第十九章 第2节 特殊的平行四边形菱形41.docx

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第十九章第2节特殊的平行四边形菱形41

年级

初二

学科

数学

版本

人教新课标版

课程标题

第十九章第2节特殊的平行四边形——菱形

编稿老师

何莹娟

一校

林卉

二校

黄楠

审核

孙永涛

1、学习目标：

1.掌握菱形的概念，知道菱形与平行四边形的关系。

2.理解并掌握菱形的定义及性质、判定；会用这些性质、判定进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积。

3.通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力。

二、重点、难点：

重点：

菱形的性质和判定

难点：

菱形的性质及菱形知识的综合应用。

三、考点分析：

在近几年的中考中，四边形与三角形占有很大的比重，常以中等难度的题型出现，题型也比较活。

而菱形这部分内容，更是四边形中重要的一环，主要考查菱形的判定和性质。

菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。

1、菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质1：

菱形的四条边相等。

2：

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

3、菱形的判定定理1：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2：

四边相等的四边形是菱形。

3：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

4：

对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

4.菱形的对称性：

菱形既是轴对称图形（关于对角线所在的直线对称）又是中心对称图形（关于对角线交点中心对称）。

5.菱形的面积：

平行四边形的面积法则适用于求菱形的面积。

菱形的面积=两条对角线的乘积的一半。

说明：

要判定四边形是菱形的方法：

法一：

先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。

（这是定义证明）。

法二：

先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。

（这是判定定理3）

法三：

只需证出四边都相等。

（这是判定定理2）

知识点一：

菱形的性质

例1：

已知：

如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E。

求证：

∠AFD=∠CBE。

思路分析：

1）题意分析：

本题考查菱形的性质。

2）解题思路：

欲证∠AFD与∠CBE相等，但找不到∠AFD与∠CBE所在的三角形全等，这时我们可以找一个角与∠AFD与∠CBE相等。

解答过程：

∵四边形ABCD是菱形，

∴CB=CD，CA平分∠BCD。

∴∠BCE=∠DCE。

又CE=CE，

∴△BCE≌△DCE（SAS）。

∴∠CBE=∠CDE。

∵在菱形ABCD中，AB∥CD，

∴∠AFD=∠FDC（∠CDE）

∴∠AFD=∠CBE。

解题后的思考：

此题为巩固菱形的性质而设置，同学们要熟练掌握菱形的性质。

例2：

如图是菱形花坛ABCD，它的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。

思路分析：

1）题意分析：

本题考查菱形的性质、菱形的面积及直角三角形的性质。

2）解题思路：

因为菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半，所以应把此题转化为解直角三角形的问题从而求出AC、BD的长。

解答过程：

∵在菱形ABCD中，

∠ABC=60°，AB=20m

解题后的思考：

这是一道合用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题。

此题除可用以巩固菱形性质外，还可用不同的方法来计算菱形的面积，要学会熟练、灵活地运用知识。

例3：

如图，四边形ABCD是菱形。

对角线AC=8㎝，DB=6㎝，DH⊥AB于H。

求DH的长。

思路分析：

1）题意分析：

本题考查了菱形的面积及用等积法求高的知识。

2）解题思路：

由菱形的对角线AC=8㎝，DB=6㎝。

可求得菱形的面积为24cm2，进而可得△ABD面积为12cm2，再利用等积法求高。

解答过程：

∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8㎝，DB=6㎝。

∴菱形ABCD的面积为24cm2

≌

面积等于菱形

面积的一半，为12cm2

cm，

cm，

cm

cm

解题后的思考：

此题有一定的灵活性，同学们应在做题时积累经验，以能灵活正确地解题。

明白用等积法求高较为便捷。

知识点二：

菱形的判定

例4：

如图已知：

ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。

求证：

四边形AFCE是菱形。

思路分析：

1）题意分析：

本题是菱形判定方法的直接运用，主要考查对菱形的判定方法的掌握情况，并会用这些判定方法进行有关的证明。

2）解题思路：

此题可用对角线互相垂直平分来证明，先由EF、AC互相平分可得四边形AFCE是平行四边形。

再由EF⊥AC，可得

AFCE是菱形

解答过程：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥FC。

∴∠1=∠2。

又∠AOE=∠COF，AO=CO，

∴△AOE≌△COF（ASA）

∴EO=FO。

∴四边形AFCE是平行四边形。

又EF⊥AC，

∴

AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。

解题后的思考：

菱形是特殊的平行四边形，在证明菱形的问题时可先证它是平行四边形，再利用其他条件判定它是菱形。

例5：

如果将矩形纸片ABCD沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF与GH互相垂直平分吗？

思路分析：

1）题意分析：

此题是一道菱形的性质和判定相结合的问题。

2）解题思路：

要说明EF与GH互相垂直平分，只需说明四边形FGEH是菱形。

解答过程：

∵四边形ABCD是矩形，

∴FH∥GE，FG∥EH，

∴四边形FGEH为平行四边形，

∵ABCD沿EF折叠

∴

，

又∵EF=EF

∴△FHE≌△FGE

∴FG=FH。

∴四边形GEHF为菱形。

∴EF、GH互相垂直平分。

解题后的思考：

此题属于结论开放型试题，这类题是中考中的热点题型。

同学们不仅要熟悉菱形的判定方法，还要熟悉菱形的性质，以及折叠（轴对称）边角之间的对应关系。

*例6：

已知：

如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，EH⊥AB于H，CD交BE于F。

求证：

四边形CEHF为菱形。

思路分析：

1）题意分析：

此题考查菱形的判定方法

2）解题思路：

要证四边形CEHF为菱形，应先证四边形CEHF为平行四边形，再由BE平分∠ABC还可得CE=EH。

解答过程：

∵CD⊥AB于D，EH⊥AB于H

∴∠EHD=∠CDB=90o

∴CF∥EH，

∵BE平分∠ABC

∴CE=EH，

在Rt△BCE中，

∠CBE+∠CEB=90°，

在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°，

∵∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，

∴∠CEB=∠CFE，

∴CE=CF。

∴CF=CE=EH，CF∥EH，

∴四边形CEHF为平行四边形

∴

CEHF为菱形。

（邻边相等的平行四边形是菱形）

解题后的思考：

此题图形较为复杂，同学们应具有一定的识图能力，另外还要与以前学过的知识相结合并能灵活应用。

知识点三：

矩形、菱形的综合应用

**例7：

如图，在

ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G。

（1）求证：

△ADE≌△CBF；

（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？

并证明你的结论。

思路分析：

1）题意分析：

此题考查了菱形的性质以及矩形的判定。

2）解题思路：

要想证明△ADE≌△CBF，就要充分的运用平行四边形的性质找到使两个三角形全等的条件。

我们可以根据边、角之间的关系来判断则四边形AGBD是什么特殊的四边形。

解答过程：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD。

∵点E、F分别是AB、CD的中点，

∴AE=

AB，CF=

CD。

∴AE=CF。

∴△ADE≌△CBF（SAS）

（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形。

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC。

∵AG∥BD，

∴四边形AGBD是平行四边形。

∵四边形BEDF是菱形，

∴DE=BE。

∵AE=BE，

∴AE=BE=DE。

∴∠1=∠2，∠3=∠4。

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴2∠2+2∠3=180°。

∴∠2+∠3=90°。

即∠ADB=90°，

∴四边形AGBD是矩形。

解题后的思考：

矩形和菱形都是特殊的平行四边形，但二者间有区别和联系，同学们要熟练掌握它们的性质和判定。

小结：

应用菱形判定定理3时，要注意其性质包括两个条件：

（1）是一个平行四边形；

（2）两条对角线互相垂直。

二者缺一不可，如，对角线互相垂直的四边形是菱形吗？

为什么？

同时可用右图来证实，虽然对角线AC⊥BD，但它们都不是菱形。

判定菱形的方法有

1、在记忆菱形的性质和判定时应与矩形的性质和判定对比记忆，从边、角、对角线三方面找到它们的区别与联系。

2、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线所在的直线，所以两条对称轴互相垂直。

3、菱形被对角线分成了四个全等的直角三角形，在计算或证明时常用到这个结论。

4、菱形的面积公式是

（其中a、b是菱形的两条对角线的长）。

即：

“菱形的面积等于它的两条对角线的乘积的一半”。

还要指出：

当不易求出对角线的长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积，即S=底×高。

一、预习新知：

下节课我们将学习另一种特殊的平行四边形——正方形，请同学们预习正方形这部分知识。

二、预习点拨：

正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形和特殊的菱形，学好正方形有助于巩固矩形、菱形各自特有的性质和判定。

同学们在小学已学过正方形，知道正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的面积等于它的边长的平方。

你能动手从一张矩形纸中折出一个正方形吗？

你能通过类比的方法总结出正方形的性质和判定吗？

（答题时间：

60分钟）

1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC的中点，则下列式子中一定成立的是（　　　）

A.AC=2OEB.BC=2OEC.AD=OED.OB=OE

2.如图，在菱形ABCD中，下列说法不一定成立的是（　　）

A.四边形ABCD是平行四边形

B.AC⊥BD

C.△ABD是等边三角形

D.∠CAB＝∠CAD

3.如图，如果要使

ABCD成为菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是______

____________。

4.菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_________。

5.

ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：

①AC⊥BD；②AB=BC;③AC平分∠BAD；④AO=DO，使得

ABCD是菱形的条件有______个。

6.菱形的周长为20

，一条对角线长为8

，则菱形的面积为____________cm2。

7.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从①AB=CD；②AB∥CD；③OA=OC；④OB=OD；⑤AC⊥BD；⑦AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形。

如①②⑤

ABCD是菱形，再写出两个符合要求的条件：

________

ABCD是菱形；________

ABCD是菱形。

8.如图所示，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.四边形AEDF是菱形吗？

说明你的理由。

9.如图，等宽的两张纸条重叠，猜想重叠部分是什么图形，为什么？

10.如图，已知在△ABC中，AD是角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F。

求证：

四边形AEDF是菱形。

1.B；

2.C；

3.如

等（答案不唯一）；

4.5；

5.3；

6.24，提示：

由已知得菱形的边长为5

，由菱形的对角线互相平分且垂直，所以另一条对角线的长为

，∴S菱=

；

7.①②⑥或③④⑤或③④⑥；

8.解：

四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAF，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠DAE＝∠DAF，∴∠ADE=∠DAE，∴AE=ED.

又∵DE∥AC，DF∥AB

∴四边形AEDF是平行四边形，∴平行四边形AEDF是菱形.

9.解：

因为纸条等宽，所以△ABC以BC为底的高和以AB为底的高相等，所以AB＝BC。

纸条交叉重叠在一起可得：

AB∥CD，AD∥BC。

所以四边形ABCD是平行四边形。

因此可得重合的四边形ABCD是一个菱形。

10.证明：

∵EF垂直平分AD

∴AF＝FD

∴∠DAF＝∠ADF

∵∠EAD＝∠DAF

∴∠EAD＝∠ADF

∴AE∥DF

同理DE∥AF

∴四边形AEDF是平行四边形

又∵AF＝FD

∴四边形AEDF是菱形。