北京市海淀区学年高二上学期期中考试数学理试题.docx

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北京市海淀区学年高二上学期期中考试数学理试题

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【全国百强校】北京市海淀区2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题

试卷副标题

考试范围：

xxx；考试时间：

100分钟；命题人：

xxx

题号

一

二

三

总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人

得分

一、单选题

1．直线被两坐标轴截得的线段长为（）．

A．B．C．D．

2．已知向量，，则与（）．

A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向

3．圆的圆心坐标及半径分别是（）．

A．，B．，C．，D．，

4．直角三角形的斜边在平面内，顶点在平面外，则的两条直角边在平面内的射影与斜边组成的图形是（）．

A．一条线段B．一个锐角三角形

C．一个钝角三角形D．一条线段或一个钝角三角形

5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（）．

A．B．C．D．

6．若直线与直线分别交于点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（）

A．B．C．D．

7．如图所示，正方体的棱长为1，，是线段上的动点，过点做平面的垂线交平面于点，则点到点距离的最小值为（）

A．B．C．D．1

8．在空间直角坐标系中，正四面体的顶点、分别在轴，轴上移动．若该正四面体的棱长是，则的取值范围是（）．

A．B．C．D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

评卷人

得分

二、填空题

9．若直线经过点且与直线平行，则直线的方程为__________．

10．已知正方形边长为，是线段的中点，则__________．

11．已知圆截直线所得的弦的长度为为，则．

12．已知直线与直线平行，则的值为__________．

13．已知是正方体的棱上的动点，设异面直线与所成的角为，则的最小值为__________．

14．若点集，，则

（）点集所表示的区域的面积为__________．

（）点集所表示的区域的面积为__________．

评卷人

得分

三、解答题

15．已知函数．

（）求的值．

（）求函数的最小正周期和单调递增区间．

16．已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由

17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，为中点．

（）求证：

平面．

（）求二面角的余弦值．

（）在棱上是否存在点，使得？

若求的值；若不存在，说明理由．

18．对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．

（）设，请写出向量集并判断是否具有性质．

（）若，且具有性质，求的值．

（）若具有性质，求证：

．

参考答案

1．B

【解析】∵直线与两坐标轴的交点为，，

∴直线被两坐标轴截得的线段长是：

．

故选．

2．D

【解析】∵，，

∴，

∴与平行且反向．故选D．

3．A

【解析】由圆得：

，

∴圆的圆心坐标为，

半径为．

故选．

4．D

【解析】当平面平面时，射影为一条线段，

当平面不垂直于平面时，射影为钝角三角形．

故选．

5．C

【解析】由三视图得几何体是如图所示四棱锥，

其中，分别是，中点，平面，

底面是矩形，，，是等腰三角形，，

∴，，

∴，，

．

∴四棱锥的四个侧面中面积最大的是．

故选．

点睛:

思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：

1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

6．B

【解析】∵直线l与直线y=1，x=7分别交于点P，Q，

∴P，Q点的坐标分别为：

P（a，1），Q（7，b），

∵线段PQ的中点坐标为（1，-1），

∴由中点坐标公式得：

∴a=-5，b=-3；

∴直线l的斜率k=

故选B

7．

【解析】连接,

由是正方体，得面

因为面，所以,所以与共面

因为都在平面，所以点在线段上，

则点到点距离的最小值为由向作垂线，即为的一条高

是以边长为的等边三角形，所以高为

故选

【考点】四点共面；棱柱的结构特征.

8．A

【解析】如图所示，

若固定正四面体的位置，

则原点在以为直径的球面上运动，

设的中点为，

则，

所以原点到点的最近距离等于减去球的半径，最大距离是加上球的半径，

所以，

即的取值范围是．

故选．

9．

【解析】设直线的方程为，

将代入直线方程得，

解得：

，

故直线的方程为：

．

10．

【解析】由题意可得：

，，

故．

点晴:

平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.

11．2或6

【解析】

试题分析：

由题知：

圆心（a，0），半径为2．

圆心到直线的距离为

又因为圆截直线所得的弦的长度为为，

所以或

考点：

直线与圆的位置关系圆的标准方程与一般方程

12．或

【解析】若直线与直线平行，

则，

且，

解得：

或．

13．

【解析】试题分析：

以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A（1,0,0）,B（1,1,0）,C（0,1,0）,P（x,0,1）,其中，所以，，所以

，可知当，即与重合时，取得最小值且为.故应填.

考点：

异面直线及其所成的角.

14．

【解析】试题分析：

（1）

∵，

而，

则

表示的区域是以（1，1）为圆心，半径为1的圆，面积为π．

（2）

A所表示的区域是以（0，0）为圆心，半径=1的圆，

B所表示的区域是以（1，1）（1，-1）（-1，-1）（-1，1）为顶点的正方形，

把x1，y1代入

可得，

M所表示的区域是A的圆心在正方形B的边上移动，圆所覆盖的区域．M的面积为12+π

考点：

二元一次不等式组与平面区域的关系．

15．（）1;（），，．

【解析】试题分析：

（1）根据函数的解析式,计算的值即可; 

（2）化函数为正弦型函数,即可求出它的最小正周期与单调递增区间.

试题解析：

（）∵函数，

∴．

（）由（）知，

∴函数的最小正周期，

令，，

得，，

∴函数的单调递增区间是，．

点睛:

三角函数式的化简要遵循“三看”原则:

（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.

16．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）存在实数

【解析】试题分析：

（Ⅰ）设出圆心坐标，利用点到直线的距离等于半径可得，则圆的方程为．

（Ⅱ）由题意得到关于实数a的不等式，求解不等式可得实数a的取值范围是；

（Ⅲ）由题意讨论可得存在实数满足题意.

试题解析：

（Ⅰ）设圆心为（）．由于圆与直线相切，且半径为，所以，即．因为为整数，故．

故所求圆的方程为．

（Ⅱ），则或，又故

（Ⅲ）设符合条件的实数存在，由于，则直线的斜率为

的方程为，即

由于垂直平分弦AB，故圆心必在上，

所以，解得。

由于，故存在实数

使得过点的直线垂直平分弦AB

17．

（1）见解析；

（2）；（3）

【解析】

试题分析：

（1）利用题意证得，然后由线面平行的判断定理可得平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量可得二面角的余弦值为.

（3）探索性问题，利用空间向量的结论可得在棱上存在点，使得，

此时．

试题解析：

（Ⅰ）证明：

设与的交点为，连接.

因为为矩形，所以为的中点，

在中，由已知为中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）解：

取中点，连接.

因为是等腰三角形，为的中点，

所以，

又因为平面平面，

因为平面，，

所以平面．

取中点，连接，

由题设知四边形为矩形，

所以，

所以．　

如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，.，.

设平面的法向量为，则即

令，则，，所以.

平面的法向量为，

设，的夹角为，所以.

由图可知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得．

因此点，，．

由，即．

因为，所以在棱上存在点，使得，

此时．

18．见解析.

【解析】试题分析：

（1）根据新定义直接判断即可.

（2）在Y中取,根据数量积的坐标公式,可得Y中与垂直的元素必有形式,所以,结合,可得x的值.

（3）取,根据,化简可得,所以s、t异号.而-1是数集X中唯一的负数,所以s、t中的负数必为-1,另一个数是1,从而得出.

试题解析：

（），

具有性质．

（）选取，中与垂直的元素必有形式，

∴，从而．

（）证明：

取，设满足，

由得，

从而，异号，

∵是中唯一的负数，

∴，中一个为，另一个为，

故．