ac.=-2,att二4
（1）当时,
.a2+an=^+asc<=—+4（-2）=-7
q3=as341
¾+an=-^+⅞^=-+{-2）（--）=-7
raq=4^ao=-2I
（2）当时,
故选C.
点睛：
本题主要考查等比数列性质的应用，灵活运用等比数列的性质，可以简化做题过程
【解析】分析：
禾U用等比中项求解。
详解:
WmNF-匕,因为F为正，解得
点睛：
等比数列的性质：
若Fr∙j■■■,则…■■-。
18.B
【解析】试题分析：
设数列的公比为：
，由',I,得^-∙jC，解得A',则
佩P）J
==q=4
E,故选B.
考点：
等比数列•
19.B
【解析】分析：
根据等比数列的通项公式将，用和：
表示，可得关于：
的一元二次方程，解方程可得•
详解：
•••等比数列••中，…',,
•Vff用，解得：
或：
「，故选B.
点睛：
本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题.
20.C
【解析】分析：
等比数列•的公比设为：
，由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由求和公式计算即可得到所求和.
详解：
等比数列的公比设为：
，
a1+a1q-2
nw,-上亠T-S-2
可得
2f-
=42；
TI-2）
3
aJ1-c16）-2（l-26）
Sfi===42；
或IJ1Zl
故选：
C.
点睛：
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.
21.C
【解析】由题意，q=2,则as=q4aιa4=32,故选CO
22.B
【解析】•••数列为等比数列，且''
.日：
+2a1a,+=4
••,
即•',
又’，
•「I选B.
23.
aι+a4巧CL+『）l+q2===2a斗4
【解析】分析：
利用'成等差数列求出:
1，由可得结果•
详解：
设••的首项，公比为:
，
•时，•■'>成等差数列，不合题意；
:
时，
V沁%成等差数列，
^l（I-qζf）a1（l-q2）甸1~『1
二+
亠一：
•>;.■丄一；
故答案为
解得：
1，
点睛：
本题主要考查等比数列的基本性质、等比数列的求和公式，意在考查函数与方程思想、计算能力以及综合运
用所学知识解决问题的能力，属于中档题•24.
【解析】分析：
由5"匚成等比数列，可得-'，：
从而可得结果
详解：
由于FTL乍成等比数列,
Ase=（舍去），汽曲，故答案为9.
点睛：
本题主要考查等比数列的性质，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于简单题
2口
25・
【解析】分析：
根据'••,且•*列出关于首项，公比：
的方程组，解得、的值，即可得结果
详解：
设正项等比数列的首项•，公比：
，因为-•,且1
所以II
PI=Z^a=7X7πl=2π
解得I',故答案为:
点睛：
本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题•等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本
题型，数列中的五个基本量•■，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类
问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化
运算过程•
26.242
【解析】分析：
根据已知条件求［再利用等比数列的前n项和公式求.
2（1-3}
j5_一GrG
所以：
•故答案为：
242.
点睛：
本题主要考查等比数列的通项和前n项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平
27.5.
【解析】分析：
根据题意先表示出前三项，然后根据等比中项求出r，再计算「即可.
答案第9页，总14页
详解：
由题可知:
S1=a1=3-I-Ir
S2=a1+a2=9+r=>a2=6
+r=6-1=5
S3=a1+a2+a3=27+r=叫=18
故答案为5
点睛：
考查等比数列的基本定义和基本性质，属于基础题
28.1.
【解析】分析：
由题意求得'：
然后根据数列成等比数列可得实数的值.
详解：
•••
LJI
i=2+a
I
•■
=2+^a2≡S2-S1=2.a3=S3-S2=4
由题意得•「成等比数列,
解得点睛：
本题考查等比数列的运算，解题的关键是根据题意得到数列的前三项，然后列出方程求解•另外，解题时也
可利用结论求解，即若等比数列
■的前项和''',则有"''',注意要注意结论中必须为：
29•-5
【解析】分析：
设等比数列的公比为J由j勺"「aι-a3=3,可得：
日IJF7叫（1-q；7,
详解：
设等比数列
•的公比为'，•••「'aι-a3=3
解出即可得出
ZttaI-1'q=-2
解得
aι（1^c∣4）1X（1-16）
=-5
1-q3
故答案为-5.
点睛：
本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考察了等比数列前项和公式，考查了推理能力与计算能力,
属于中档题.
【解析】分析：
禾U用等比中项，对数性质可知耳戸厂品鬥厂「订启,，进而计算可得答案
详解：
V为等比数列
∙fIoga≡1+∣og3a2+—+∣θ⅛a10=Iogaal-勺，…-aw=loS3（aι'a10f=SIog3S4，a7
=5∣0g39=10
故答案为：
10.
点睛：
本题考查等比数列的等比中项及对数的运算法则，注意解题方法的积累，属于中档题
【解析】分析：
禾U用等比数列的通项公式把等式改写成含有和的式子，联立方程组求解即可•
详解：
由题意得：
11
—+——=1
「aι%q÷-=2屉
23q=±—
^IqBlq,两式相除消去叫并求解得：
2，
Jr:
■■■■Ci
故答案为：
:
.
点睛：
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量ai,n，q，an，Sn，—般可以“知三
求二”，通过列方程（组）可迎刃而解.
32.5
【解析】分析：
先根据对数运算法则化简'¾七门V厂X巳■•:
，再根据等比数列性质求真数，即得结果详解：
因为"也广厂、心苛
又因为aιa2'LalO=^a4a7^=3,所以IOgJaI+Iog3a2+τ,+∣°≡3310==5.
点睛：
在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质若m+n=P+q,则aman=apaq”，
可以减少运算量，提高解题速度.
【解析】分析：
根据等比数列的通项公式和首项，求出公比的表达式，进而求出的值。
详解：
由等比数列通项公式：
'：
：
：
，
【解析】分析：
根据题意列出关于首项
公比'的方程组，解得、匚的值，即可得结果
所以巧屯=日◎孑*&,代入aι=2
点睛：
本题考查了等比数列的概念和通项公式，根据方程求出首项和公比，属于简单题。
34.32
【解析】分析：
禾U用已知求出首项和公比q,再求―
详解：
设等比数列'中公比为:
，
（J+a斗=20
•，
2□
•「I:
••?
•:
，故答案为.
点睛：
本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题•等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列
答案第12页，总14页
中的五个基本量■:
'，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键
是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程
36.63
【解析】因为等比数列Ianr所以S2,S4-S2,S6-S4也成等比数列，即3S6-15i=144,S6=63,填63.
37.2018
【解析】；a2∙a4=-2a3，
2
.a2a42a^0，a22a2qa2q0
2
.q2q仁0,解得q二―1
a1=2018
2019
a1（l-q2019）2018^1—（—1））
s2019
2018
1-q2
38.2或-1
【解析】•••公比为q的等比数列的前n项和为Sn，且S2=3a22,S4=3a42
2
•∙S4-S2—a4a3—3a4-3a2,即2q…q-3=0.
•3亠
•∙q或—1
2
3
故答案为3或-1.
2
39.-5
【解析】τ{an}为等
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